Corrigé du brevet de maths 2007 : France

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Sommaire

Voici le corrigé complet du brevet de maths 2007 de France, La Réunion et Mayotte (25 juin 2007). Pour le QCM, chaque bonne réponse est justifiée par un calcul court, et le programme de calcul est traité jusqu’à la preuve générale : le résultat vaut toujours \((x+2)^2\). En géométrie, tu verras comment enchaîner la réciproque de Pythagore et la réciproque de Thalès, puis comment exploiter un angle inscrit dans un demi-cercle et un losange obtenu par translation. Le problème du toit de la terrasse montre comment isoler un triangle rectangle dans une figure en perspective, calculer une longueur avec Pythagore, un angle avec la tangente, et lire une courbe pour respecter une contrainte de hauteur.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé brevet 2007

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé brevet 2007 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « QCM de calcul » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Programme de calcul et carrés » (exercice 1). Puis le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 2). Par ailleurs, la correction reprend « Cercle et translation » (activités géométriques). En outre, tu lis la démarche complète pour « Toit : AE = 2 m » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Toit : angle de 45° » (exercice 2 de géométrie). Puis le corrigé explique « Toit : angle de 60° » (problème). Enfin, la correction reprend « Toit : lecture graphique » (partie 1).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé brevet 2007 sont le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les angles inscrits, les transformations du plan et la trigonométrie, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé brevet 2007)

Corrigé de l’exercice 1 : QCM de calcul

1. D’abord, on utilise l’identité \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=3x\) et \(b=5\) : \((3x+5)^2=9x^2+2\times3x\times5+25=9x^2+30x+25\). Réponse : \(9x^2+30x+25\). Attention au double produit, souvent oublié.

2. Ensuite, on remplace \(x\) par 4 dans chaque expression : \(4\times5=20\) ; \((4+1)(4-2)=5\times2=10\) ; \((4+1)^2=25\). Réponse : \((x+1)(x-2)\).

3. On cherche un carré parfait dans 48 : \(48=16\times3\), donc \(\sqrt{48}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) et \(\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\). Réponse : \(2\sqrt{3}\). La valeur 3,464 n’est qu’une valeur approchée.

4. On supprime les parenthèses précédées d’un signe moins en changeant les signes : \(2x-8-3x=2\), soit \(-x-8=2\), donc \(-x=10\) et \(x=-10\). Réponse : \(-10\).

5. De même, on ne peut pas faire la moyenne des deux pourcentages, car les classes n’ont pas le même effectif. En 3^e A : \(\dfrac{40}{100}\times30=12\) filles. En 3^e B : \(\dfrac{60}{100}\times20=12\) filles. Dans le groupe de 50 élèves, il y a 24 filles : \(\dfrac{24}{50}=\dfrac{48}{100}\). Réponse : 48 % de filles.

À retenir : pour tester une expression, remplace \(x\) par la valeur donnée ; pour réunir deux groupes, reviens toujours aux effectifs avant de recalculer un pourcentage.

Corrigé de l’exercice 2 : programme de calcul et carrés

1. Avec \(-2\) : on ajoute 4, ce qui donne \(-2+4=2\) ; on multiplie par le nombre choisi : \(2\times(-2)=-4\) ; on ajoute 4 : \(-4+4=0\). On obtient bien 0.

2. Avec 5 : \(5+4=9\), puis \(9\times5=45\), puis \(45+4=49\). Le programme donne 49.

3. a. Deux essais possibles :

• avec 1 : \(1+4=5\), \(5\times1=5\), \(5+4=9\), et \(9=3^2\) ;

• avec 3 : \(3+4=7\), \(7\times3=21\), \(21+4=25\), et \(25=5^2\).

On peut aussi remarquer que \(49=7^2\) (question 2) et \(0=0^2\) (question 1). À chaque fois, le résultat est le carré du nombre choisi augmenté de 2.

3. b. Appelons \(x\) le nombre choisi. Le programme calcule :

\[(x+4)\times x+4=x^2+4x+4\]

Puis on reconnaît l’identité remarquable \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\) : \(x^2+4x+4=(x+2)^2\).

Si \(x\) est un nombre entier, \(x+2\) est aussi un entier, donc le résultat est le carré d’un entier. Oui, c’est toujours le cas.

4. Alors on veut \((x+2)^2=1\). Les nombres dont le carré vaut 1 sont 1 et \(-1\), donc \(x+2=1\) ou \(x+2=-1\), c’est-à-dire \(x=-1\) ou \(x=-3\).

