Corrigé du brevet de maths 2003 : Académie d’Amiens
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : Académie d’Amiens. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Amiens 2003
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amiens 2003 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et racine carrée » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « PGCD et fraction irréductible » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Pizzas et jus de fruit » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Triangle isocèle et translation » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, la correction reprend « Le tajine : cône et réduction » (activités géométriques). Puis tu lis la démarche complète pour « Triangle rectangle et Thalès » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Durée d’utilisation du portable » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Comparer deux forfaits » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amiens 2003 sont les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les agrandissements et réductions et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Amiens 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et racine carrée
1. La division est prioritaire sur la soustraction : on calcule d’abord \(\dfrac{5}{3}\div\dfrac{20}{21}\), en multipliant par l’inverse.
\[\dfrac{5}{3}\div\dfrac{20}{21}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{5\times3\times7}{3\times5\times4}=\dfrac{7}{4}\]
\[\text{A}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{4}=\dfrac{32}{12}-\dfrac{21}{12}=\dfrac{11}{12}\]
\(\text{A}=\dfrac{11}{12}\), fraction irréductible (11 est premier et ne divise pas 12).
2. \(28=4\times7\) avec 4 carré parfait, donc \(\sqrt{28}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}\).
\[\text{B}=3\times2\sqrt{7}-9\sqrt{7}=6\sqrt{7}-9\sqrt{7}\]
\(\text{B}=-3\sqrt{7}\), donc \(a=-3\).
Corrigé de l’exercice 2 : PGCD et fraction irréductible
1. D’abord, on utilise l’algorithme d’Euclide :
\[1\,183=455\times2+273\]
\[455=273\times1+182\]
\[273=182\times1+91\]
\[182=91\times2+0\]
Le dernier reste non nul est 91. PGCD(1 183 ; 455) = 91.
2. Ensuite, on divise numérateur et dénominateur par 91 : \(1\,183\div91=13\) et \(455\div91=5\).
\[\dfrac{1\,183}{455}=\dfrac{13\times91}{5\times91}=\dfrac{13}{5}\]
\(\dfrac{1\,183}{455}=\dfrac{13}{5}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Amiens 2003) : développer, factoriser, résoudre
1. Tout d’abord, on développe chaque terme :
\[(5x-2)^2=25x^2-20x+4\]
\[(x-7)(5x-2)=5x^2-2x-35x+14=5x^2-37x+14\]
Le signe « moins » devant le produit change tous ses signes :
\[\text{E}=25x^2-20x+4-5x^2+37x-14\]
\(\text{E}=20x^2+17x-10\).
2. Puis on remplace \(x\) par \(-1\) dans la forme développée : \(20\times(-1)^2+17\times(-1)-10=20-17-10=-7\). Pour \(x=-1\), E vaut \(-7\).
3. Le facteur commun est \((5x-2)\) :
\[\text{E}=(5x-2)\big[(5x-2)-(x-7)\big]=(5x-2)(5x-2-x+7)\]
\(\text{E}=(5x-2)(4x+5)\). Contrôle avec \(x=-1\) : \((-7)\times1=-7\), comme à la question 2.
4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- \(5x-2=0\) donne \(x=\dfrac{2}{5}\) ;
- \(4x+5=0\) donne \(x=-\dfrac{5}{4}\).
Les solutions sont \(\dfrac{2}{5}\) et \(-\dfrac{5}{4}\).
