Corrigé du brevet de maths 2007 : Centres étrangers

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Sommaire

Dans ce corrigé du brevet 2007 des centres étrangers, chaque question est rédigée pas à pas. Côté calcul, tu apprendras à extraire un carré parfait d’une racine (\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)), à enchaîner les soustractions de l’algorithme d’Euclide pour obtenir un PGCD de 34, et à reconnaître une différence de deux carrés pour factoriser \(9-(2x-1)^2\). En géométrie, les coordonnées servent à calculer une distance, un milieu et l’image d’un point par une translation, puis la réciproque de Pythagore et le théorème des milieux prennent le relais ; la tangente d’un angle donne 30° dans le second exercice. Le problème montre comment une fonction affine modélise la longueur d’un ressort et pourquoi un cube d’or de 156 g l’étire jusqu’à 138 mm.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : racines carrées et puissances

1. a. On fait apparaître dans chaque nombre un carré parfait multiplié par 3, puis on utilise \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) :

\[\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3} \qquad \sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}\]

Donc \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) et \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).

b. On remplace, puis on regroupe les termes en \(\sqrt{3}\) comme on regrouperait des \(x\) :

\[A=4\times 2\sqrt{3}+3\times 3\sqrt{3}-5\times 5\sqrt{3}=8\sqrt{3}+9\sqrt{3}-25\sqrt{3}=(8+9-25)\sqrt{3}\]

\(A=-8\sqrt{3}\).

2. On respecte les priorités : puissances d’abord, puis multiplications, puis additions et soustractions.

\[B=25+4\times 9=25+36=61\]

\[C=\dfrac{9}{4+4}=\dfrac{9}{8}=1{,}125\]

\[D=5\times 1\,000-2\times 100=5\,000-200=4\,800\]

B = 61 ; C = 1,125 ; D = 4 800.

À retenir : pour simplifier \(\sqrt{n}\), on cherche le plus grand carré parfait qui divise \(n\) ; ensuite, des multiples de \(\sqrt{3}\) s’additionnent comme des termes semblables.

Corrigé de l’exercice 2 : PGCD et fraction irréductible

1. Algorithme d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.

Division	Reste
578 = 408 × 1 + 170	170
408 = 170 × 2 + 68	68
170 = 68 × 2 + 34	34
68 = 34 × 2 + 0	0

Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(408 ; 578) = 34.

2. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(408\div 34=12\) et \(578\div 34=17\).

\[\dfrac{408}{578}=\dfrac{12\times 34}{17\times 34}=\dfrac{12}{17}\]

La fraction irréductible est \(\dfrac{12}{17}\) (12 et 17 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, puisque 17 est premier et ne divise pas 12).

À retenir : diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD donne directement la fraction irréductible, en une seule étape.

Corrigé de l’exercice 3 : développer, factoriser, résoudre

1. On développe \((2x-1)^2\) avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), sans oublier les parenthèses car il y a un signe moins devant :

\[E=9-(4x^2-4x+1)=9-4x^2+4x-1\]

\(E=-4x^2+4x+8\).

2. \(9=3^2\), donc \(E\) est une différence de deux carrés \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=3\) et \(b=2x-1\) :

\[E=\big(3-(2x-1)\big)\big(3+(2x-1)\big)=(3-2x+1)(3+2x-1)\]

\(E=(4-2x)(2+2x)\).

3. Avec la forme de départ : \(2\times\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{1}{3}\), donc

\[E=9-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2=9-\dfrac{1}{9}=\dfrac{81}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{80}{9}\]

Contrôle avec la forme factorisée : \(\left(4-\dfrac{2}{3}\right)\left(2+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{10}{3}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{80}{9}\). Pour \(x=\dfrac{1}{3}\), \(E=\dfrac{80}{9}\).

4. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[2+2x=0 \iff x=-1 \qquad\text{ou}\qquad 4-2x=0 \iff x=2\]

L’équation a deux solutions : −1 et 2. (C’est d’ailleurs l’équation \(E=0\), grâce à la question 2.)

