Extremum
En bref : Un extremum d’une fonction est son maximum ou son minimum : la plus grande ou la plus petite valeur atteinte par la fonction, soit sur un intervalle entier, soit seulement autour d’un point.
SecondeFonctions
Définition : Extremum
Un extremum est un nom qui désigne à la fois un maximum et un minimum. C’est une valeur de \(f(x)\) qui est effectivement atteinte, jamais une simple borne que l’on approcherait sans la toucher.
On distingue deux situations. Un extremum sur un intervalle est la valeur la plus grande ou la plus petite de toute la courbe étudiée. Un extremum local ne concerne qu’un voisinage de la valeur : la courbe fait un sommet ou un creux, mais elle peut redescendre plus bas ou monter plus haut ailleurs.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande la plus grande valeur, la plus petite valeur, le point haut ou le point bas d’une courbe.
- Sur un tableau de variations, une flèche montante est suivie d’une flèche descendante, ou l’inverse.
- Il s’agit d’optimiser : un bénéfice maximal, une dépense minimale, une hauteur de lancer.
La méthode
- Dresser ou lire le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle demandé.
- Repérer les valeurs où le sens de variation change : ce sont les candidats pour un extremum local.
- Comparer ces valeurs avec celles des bornes de l’intervalle pour trouver l’extremum sur tout l’intervalle.
- Donner la réponse en indiquant la valeur de l’extremum et l’abscisse où il est atteint.
Extremum : exemple corrigé
Énoncé
Une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;\,10]\) est croissante sur \([-3\,;\,2]\), décroissante sur \([2\,;\,7]\), puis croissante sur \([7\,;\,10]\), avec \(f(-3)=-4\), \(f(2)=5\), \(f(7)=-1\) et \(f(10)=3\). Donner ses extrema locaux, puis son maximum et son minimum sur \([-3\,;\,10]\).
Corrigé
Le sens de variation change en \(x=2\) (de croissante à décroissante) et en \(x=7\) (l’inverse). Il y a donc un maximum local \(5\) atteint en \(2\), et un minimum local \(-1\) atteint en \(7\).
Sur tout l’intervalle, on compare aussi les bornes : \(f(-3)=-4\) est plus petit que \(-1\), et \(f(10)=3\) est plus petit que \(5\). Le maximum est \(5\) en \(x=2\) et le minimum est \(-4\) en \(x=-3\).
À toi de jouer
Question 1
Une fonction \(g\) est croissante sur \([0\,;\,4]\) avec \(g(0)=1\) et \(g(4)=6\), puis décroissante sur \([4\,;\,9]\) avec \(g(9)=-2\). Quels sont son maximum et son minimum sur \([0\,;\,9]\) ?
Voir la réponse
Le maximum est \(6\), atteint en \(x=4\). Le minimum est \(-2\), atteint en \(x=9\), car \(-2<1\).
Question 2
Pour \(h(x)=(x-3)^2+2\), quelle valeur ne peut-on jamais descendre sous ?
Voir la réponse
Un carré est positif ou nul, donc \(h(x)\ge 2\). Le minimum est \(2\), atteint pour \(x=3\).
Ne pas confondre Extremum et Borne d'un intervalle
Un extremum est une valeur que la fonction atteint vraiment. Une borne est seulement un nombre que la fonction ne dépasse pas, sans forcément le toucher. Par exemple, \(\dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) reste toujours positive, donc \(0\) est une borne par le bas, mais elle n’a pas de minimum.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Maximum d'une fonction
- Minimum d'une fonction
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Fonction carré
- Courbe représentative
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