Corrigé du brevet de maths 2003 : Académie de Bordeaux

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : Académie de Bordeaux. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Bordeaux 2003

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Bordeaux 2003 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Racines carrées » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Fractions d’une propriété » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Hausse de 8 % » (exercice 3 de la partie numérique). Ensuite, en outre, le corrigé explique « Transformations d’un fanion » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, la correction reprend « Rectangle dans un repère » (activités géométriques). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Cercle et agrandissement » (exercice 1 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Bordeaux 2003 sont les racines carrées, les fractions, le calcul littéral, les pourcentages et les transformations du plan, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Bordeaux 2003)

Corrigé de l’exercice 1 : racines carrées

1. D’abord, on décompose chaque radicande en produit d’un carré parfait par 5 : \(20=4\times5\), \(45=9\times5\), \(180=36\times5\). Puis on utilise \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\).

\[\text{A}=3\sqrt{4}\times\sqrt{5}+\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\times2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=6\sqrt{5}+3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\]

\[\text{B}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}-3\sqrt{5}=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}=3\sqrt{5}\]

\(\text{A}=9\sqrt{5}\) et \(\text{B}=3\sqrt{5}\).

2. Comme \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) :

\[\text{A}\times\text{B}=9\sqrt{5}\times3\sqrt{5}=27\times5=135\qquad\dfrac{\text{A}}{\text{B}}=\dfrac{9\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{9}{3}=3\]

\(\text{A}\times\text{B}=135\) et \(\dfrac{\text{A}}{\text{B}}=3\) sont bien des nombres entiers.

Corrigé de l’exercice 2 : fractions et propriété vendue

1. Dans la parenthèse, la multiplication est prioritaire : \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{5}\) (on simplifie par 4).

\[\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{12}{20}=\dfrac{17}{20}\qquad1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{20}{20}-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}\]

3 et 20 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : le résultat est \(\dfrac{3}{20}\).

2. a. Après la vente de 2001, il reste \(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) de la propriété. Puis en 2002, on vend les quatre cinquièmes de ce reste, c’est-à-dire :

\[\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{5}\]

En 2002, \(\dfrac{3}{5}\) de la propriété ont été vendus.

b. De même, en tout, on a vendu \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\) de la propriété, donc il reste \(1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{5}\right)\) : c’est exactement le calcul de la question 1. Il reste \(\dfrac{3}{20}\) de la propriété invendue.

c. De plus, les \(\dfrac{3}{20}\) de la superficie totale \(S\) valent 6 hectares : \(\dfrac{3}{20}\times S=6\), donc \(S=6\times\dfrac{20}{3}=40\). Autrement dit, \(\dfrac{1}{20}\) de la propriété vaut 2 ha, donc la propriété entière vaut \(20\times2=40\) ha.

La propriété mesurait 40 hectares.

Corrigé de l’exercice 3 (Bordeaux 2003) : développer, factoriser, résoudre

1. Tout d’abord, on développe le carré avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[\text{E}=(2x)^2+2\times2x\times1+1^2-4=4x^2+4x+1-4\]

\(\text{E}=4x^2+4x-3\).

2. Comme \(4=2^2\), E est une différence de deux carrés : on applique \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=2x+1\) et \(b=2\).

\[\text{E}=(2x+1-2)(2x+1+2)=(2x-1)(2x+3)\]

\(\text{E}=(2x-1)(2x+3)\). Contrôle : \((2x-1)(2x+3)=4x^2+6x-2x-3=4x^2+4x-3\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[2x+3=0\ \text{donne}\ x=-\dfrac{3}{2}\qquad2x-1=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{1}{2}\]

Les solutions sont \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}\).

4. Pour \(x=-\dfrac{3}{2}\), la forme factorisée est la plus pratique : \(2x+3=-3+3=0\), donc \(\text{E}=0\) (c’est une solution de la question 3).

Pour \(x=0\), la forme développée donne directement \(\text{E}=4\times0+4\times0-3\), donc \(\text{E}=-3\). (Avec la forme de départ : \(1^2-4=-3\).)

Corrigé de l’exercice 4 : augmentation de 8 %

1. Augmenter de 8 %, c’est ajouter 8 % du prix : \(y=x+\dfrac{8}{100}x=\left(1+0{,}08\right)x\). \(y=1{,}08x\).

2. \(y=1{,}08\times329=355{,}32\). Le lecteur de DVD coûtera 355,32 euros.