Vérification : avec \(-1\) : \(3\times(-1)+4=1\) ; avec \(-3\) : \(1\times(-3)+4=1\). On peut choisir \(-1\) ou \(-3\).

À retenir : des essais ne prouvent rien en général ; pour démontrer une propriété d’un programme de calcul, on l’écrit avec une lettre, on développe, puis on factorise (ici avec \((a+b)^2\)).

Activités géométriques (corrigé brevet 2007)

Corrigé de l’exercice 1 : triangle rectangle et réciproque de Thalès

1. a. Le plus long côté est [AC]. Ensuite, on compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :

\[\text{AC}^2=15^2=225\qquad\text{AB}^2+\text{BC}^2=9^2+12^2=81+144=225\]

Puis on a \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté).

1. b. et 2. a. Construction : trace [BC] de 12 cm, puis la perpendiculaire à (BC) en B avec l’équerre ; place A sur cette perpendiculaire à 9 cm de B, puis trace [AC] (tu peux contrôler que AC mesure 15 cm). Place E sur [AB] à 3 cm de A, et F sur [AC] à 5 cm de A.

2. b. Les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on calcule les deux rapports :

\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\qquad\dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\]

Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

3. La droite (BC) est perpendiculaire à (AB) et (EF) est parallèle à (BC) : donc (EF) est aussi perpendiculaire à (AB). Le triangle AEF est rectangle en E.

Le théorème de Thalès (les droites étant parallèles) donne \(\dfrac{\text{EF}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}}=\dfrac{1}{3}\), donc \(\text{EF}=\dfrac{12}{3}=4\) cm.

L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l’angle droit :

\[\mathcal{A}_{\text{AEF}}=\dfrac{\text{AE}\times\text{EF}}{2}=\dfrac{3\times4}{2}=6\]

L’aire du triangle AEF est 6 cm². Contrôle : AEF est une réduction de ABC de rapport \(\dfrac{1}{3}\), donc son aire est \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\times\dfrac{9\times12}{2}=\dfrac{54}{9}=6\) cm².

À retenir : pour prouver qu’un triangle est rectangle, on utilise la réciproque de Pythagore ; pour prouver que deux droites sont parallèles, on compare deux rapports avec la réciproque de Thalès, en vérifiant l’ordre d’alignement des points.

Corrigé de l’exercice 2 : cercle, triangle équilatéral et translation

1. Le segment [BD] est un diamètre du cercle et le point A appartient à ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre, il est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé au diamètre. Donc le triangle ABD est rectangle en A.

2. Le centre O du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices du triangle ABC. Dans un triangle équilatéral, la médiatrice issue de B est aussi la bissectrice de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\). La droite (BD), qui passe par B et O, partage donc l’angle \(\widehat{\text{ABC}}=60^\circ\) en deux angles égaux :

\[\widehat{\text{ABD}}=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

Autre justification : les angles inscrits \(\widehat{\text{ADB}}\) et \(\widehat{\text{ACB}}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{AB}}\), donc \(\widehat{\text{ADB}}=60^\circ\) ; dans le triangle ABD rectangle en A, \(\widehat{\text{ABD}}=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Donc \(\widehat{\text{ABD}}=30^\circ\).

3. E est l’image de D par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\), donc \(\overrightarrow{\text{DE}}=\overrightarrow{\text{OC}}\). Cette égalité de vecteurs signifie que le quadrilatère OCED est un parallélogramme (les points O, C, D ne sont pas alignés).

De plus, OC et OD sont deux rayons du cercle, donc \(\text{OC}=\text{OD}\). Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : OCED est un losange.

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. Les diagonales de OCED sont [OE] et [CD], donc les droites (DC) et (OE) sont perpendiculaires.

À retenir : un diamètre et un point du cercle forment toujours un triangle rectangle. Une translation fabrique un parallélogramme ; si en plus deux côtés consécutifs sont des rayons, c’est un losange, dont les diagonales sont perpendiculaires.

Problème : le toit de la terrasse

Corrigé de la partie 1 (brevet 2007) : AE = 2 m

1. IEAB est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : \(\text{IB}=\text{AE}=2\). Le point I est sur le segment [BH], donc :

\[\text{HI}=\text{HB}-\text{IB}=5-2=3\]

Puis on a bien HI = 3 m.

2. Toujours parce que IEAB est un rectangle, \(\text{IE}=\text{AB}=2{,}25\). Le triangle HIE est rectangle en I ; d’après le théorème de Pythagore :

\[\text{HE}^2=\text{HI}^2+\text{IE}^2=3^2+2{,}25^2=9+5{,}0625=14{,}0625\]

\[\text{HE}=\sqrt{14{,}0625}=3{,}75\]

Donc HE = 3,75 m.

