Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Reims, septembre

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d’explications.
Le barème en tiendra compte

Exercice 1

On donne \(A=(2x-3)(x-4)-(2x-3)^2\).

1. Développer et réduire A.

2. Calculer A lorsque \(x=\dfrac{3}{2}\), puis lorsque \(x=3\sqrt{2}\).

3. Factoriser A.

4. Résoudre l’équation \((2x-3)(-x-1)=0\).

Exercice 2

Au cours de la diffusion d’un film dans une salle de cinéma de 288 places, dont toutes les places sont occupées, on a noté, dans un tableau, la répartition par tranches d’âges de tous les spectateurs.

1. Compléter le tableau ci-dessous en prenant soin de détailler le calcul de la fréquence en pourcentage de la classe d’âge [15 ; 25[.

2. Calculer la moyenne de cette série statistique, en remplaçant chaque classe par sa valeur centrale (par exemple, la classe [15 ; 25[ sera remplacée par la valeur 20, la classe [25 ; 35[ sera remplacée par la valeur 30, etc.).

Exercice 3

Soit \(f\) la fonction affine telle que \(f(x)=\dfrac{2}{3}x+1\).

1. Quelle est l’image de 3 par la fonction \(f\) ? Quelle est l’image de \(-3\) ?

2. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la droite qui représente la fonction \(f\) (Sur les deux axes du repère orthonormal, l’unité de longueur choisie est 1 cm.)

3. Déterminer graphiquement le nombre \(x\) tel que \(f(x)=5\) et retrouver le résultat par le calcul.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

La figure ci-dessous n’est pas à refaire sur la copie, Elle n’est pas donnée en vraie grandeur.

A, B et C sont trois points d’un cercle \(\mathcal{C}\) (voir figure).
On sait que AB = 3 cm.
La hauteur AH mesure 2,5 cm.
On trace le diamètre [AE].

1. Quelle est la nature du triangle ACE ? Justifier la réponse.

2. Expliquer pourquoi les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{AEC}\) sont égaux.

3. En utilisant le triangle ABH, calculer la valeur exacte de \(\sin\widehat{ABH}\) et en déduire la mesure de l’angle \(\widehat{AEC}\) arrondie au degré

Exercice 2

1. Construire un triangle ABD tel que AB = 6 cm, AD = 8 cm et BD = 10 cm.

2. Démontrer que ce triangle est rectangle.

3. Placer le point C tel que \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

4. Placer sur le segment [AB] le point K tel que AK = 4,5 cm, puis tracer la parallèle à (BD) passant par K. Elle coupe la droite (AD) en S. Calculer la longueur du segment [AS].

Exercice 3

PQRS est un carré. La flèche indique le sens direct.
Pour chacune des questions Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, une seule réponse est exacte.
Recopier, sans justification, cette bonne réponse sur la copie.

Problème 12 points

Première partie

ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle \(\mathcal{C}\) de centre O et de rayon R = 26 cm. On rappelle que tous les côtés de cet hexagone mesurent 26 cm (figure 1 ci-contre).
L’hexagone ABCDEF est la base d’une pyramide régulière de sommet S et de hauteur SO = 83 cm (figure 2).
Le point H est le milieu de [AB]. (On rappelle que les faces latérales de cette pyramide sont des triangles isocèles en S.)

1. Le triangle SOB est rectangle en O. Calculer SB².

2. Que représente la droite (SH) pour le triangle SAB ? Justifier.

3. Montrer que SH = 86 cm.

4. Calculer, en cm², l’aire du triangle SAB.

5. En déduire que l’aire latérale de la pyramide (aire de la pyramide sans la base) est 6 708 cm².

Deuxième partie

Pour fabriquer l’abat-jour d’une lampe, on a coupé cette pyramide d’un plan parallèle à la base (figure 3). On obtient ainsi un tronc de pyramide qui servira d’abat-jour (figure 4). Ainsi la pyramide SA′B′C′D′E′F′ est une réduction de la pyramide SABCDEF.

1. On donne SO′ = 33,2 cm.
Calculer \(\dfrac{SO^{\prime}}{SO}\) et expliquer comment obtenir l’aire latérale de AB′C′D′E′F′ à partir de l’aire latérale de SABDCDEF.
Calculer alors l’aire de l’abat-jour en cm².

2. On suppose maintenant que SO′ = \(x\), avec \(0\lt x\lt 83\).
Montrer que l’aire \(\mathcal{A}\) de l’abat-jour vérifie :
\(\mathcal{A}=6\,708-\dfrac{6\,708}{6\,889}x^2\)

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