Fonction cube
En bref : La fonction cube associe à tout réel x le nombre x³ : elle est croissante sur tout l’ensemble des réels et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
SecondeFonctions
Définition : Fonction cube
La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3=x\times x\times x\). Elle donne le volume d’un cube d’arête \(x\), mais elle accepte aussi les nombres négatifs.
Contrairement au carré, le cube garde le signe du nombre de départ : \((-2)^3=-8\). Sa courbe passe par l’origine, par \((1\,;\,1)\) et par \((-1\,;\,-1)\), et elle est symétrique par rapport au point \(O\), car \((-x)^3=-x^3\). Surtout, la fonction ne change jamais de sens : elle est croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier, donc l’ordre des nombres est toujours conservé.
Comment le reconnaître
- Un volume de cube dépend d’une arête variable, ou le nombre est élevé à la puissance trois.
- L’énoncé demande de comparer des cubes, y compris de nombres négatifs.
- La courbe monte de la gauche vers la droite en traversant l’origine avec un aplatissement net.
- On cherche un nombre dont le cube est donné, par exemple \(x^3=343\).
La méthode
- Pour comparer deux cubes, comparer simplement les nombres : si \(a<b\), alors \(a^3<b^3\), quels que soient leurs signes.
- Pour résoudre \(x^3=k\), chercher le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne \(k\) ; il n’y en a qu’un.
- Garder le signe de \(k\) : un cube négatif vient d’un nombre négatif.
- Vérifier en recalculant le cube du résultat.
Fonction cube : exemple corrigé
Énoncé
Sans calculatrice, comparer \((-1{,}6)^3\) et \((-1{,}2)^3\). Puis trouver le nombre \(x\) tel que \(x^3=343\).
Corrigé
La fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\). Comme \(-1{,}6<-1{,}2\), on garde le sens : \((-1{,}6)^3<(-1{,}2)^3\). Contrôle chiffré : \(-4{,}096<-1{,}728\).
Pour \(x^3=343\), on teste des entiers : \(6^3=216\) est trop petit, \(7^3=343\) convient. La fonction étant strictement croissante, il n’existe pas d’autre solution : \(x=7\).
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \(x^3=-64\).
Voir la réponse
Le cube est négatif, donc \(x\) l’est aussi. Comme \(4^3=64\), la solution est \(x=-4\).
Question 2
Calculer l’ordonnée du point de la courbe dont l’abscisse est \(-2{,}5\).
Voir la réponse
\((-2{,}5)^3=-(2{,}5\times 2{,}5\times 2{,}5)=-15{,}625\).
Ne pas confondre Fonction cube et Fonction carré
Le carré rend tout nombre positif et sa courbe est une cuvette symétrique par rapport à l’axe vertical : elle redescend puis remonte. Le cube garde le signe du nombre, sa courbe est symétrique par rapport à l’origine et elle ne redescend jamais. Pour comparer, le carré demande de regarder les signes, le cube non.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction carré
- Cube d'un nombre
- Fonction impaire
- Variations d'une fonction
- Courbe représentative
- Exposant
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