3. Le toit (HE) rejoint le mur de la maison (HB) au point H : l’angle cherché est \(\widehat{\text{IHE}}\). Dans le triangle HIE rectangle en I, on connaît le côté opposé IE et le côté adjacent HI :

\[\tan\widehat{\text{IHE}}=\dfrac{\text{IE}}{\text{HI}}=\dfrac{2{,}25}{3}=0{,}75\quad\text{donc}\quad\widehat{\text{IHE}}\approx36{,}87^\circ\]

L’angle du toit avec la maison mesure environ 37°. (L’angle du toit avec l’horizontale, \(\widehat{\text{HEI}}\), vaut \(90^\circ-37^\circ\approx53^\circ\).)

À retenir : dans une figure en perspective, isole un triangle rectangle et reporte les longueurs grâce aux rectangles (côtés opposés égaux). Choisis ensuite le bon rapport trigonométrique selon les côtés connus : ici, opposé et adjacent donnent la tangente.

Corrigé de la partie 2 : un angle de 45°

1. Dans le triangle HIE rectangle en I, la somme des angles vaut 180°, donc \(\widehat{\text{HEI}}=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ\). Les deux angles aigus sont égaux : le triangle HIE est rectangle et isocèle en I.

2. Le triangle étant isocèle en I, \(\text{HI}=\text{IE}=\text{AB}=2{,}25\). Donc HI = 2,25 m.

Ensuite \(\text{AE}=\text{IB}=\text{HB}-\text{HI}=5-2{,}25=2{,}75\). Donc AE = 2,75 m.

À retenir : un triangle rectangle qui possède un angle de 45° est isocèle : ses deux côtés de l’angle droit sont égaux, sans aucun calcul de trigonométrie.

Corrigé de la partie 3 : un angle de 60°

1. Dans le triangle HIE rectangle en I, on connaît l’angle \(\widehat{\text{IHE}}=60^\circ\) et le côté opposé \(\text{IE}=2{,}25\) ; on cherche le côté adjacent HI. La tangente donne :

\[\tan60^\circ=\dfrac{\text{IE}}{\text{HI}}\quad\text{donc}\quad\text{HI}=\dfrac{2{,}25}{\tan60^\circ}\approx1{,}299\]

Arrondi au centimètre : HI ≈ 1,30 m.

2. \(\text{AE}=\text{IB}=\text{HB}-\text{HI}=5-\dfrac{2{,}25}{\tan60^\circ}\approx5-1{,}299=3{,}701\).

Arrondi au centimètre : AE ≈ 3,70 m.

À retenir : quand l’inconnue est au dénominateur du rapport trigonométrique, isole-la par produit en croix (\(\text{HI}=\dfrac{\text{IE}}{\tan\widehat{\text{IHE}}}\)) et garde la valeur non arrondie pour le calcul suivant.

Corrigé de la partie 4 : lecture graphique

Tout d’abord, on repère la bande du graphique où la hauteur AE est comprise entre 3 et 3,5. On trace l’horizontale d’ordonnée 3 jusqu’à la courbe, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit un peu moins de 50°, environ 48°. On fait de même avec l’ordonnée 3,5 : on lit environ 56°.

Comme la courbe est croissante, AE est entre 3 m et 3,5 m pour un angle compris entre environ 48° et 56°. Une mesure possible est par exemple \(\widehat{\text{IHE}}=50^\circ\) (ou 55°, ou toute valeur de cet intervalle).

Vérification par le calcul avec la méthode de la partie 3 : pour 50°, \(\text{AE}=5-\dfrac{2{,}25}{\tan50^\circ}\approx3{,}11\) m, qui est bien entre 3 m et 3,5 m.

À retenir : pour trouver les antécédents d’un intervalle de valeurs, on lit l’antécédent de chacune des deux bornes, puis on utilise le sens de variation de la courbe pour conclure.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2007 : France.

Bien réviser avec le corrigé corrigé brevet 2007

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Pour le théorème de Thalès, écris les points alignés dans le même ordre, puis vérifie que les droites sont bien parallèles avant de poser les rapports. En ce qui concerne les angles inscrits, repère l’arc intercepté, puis rappelle-toi que l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit. Au besoin, la définition de la notion de théorème de Pythagore sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé brevet 2007 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé brevet 2007

Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2007 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2007. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les angles inscrits et les transformations du plan. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé brevet 2007

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

Les autres corrigés du brevet 2007

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