Sujet du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord, septembre

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. Calculer \(A=\dfrac{5}{3}-\dfrac{8}{3}\times\dfrac{5}{2}\).

2. Donner l’écriture scientifique de \(B=\dfrac{5\times10^{-8}\times36\times10^{4}}{15\times10^{5}}\).

3. Soit \(C=\sqrt{18}-3\sqrt{50}\).
Écrire C sous la forme \(a\sqrt{2}\) où \(a\) est un nombre entier relatif.

Exercice 2

On considère l’expression \(F=(2x+3)(5-x)-(2x+3)^2\).

1. Développer et réduire \(F\).

2. Factoriser \(F\).

3. Résoudre l’équation \((2x+3)(2-3x)=0\).

4. Calculer la valeur numérique de \(F\) pour \(x=3\).

Exercice 3

1. Résoudre le système : \(\left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\3x+8y=10{,}9\end{array}\right.\)

2. Avec 3 euros, un achète 1 pain au chocolat et 2 croissants. Avec 10,90 euros, on achète 3 pains au chocolat et 8 croissants.
Calculer le prix d’un pain au chocolat et celui d’un croissant.

Exercice 3

Les nombres 133 et 185 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

1. Dans un repère orthonormal (O, I, J), placer les points A(5 ; 1) ; B(−2 ; 2) ; C(2 ; 5).

2. a. Calculer AB et BC.

b. On donne AC = 5. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

3. Soit le point E symétrique du point A par rapport au point C et soit le point F symétrique du point B par rapport au point C.

a. Construire les points E et F.

b. Quelle est la nature du quadrilatère ABEF ? Justifier la réponse.

Exercice 2

Soit le triangle AHO rectangle en H tel que AH = 3,2 cm et OH = 6 cm.
Sur le dessin, les dimensions ne sont pas respectées.

1. Déterminer la mesure de l’angle \(\widehat{A}\) arrondie au degré près.

2. On se place dans l’espace et on fait tourner ce triangle autour de l’axe [OH], en lui faisant faire un tour complet. On obtient ainsi un cône de hauteur OH et de rayon de base AH.

a. Calculer le volume V (en cm³) de ce cône. (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à l’unité.)

b. On considère une réduction de ce cône, à l’échelle \(\dfrac{1}{2}\). Exprimer le volume V′ du cône réduit en fonction de V. En déduire que la valeur de V′ arrondie à l’unité est 8 cm³.

Exercice 3

1. Construire un triangle RST rectangle en R tel que ST = 8 cm et RT = 4,8 cm.

2. Montrer par un calcul que RS = 6,4 cm.

3. Sur la demi-droite [RT), placer le point U tel que : RU = 6 cm.
Sur la demi-droite [RS), placer le point V tel que : RV = 8 cm.

a. Montrer que les droites (TS) et (UV) sont parallèles.

b. Calculer UV.

Problème 12 points

Première partie

Le ciné-club du village propose deux tarifs pour l’année 2004. Ils sont décrits ci-dessous :

1. Calculer, pour chaque tarif, le prix payé pour 8 séances achetées en 2004.

2. On appelle \(x\) le nombre de séances achetées en 2004.
Exprimer en fonction de \(x\) le prix payé avec le tarif A, puis avec le tarif B.

3. Vincent a payé 40 euros avec le tarif A. Vérifier qu’il a assisté à 10 séances.

4. Quel est le nombre maximum de séances pour lequel le prix payé avec le tarif B est inférieur au prix payé avec le tarif A.

5. Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal où les unités sont les suivantes :

• sur l’axe des abscisses, 1 cm représente une unité ;
• sur l’axe des ordonnées, 2 cm représentent dix unités.

a. Dans ce repère, tracer :

• la droite \(\mathcal{D}_1\) représentation graphique de la fonction linéaire \(x\longmapsto 5x\) ;
• la droite \(\mathcal{D}_2\) représentation graphique de la fonction affine \(x\longmapsto 1{,}5x+25\).

b. Vérifier graphiquement la réponse obtenue à la question 4 en faisant apparaître les pointillés utiles.

Deuxième partie

En 2003, le gérant du ciné-club a fait une enquête auprès de ses clients en leur posant la question : « Combien de films avez-vous vu au ciné-club cette année ? ». Voici le résultat de l’enquête :

1. Combien le gérant a-t-il obtenu de réponses à son enquête ?

2. Parmi les personnes qui ont répondu à l’enquête :

a. Quel est le pourcentage des personnes qui ont vu 6 films (donner le résultat arrondi au dixième)

b. Quel est le nombre de personnes qui ont vu au moins 7 films pendant l’année ?

3. Calculer une valeur approchée de la moyenne, arrondie à l’unité, du nombre de films vus par les personnes qui ont répondu à l’enquête.

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