Corrigé de l’exercice 4 : pizzas et jus de fruit
1. Le couple paie 1 pizza et 2 jus pour 11 € ; les amis paient 5 pizzas et 9 jus pour 53 €. Le système est :
\[\left\{\begin{array}{l}x+2y=11\\5x+9y=53\end{array}\right.\]
2. Par substitution : la première équation donne \(x=11-2y\). On remplace dans la seconde :
\[5(11-2y)+9y=53\]
\[55-10y+9y=53\]
\[-y=-2\qquad\text{donc}\qquad y=2\]
Puis \(x=11-2\times2=7\). Vérification : \(7+2\times2=11\) et \(5\times7+9\times2=35+18=53\). Une pizza coûte 7 € et un jus de fruit coûte 2 €.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Amiens 2003) : triangle isocèle et translation
1. Pour commencer, on place A(−3 ; 1), B(0 ; −2) et C(2 ; 3) dans le repère (voir la figure plus bas).
2. a. Dans un repère orthonormal, \(MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\).
\[AC=\sqrt{(2-(-3))^2+(3-1)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\]
\[BC=\sqrt{(2-0)^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\]
AC = BC = \(\sqrt{29}\) cm (environ 5,39 cm).
2. b. Deux côtés ont la même longueur, donc le triangle ABC est isocèle en C. Il n’est pas équilatéral, car \(AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\neq\sqrt{29}\).
3. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((0-(-3)~;~-2-1)=(3~;~-3)\) : la translation déplace chaque point de 3 unités vers la droite et de 3 unités vers le bas.
- A′ = (−3 + 3 ; 1 − 3) = (0 ; −2) : c’est le point B ;
- B′ = (0 + 3 ; −2 − 3) = (3 ; −5) ;
- C′ = (2 + 3 ; 3 − 3) = (5 ; 0).
Le triangle image a pour sommets A′(0 ; −2), B′(3 ; −5) et C′(5 ; 0). Remarque : B′ tombe un peu sous le quadrillage de l’annexe (qui s’arrête à −3), il faut prolonger l’axe des ordonnées vers le bas.
Corrigé de l’exercice 2 : le tajine
1. La hauteur [OS] est perpendiculaire au rayon [OA] : le triangle SOA est rectangle en O, d’hypoténuse [SA]. D’après le théorème de Pythagore :
\[OS^2=SA^2-OA^2=25^2-15^2=625-225=400\]
OS = \(\sqrt{400}\) = 20 cm.
2. Volume d’un cône : \(V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\).
\[V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times15^2\times20=\dfrac{225\times20}{3}\pi=\dfrac{4\,500}{3}\pi\]
\(V=1\,500\pi\ \text{cm}^3\) (environ 4 712 cm³).
3. a. Le rayon passe de 15 cm à 6 cm : \(k=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\). Le coefficient de réduction est \(\dfrac{2}{5}\), soit 0,4.
3. b. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V^{\prime}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\times1\,500\pi=\dfrac{8}{125}\times1\,500\pi=96\pi\approx301{,}6\]
V′ ≈ 302 cm³ au cm³ près.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle et Thalès
1. Construction : trace [ST] de 8 cm. Au compas, trace un arc de centre S et de rayon 6,4 cm, puis un arc de centre T et de rayon 4,8 cm : leur intersection est R.
2. Le plus grand côté est [ST]. Alors on compare :
\[ST^2=8^2=64\qquad RS^2+RT^2=6{,}4^2+4{,}8^2=40{,}96+23{,}04=64\]
Ensuite, on a \(ST^2=RS^2+RT^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en R.
3. Dans le triangle RST rectangle en R, pour l’angle \(\widehat{\text{RST}}\), le côté adjacent est [SR] et l’hypoténuse est [ST] :
\[\cos\widehat{\text{RST}}=\dfrac{SR}{ST}=\dfrac{6{,}4}{8}=0{,}8\]
À la calculatrice, \(\cos^{-1}(0{,}8)\approx36{,}87^\circ\). \(\widehat{\text{RST}}\approx37^\circ\) au degré près.
4. a. Les points S, M, R sont alignés et les points S, N, T sont alignés, dans le même ordre. Puis on compare les rapports :
\[\dfrac{SM}{SR}=\dfrac{4}{6{,}4}=0{,}625\qquad\text{et}\qquad\dfrac{SN}{ST}=\dfrac{5}{8}=0{,}625\]
Ils sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (RT) sont parallèles.
