Orthocentre
En bref : L’orthocentre d’un triangle est le point où se croisent ses trois hauteurs ; il se trouve à l’intérieur d’un triangle aux angles aigus, sur le sommet de l’angle droit, ou hors du triangle s’il est obtus.
5èmeGéométrie plane
Définition : Orthocentre
L’orthocentre est le point commun aux trois hauteurs d’un triangle. Il suffit de tracer deux hauteurs pour le trouver, puisque la troisième passera forcément par lui.
Sa position dépend du triangle. Quand les trois angles sont aigus, il est à l’intérieur. Dans un triangle rectangle, il est confondu avec le sommet de l’angle droit. Dans un triangle ayant un angle obtus, il tombe en dehors, et les hauteurs doivent être prolongées pour se rencontrer.
Comment le reconnaître
- L’énoncé nomme un point \(H\) obtenu comme intersection de deux perpendiculaires menées depuis des sommets.
- On doit montrer qu’une droite passant par un sommet est perpendiculaire au côté opposé, sans la tracer.
- Trois droites paraissent concourantes dans une figure où apparaissent plusieurs angles droits.
- Le sujet demande où se trouve le point commun des hauteurs d’un triangle rectangle ou obtus.
La méthode
- Tracer la hauteur issue d’un premier sommet avec l’équerre, perpendiculaire au côté opposé.
- Tracer la hauteur issue d’un deuxième sommet de la même façon.
- Marquer \(H\) à leur croisement : c’est l’orthocentre.
- Tracer la troisième hauteur pour vérifier qu’elle passe bien par \(H\).
Orthocentre : exemple corrigé
Énoncé
Dans le triangle \(ABC\), l’angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(70^\circ\). La hauteur issue de \(B\) coupe \((AC)\) en \(E\) et la hauteur issue de \(A\) coupe \((BC)\) en \(D\) ; elles se croisent en \(H\). Que peut-on dire de \((CH)\), et combien mesure \(\widehat{ABE}\) ?
Corrigé
\(H\) est l’intersection de deux hauteurs : c’est l’orthocentre. La droite \((CH)\) est donc la troisième hauteur, perpendiculaire à \((AB)\).
Le triangle \(ABE\) est rectangle en \(E\), et la somme de ses angles vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{ABE} = 180 – 90 – 70 = 20^\circ\). L’angle mesure 20°.
À toi de jouer
Question 1
Où est situé le point de rencontre des hauteurs d’un triangle rectangle en \(R\) ?
Voir la réponse
Il est confondu avec \(R\), car les deux côtés de l’angle droit sont déjà deux hauteurs.
Question 2
Ce point peut-il se trouver hors du triangle ? Dans quel cas ?
Voir la réponse
Oui, quand le triangle a un angle obtus : il est alors à l’extérieur, au-delà du sommet de cet angle.
Ne pas confondre Orthocentre et Centre de gravité
Le centre de gravité réunit les trois médianes, qui visent des milieux de côtés ; il est toujours à l’intérieur du triangle. Le point étudié ici réunit les trois hauteurs, qui sont perpendiculaires aux côtés ; il peut sortir de la figure. Dans un triangle équilatéral, ces deux points se superposent.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Hauteur d'un triangle
- Triangle
- Centre de gravité
- Médiane d'un triangle
- Droites perpendiculaires
- Triangle rectangle
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