À retenir : repérer \(a^2-b^2\) permet de factoriser immédiatement en \((a-b)(a+b)\), et une forme factorisée se résout avec la règle du produit nul.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : géométrie dans un repère

1. On place A(−3 ; 1), B(−2 ; 3) et C(2 ; 1) : l’abscisse se lit sur l’axe horizontal, l’ordonnée sur l’axe vertical. La figure ci-dessous rassemble toutes les constructions de l’exercice.

2. Dans un repère orthonormé, \(BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\) :

\[BC=\sqrt{(2-(-2))^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\]

\(BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47\) cm.

3. Le plus long côté est [AC]. On compare \(AC^2\) à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[AC^2=5^2=25 \qquad AB^2+BC^2=5+20=25\]

Comme \(AC^2=AB^2+BC^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté).

4. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[x_M=\dfrac{-3+(-2)}{2}=-2{,}5 \qquad y_M=\dfrac{1+3}{2}=2\]

M(−2,5 ; 2).

5. Pour aller de B à C, on se déplace de 4 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas. On applique le même déplacement à partir de M : on arrive au point N, tel que MNCB soit un parallélogramme (voir la figure).

6. \(\overrightarrow{BC}\) a pour coordonnées \((x_C-x_B\ ;\ y_C-y_B)=(2-(-2)\ ;\ 1-3)\). \(\overrightarrow{BC}(4\ ;\ -2)\).

7. N est l’image de M par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}\) : on ajoute les coordonnées du vecteur à celles de M.

\[x_N=-2{,}5+4=1{,}5 \qquad y_N=2+(-2)=0\]

N(1,5 ; 0).

8. Puisque \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}\), les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Dans le triangle ABC, la droite (MN) passe par le milieu M du côté [AB] et est parallèle au côté (BC). D’après le théorème des milieux, elle coupe le troisième côté [AC] en son milieu. La droite (MN) coupe donc [AC] en son milieu.

Vérification par le calcul : le milieu K de [AC] a pour coordonnées \(\left(\dfrac{-3+2}{2}\ ;\ \dfrac{1+1}{2}\right)=(-0{,}5\ ;\ 1)\), et \(\overrightarrow{MK}(2\ ;\ -1)\) vaut la moitié de \(\overrightarrow{MN}(4\ ;\ -2)\) : K est bien sur (MN).

À retenir : dans un repère, distance, milieu et translation se calculent avec des formules simples sur les coordonnées ; le théorème des milieux permet ensuite de conclure sans calcul supplémentaire.

Corrigé de l’exercice 2 : trigonométrie dans deux triangles rectangles

1. Dans le triangle MNP rectangle en P, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{PMN}\) (NP) et le côté adjacent (MP) : on utilise la tangente.

\[\tan\widehat{PMN}=\dfrac{NP}{MP}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577\]

La calculatrice (touche \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{PMN}=30^\circ\).

2. Les points M, S, P sont alignés, ainsi que M, R, N : l’angle \(\widehat{SMR}\) est le même que \(\widehat{PMN}\), donc il mesure 30°. Dans le triangle MRS rectangle en S, [RS] est le côté opposé à cet angle et [MR] l’hypoténuse :

\[\sin\widehat{SMR}=\dfrac{RS}{MR} \quad\text{donc}\quad RS=5\times\sin 30^\circ=5\times 0{,}5=2{,}5\]

RS = 2,5 cm.

3. Le triangle MNP est rectangle en P, donc (NP) est perpendiculaire à (MP). Le triangle MRS est rectangle en S, donc (RS) est perpendiculaire à (MS), c’est-à-dire à (MP). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (NP) et (RS) sont parallèles.

4. Toujours dans le triangle MRS rectangle en S, [MS] est le côté adjacent à l’angle de 30° :

\[MS=MR\times\cos 30^\circ=5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}330\]

MS ≈ 4,3 cm au millimètre près. On le vérifie avec Pythagore : \(MS^2=MR^2-RS^2=25-6{,}25=18{,}75\) et \(\sqrt{18{,}75}\approx 4{,}33\).