4. b. Les droites (MN) et (RT) étant parallèles, le théorème de Thalès dans le triangle SRT donne :
\[\dfrac{MN}{RT}=\dfrac{SN}{ST}=\dfrac{5}{8}\qquad\text{donc}\qquad MN=4{,}8\times\dfrac{5}{8}=3\]
MN = 3 cm.
Problème (corrigé Amiens 2003)
Corrigé de la partie A : statistiques d’utilisation
1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. 3 h 27 min = 180 + 27 = 207 min, donc \(207-34=173\) min. Or \(173=120+53\). L’étendue est 2 h 53 min.
2. \(26+43+61+80+30+10=250\). L’effectif total est 250 jeunes.
3. Au moins 2 h, c’est au moins 120 min : ce sont les trois dernières classes. \(80+30+10=120\). 120 jeunes ont utilisé leur téléphone au moins 2 h.
4. Moins de 1 h 30 min, c’est moins de 90 min : les deux premières classes, soit \(26+43=69\) jeunes.
\[\dfrac{69}{250}\times100=27{,}6\]
27,6 % des jeunes ont utilisé leur téléphone moins de 1 h 30 min.
5. Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre et on calcule une moyenne pondérée par les effectifs :
\[\dfrac{26\times45+43\times75+61\times105+80\times135+30\times165+10\times195}{250}\]
\[=\dfrac{1\,170+3\,225+6\,405+10\,800+4\,950+1\,950}{250}=\dfrac{28\,500}{250}=114\]
La durée moyenne est 114 min, soit 1 h 54 min (car \(114=60+54\)).
Corrigé de la partie B : comparer deux forfaits
1. a. 1 h 30 min est inférieur au forfait de 2 h : il n’y a pas de dépassement. Formule M : 20 € ; formule P : 26 €.
1. b. 2 h 40 min dépasse le forfait de 40 min.
- Formule M : \(20+0{,}50\times40=20+20=40\) € ;
- De même, formule P : \(26+0{,}30\times40=26+12=38\) €.
Pour 2 h 40 min, on paie 40 € avec M et 38 € avec P.
2. a. \(P_1=0{,}5x+20\).
2. b. \(P_2=0{,}3x+26\).
3. Pour tracer chaque droite, deux points suffisent (un troisième sert de contrôle) :
- \(d_1\) : (0 ; 20), (40 ; 40), (60 ; 50) ;
- \(d_2\) : (0 ; 26), (40 ; 38), (60 ; 44).
4. a.
\[0{,}5x+20=0{,}3x+26\]
\[0{,}5x-0{,}3x=26-20\]
\[0{,}2x=6\qquad\text{donc}\qquad x=\dfrac{6}{0{,}2}=30\]
La solution est \(x=30\).
4. b. Pour un dépassement de 30 minutes, c’est-à-dire une utilisation de 2 h 30 min, les deux formules coûtent le même prix : \(0{,}5\times30+20=35\) €.
4. c. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) se coupent au point de coordonnées (30 ; 35) : les pointillés tracés depuis ce point vers les axes confirment \(x=30\) et un prix de 35 €.
5. a. Au-delà du point d’intersection, la droite \(d_2\) est en dessous de \(d_1\) : P coûte moins cher que M dès que \(x\gt 30\). Pour une utilisation de 2 h ou moins, M (20 €) reste moins chère que P (26 €). La formule P est plus économique pour une utilisation de plus de 2 h 30 min.
5. b. Il faut compter les jeunes qui ont utilisé leur téléphone plus de 2 h 30 min, soit 150 min : ce sont les classes \(150\leqslant d\lt 180\) et \(180\leqslant d\lt 210\). \(30+10=40\). 40 jeunes interrogés ont intérêt à choisir la formule P.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Amiens 2003
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Amiens 2003 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amiens 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé Amiens 2003 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2003. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les agrandissements et réductions. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amiens 2003
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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