Sujet du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux

Calculatrice autorisée

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’un nombre entier.

Les calculs intermédiaires figureront sur la copie.

\(A=\dfrac{96\times 10^{-4}\times 5\times 10^{-2}}{3\times 10^{-1}\times 2\times 10^{-6}}\)

\(B=11:\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{2}\right)\)

\(C=\left(2\sqrt{3}-3\right)\left(2\sqrt{3}+3\right)\).

Exercice 2

On considère l’expression \(D=(x-2)^2-2(x-2)\).

1. Factoriser \(D\).

2. Résoudre l’équation \((x-2)(x-4)=0\).

3. Développer et réduire \(D\).

4. Calculer \(D\) pour \(x=1\).

Exercice 3

1. Résoudre le système suivant : \(\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=12\\ x+2y=8 \end{array}\right.\)

2. Montrer que le couple (1 ; 3,5) est solution du système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l} 10x+4y=24\\ 3x+6y=24 \end{array}\right.\]

3. Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées. Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros. Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 24 euros. Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ?

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.

2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.

3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{F}\). Le résultat sera arrondi au degré près.

4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm.

Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en \(M\).

5. Calculer la valeur exacte de \(BM\), puis en donner l’arrondi au mm près.

Exercice 2

On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré. H est le point d’intersection des diagonales [BD] et [AC]. On sait que la hauteur [OH] mesure 4 cm.

1. Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm³, montrer que l’aire de la base est égale à 18 cm².

2. En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure \(3\sqrt{2}\) cm.

3. Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD.

4. Calculer l’aire du triangle AOC.

Exercice 3

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L’unité choisie est le centimètre.

1. Placer les points A(2 ; 2), B(−4 ; 5) et C(−4 ; −2).

2. a. Montrer que AC est égale à \(\sqrt{52}\) cm.

b. Calculer BC.

c. Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier.

3. a. Construire le milieu K du segment [AB].

b. La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier.

Problème 12 points

On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm. La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur.

Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit un rectangle.

Partie A

Dans cette partie, ED = 3 cm.

1. Faire une figure aux dimensions exactes.

2. Calculer l’aire du rectangle ABCD.

3. Calculer l’aire du triangle rectangle ADE.

4. Montrer que l’aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm².

Partie B

Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED. On note ED = \(x\) (en cm). On rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.

1. Montrer que l’aire du trapèze ABCE, en cm², peut s’écrire \(3x+30\).

2. Sur le repère en annexe, représenter la fonction affine \(x\longmapsto 3x+30\).

3. Par lecture graphique, trouver la valeur de \(x\) pour laquelle l’aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm². Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés sur le graphique.

4. Retrouver ce résultat en résolvant une équation.

Annexe au problème (annexe à rendre avec la copie)

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