3. Ensuite, on connaît \(y=540\) et on cherche \(x\) : \(1{,}08x=540\), donc \(x=\dfrac{540}{1{,}08}=500\). Le téléviseur coûtait 500 euros.

Attention au piège : retirer 8 % de 540 € donnerait 496,80 €, ce qui est faux, car les 8 % portent sur le prix de départ, pas sur 540 €. Vérification : \(500\times1{,}08=540\).

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (Bordeaux 2003) : transformations du fanion

Pour repérer les points, prends l’unité d’un carreau, l’origine en bas à gauche du quadrillage (24 carreaux sur 16). Alors A(9 ; 7), B(8 ; 9), M(14 ; 7). Ensuite, le fanion 1 a sa hampe de M(14 ; 7) à (14 ; 11) et son drapeau triangulaire de sommets (14 ; 11), (17 ; 10) et (14 ; 9). Par ailleurs, la droite (d) monte d’un carreau vers le haut pour un carreau vers la droite (elle passe par (11 ; 0) et (24 ; 13)).

1. a. Symétrie d’axe (d) : chaque point et son image sont sur une perpendiculaire à (d), à la même distance de (d) de part et d’autre. Comme (d) est inclinée à 45°, on se déplace en diagonale sur les carreaux. Puis on obtient : hampe de (18 ; 3) à (22 ; 3), drapeau de sommets (22 ; 3), (21 ; 6) et (20 ; 3). La figure 2 est un fanion couché, sous la droite (d), hampe horizontale.

b. Rotation de centre M, d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre : chaque segment issu de M tourne d’un quart de tour vers la droite. Puis la hampe verticale vers le haut devient horizontale vers la droite : de M(14 ; 7) à (18 ; 7). Ensuite, le drapeau a pour sommets (18 ; 7), (17 ; 4) et (16 ; 7) : la figure 3 a sa hampe horizontale et son drapeau pointant vers le bas.

Corrigé de l’exercice 1 (Bordeaux 2003) : transformations du fanion (suite)

c. Symétrie de centre A : A est le milieu de chaque point et de son image (on reporte le même déplacement en carreaux de l’autre côté de A). Puis la hampe va de (4 ; 7) à (4 ; 3), le drapeau a pour sommets (4 ; 3), (1 ; 4) et (4 ; 5). La figure 4 est le fanion retourné « tête en bas », le drapeau pointant vers la gauche.

d. Symétrie de centre B appliquée à la figure 4 : la hampe va de (12 ; 11) à (12 ; 15), le drapeau a pour sommets (12 ; 15), (15 ; 14) et (12 ; 13). La figure 5 a la même orientation que la figure 1.

2. La figure 5 est exactement la figure 1 « glissée », sans rotation ni retournement : le pied de hampe passe de (14 ; 7) à (12 ; 11), soit 2 carreaux vers la gauche et 4 vers le haut. Or pour aller de A(9 ; 7) à B(8 ; 9), on fait 1 carreau vers la gauche et 2 vers le haut : le déplacement est le double de celui de A vers B.

On passe de la figure 1 à la figure 5 par la translation de vecteur \(2\overrightarrow{\text{AB}}\) (la composée de deux symétries centrales de centres A puis B est toujours une translation de vecteur \(2\overrightarrow{\text{AB}}\)).

Corrigé de l’exercice 2 : un rectangle dans un repère

1. Pour commencer, on place A(−2 ; 1), B(−1 ; 3) et C(5 ; 0) sur l’annexe (voir la figure plus bas).

2. Dans un repère orthonormé, \(\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) :

\[\text{AB}=\sqrt{(-1-(-2))^2+(3-1)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\]

AB = \(\sqrt{5}\).

3. Le plus long côté est [AC] (\(5\sqrt{2}\approx7{,}07\)). Alors on compare :

\[\text{AC}^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2=25\times2=50\qquad\text{AB}^2+\text{BC}^2=5+\left(3\sqrt{5}\right)^2=5+45=50\]

On a \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[x_K=\dfrac{-2+5}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\qquad y_K=\dfrac{1+0}{2}=0{,}5\]

K(1,5 ; 0,5).

5. Un rectangle est un parallélogramme : ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu, ici K. Donc K est aussi le milieu de [BD] :

\[\dfrac{-1+x_D}{2}=1{,}5\ \text{donc}\ x_D=3+1=4\qquad\dfrac{3+y_D}{2}=0{,}5\ \text{donc}\ y_D=1-3=-2\]

D(4 ; −2). Contrôle sur le quadrillage : de B à C on fait +6 et −3 ; de A à D aussi : (−2 + 6 ; 1 − 3) = (4 ; −2). De plus, le parallélogramme ABCD a un angle droit en B, c’est bien un rectangle.

