Équation produit nul
En bref : Une équation produit nul est de la forme A × B = 0 : elle est vraie quand l’un des facteurs vaut zéro, donc elle se ramène à deux équations simples A = 0 ou B = 0.
3èmeCalcul littéral
Définition : Équation produit nul
Une équation produit nul est une équation dont un côté est un produit de facteurs et dont l’autre côté est exactement \(0\), comme \((4x-10)(x+3)=0\).
Elle s’appuie sur une propriété du zéro : multiplier des nombres ne donne \(0\) que si au moins un des nombres multipliés est lui-même \(0\). Il suffit donc de résoudre séparément chaque facteur égal à \(0\). Une telle équation produit nul admet en général deux solutions, parfois une seule quand les deux facteurs donnent la même valeur.
Comment le reconnaître
- L’équation est déjà écrite sous forme de parenthèses multipliées entre elles, et le second membre est \(0\).
- Une équation produit nul se cache parfois derrière une écriture comme \(x^2 – 49 = 0\) ou \(x^2 – 6x = 0\), à factoriser d’abord.
- On doit trouver tous les nombres qui annulent une expression donnée sous forme factorisée.
- La consigne demande de « résoudre » avec un résultat attendu sous la forme « \(x = \ldots\) ou \(x = \ldots\) ».
La méthode
- Vérifier que le second membre est \(0\) ; sinon, tout passer d’un côté puis factoriser.
- Écrire que chaque facteur peut être nul : « \(A = 0\) ou \(B = 0\) ».
- Résoudre séparément chacune de ces deux équations du premier degré, comme on le fait pour une équation produit nul classique.
- Conclure par la liste des solutions et contrôler en remplaçant \(x\) dans l’équation de départ.
Équation produit nul : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre l’équation \((4x-10)(x+3)=0\), puis vérifier les solutions.
Corrigé
Le produit est nul, donc l’un des facteurs est nul : \(4x-10=0\) ou \(x+3=0\).
Première équation : \(4x=10\), donc \(x=\frac{10}{4}=2{,}5\). Seconde équation : \(x=-3\).
Contrôle avec \(2{,}5\) : \(4 \times 2{,}5 – 10 = 0\), le produit vaut \(0\). Contrôle avec \(-3\) : \(-3+3=0\). Les solutions sont \(2{,}5\) et \(-3\).
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \((x-9)(2x+1)=0\).
Voir la réponse
\(x-9=0\) donne \(x=9\) ; \(2x+1=0\) donne \(x=-0{,}5\). Solutions : \(9\) et \(-0{,}5\).
Question 2
Résoudre \(x(x-4)=0\).
Voir la réponse
Le premier facteur est \(x\), qui vaut \(0\) pour \(x=0\) ; le second donne \(x=4\). Solutions : \(0\) et \(4\).
Ne pas confondre Équation produit nul et Équation
La méthode du produit nul ne fonctionne que si le second membre est zéro. Avec \((x-3)(x+2)=5\), dire que « \(x-3=5\) ou \(x+2=5\) » est une erreur grave : un produit égal à 5 peut avoir des facteurs quelconques. Il faut d’abord développer, tout passer à gauche, puis refactoriser.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Calcul littéral