À retenir : on choisit cosinus, sinus ou tangente selon les deux côtés en jeu (adjacent, opposé, hypoténuse) ; un angle commun à deux triangles emboîtés permet de passer de l’un à l’autre.

Problème

Corrigé de la première partie : proportionnalité et fonction linéaire

1. a. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : \(20\times b=30\times 70\), donc

\[b=\dfrac{30\times 70}{20}=\dfrac{2\,100}{20}=105\]

b = 105.

b. On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par \(a\) : \(20\times a=70\), donc \(a=\dfrac{70}{20}\). a = 3,5 (et on vérifie : \(30\times 3{,}5=105\)).

2. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine. Il suffit donc d’un deuxième point : par exemple \(f(20)=3{,}5\times 20=70\), soit le point (20 ; 70), ou \(f(40)=140\), soit le point (40 ; 140). Avec 1 cm pour 10 unités, le point (40 ; 140) se place à 4 cm à droite et 14 cm au-dessus de l’origine. La droite \(d\) joint l’origine au point (40 ; 140) (droite bleue sur la figure de la deuxième partie).

À retenir : le coefficient de proportionnalité d’un tableau est le coefficient \(a\) de la fonction linéaire \(x\longmapsto ax\), dont la droite passe toujours par l’origine.

Corrigé de la deuxième partie : fonction affine et système

1. A(20 ; 70) se place à 2 cm à droite et 7 cm au-dessus de l’origine, B(60 ; 90) à 6 cm à droite et 9 cm au-dessus.

2. On cherche \(g(x)=mx+p\). Le coefficient directeur se calcule avec les deux points :

\[m=\dfrac{g(60)-g(20)}{60-20}=\dfrac{90-70}{40}=\dfrac{20}{40}=0{,}5\]

Puis \(g(20)=70\) donne \(0{,}5\times 20+p=70\), soit \(10+p=70\) et \(p=60\). Contrôle : \(g(60)=30+60=90\). \(g(x)=0{,}5x+60\).

a. Les deux équations donnent \(y\) : on égale les deux expressions (méthode par substitution).

\[3{,}5x=0{,}5x+60 \iff 3x=60 \iff x=20\]

Puis \(y=3{,}5\times 20=70\). La solution du système est le couple (20 ; 70).

b. Le couple \((x\ ;\ y)\) vérifie à la fois l’équation de \(d\) et celle de (AB) : ce sont les coordonnées du point d’intersection des droites \(d\) et (AB), c’est-à-dire le point A lui-même.

À retenir : résoudre un système de deux équations de droites revient à chercher les coordonnées de leur point d’intersection ; on peut toujours contrôler la solution sur le graphique.

Corrigé de la troisième partie : le ressort et le cube d’or

1. 80 g, c’est 4 fois 20 g. L’allongement étant proportionnel à la masse, il est 4 fois plus grand : \(4\times 10=40\) mm. La longueur totale est la longueur à vide plus l’allongement : \(60+40=100\). Avec 80 g, le ressort mesure bien 100 mm.

2. 10 mm pour 20 g, cela fait \(\dfrac{10}{20}=0{,}5\) mm par gramme. L’allongement vaut \(0{,}5x\) mm.

3. La longueur totale est \(L(x)=60+0{,}5x\) mm. On reconnaît la fonction affine \(g\) de la deuxième partie : la droite (AB) représente la longueur du ressort en fonction de la masse (A correspond à 20 g et 70 mm).

4. Le volume du cube est \(2^3=8\ \text{cm}^3\). Chaque cm³ d’or pèse 19,5 g, donc la masse est \(8\times 19{,}5=156\). Le cube d’or pèse 156 g.

5. \(L(156)=60+0{,}5\times 156=60+78=138\). Le ressort mesure 138 mm.

Sur le graphique, on part de 156 sur l’axe des abscisses, on monte en pointillés jusqu’à la droite (AB), puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées : on lit 138 (voir les pointillés sur la figure de la deuxième partie).

À retenir : une grandeur « valeur de départ + quantité proportionnelle » se modélise par une fonction affine \(x\longmapsto ax+b\) : \(b\) est la valeur de départ et \(a\) l’augmentation par unité.

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