Questions enchaînées

Corrigé des questions enchaînées : cercle, agrandissement et centre de gravité

1. a. Ensuite, le triangle BMN est rectangle en M, d’hypoténuse [BN]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{MN}^2=\text{BN}^2-\text{BM}^2=4^2-3{,}2^2=16-10{,}24=5{,}76\qquad\text{MN}=\sqrt{5{,}76}=2{,}4\]

MN = 2,4 cm.

b. Par ailleurs, dans ce même triangle, pour l’angle \(\widehat{\text{MBN}}\), [BM] est le côté adjacent et [BN] l’hypoténuse :

\[\cos\widehat{\text{MBN}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{BN}}=\dfrac{3{,}2}{4}=0{,}8\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{MBN}}\approx36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{\text{MBN}}\approx37^\circ\) au degré près.

2. a. Puis le point P est sur le cercle de diamètre [AB]. Ensuite, un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, le sommet de l’angle droit étant le point opposé au diamètre. Le triangle BPA est rectangle en P.

b. M est sur la droite (BP). Puis on a donc (PA) ⊥ (BP) (question 2a) et (MN) ⊥ (BM), c’est-à-dire (MN) ⊥ (BP). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (PA) et (MN) sont parallèles.

3. a. De plus, les côtés qui se correspondent sont [BN] et [BA] (les hypoténuses). BA est le diamètre : BA = 12 cm.

\[k=\dfrac{\text{BA}}{\text{BN}}=\dfrac{12}{4}=3\]

Le coefficient d’agrandissement est 3.

b. [BP] correspond à [BM] : \(\text{BP}=3\times\text{BM}=3\times3{,}2=9{,}6\). BP = 9,6 cm.

c. Ensuite, le triangle BMN est rectangle en M, ses côtés de l’angle droit sont BM et MN :

\[\mathcal{A}_{\text{BMN}}=\dfrac{3{,}2\times2{,}4}{2}=3{,}84\ \text{cm}^2\]

Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2=9\) :

\[\mathcal{A}_{\text{BPA}}=9\times3{,}84=34{,}56\ \text{cm}^2\]

Aire de BMN : 3,84 cm² ; aire de BPA : 34,56 cm². (Vérification directe : PA = 3 × 2,4 = 7,2 cm et \(\dfrac{9{,}6\times7{,}2}{2}=34{,}56\).)

Corrigé des questions enchaînées : cercle, agrandissement et centre (suite)

4. E est le milieu de [BN], donc BE = 2 cm. BO est un rayon : BO = 6 cm. Ensuite, on compare les rapports sur les droites (BO) et (BP) :

\[\dfrac{\text{BE}}{\text{BO}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\qquad\dfrac{\text{BM}}{\text{BP}}=\dfrac{3{,}2}{9{,}6}=\dfrac{1}{3}\]

Les rapports sont égaux et les points B, E, O d’une part, B, M, P d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ME) et (PO) sont parallèles.

5. BN = 4 cm et BO = 6 cm, donc \(\dfrac{\text{BN}}{\text{BO}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).

La droite (PO) recoupe le cercle en K : [PK] est un diamètre, donc O est le milieu de [PK]. Dans le triangle BPK, la droite (BO) joint le sommet B au milieu du côté opposé [PK] : [BO] est une médiane de ce triangle.

Le point N est sur cette médiane, et \(\text{BN}=\dfrac{2}{3}\,\text{BO}\) : il est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet B. D’après la propriété rappelée, N est le centre de gravité du triangle BPK.

Le centre de gravité se trouve sur les trois médianes. La droite (PN) passe par le sommet P et par le centre de gravité N : c’est donc la médiane issue de P, qui coupe le côté opposé [BK] en son milieu. Comme I est le point d’intersection de (PN) et de (BK), I est le milieu du segment [BK].

Corrigé des questions enchaînées : cercle, agrandissement et centre (suite)

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2003 : Académie de Bordeaux.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Bordeaux 2003

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Au besoin, la définition de la notion de racine carrée sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Bordeaux 2003 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Bordeaux 2003

Faut-il lire le corrigé corrigé Bordeaux 2003 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2003. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les racines carrées, les fractions, le calcul littéral et les pourcentages. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Bordeaux 2003

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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