Variations d’une fonction
En bref : Les variations d’une fonction décrivent comment ses images évoluent quand x augmente : elle est croissante si les images montent avec x, décroissante si elles baissent.
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Définition : Variations d'une fonction
Étudier les variations d’une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\), c’est préciser si elle monte ou descend quand \(x\) augmente. Elle est croissante sur \(I\) si, pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\le f(b)\) : l’ordre est conservé.
Elle est décroissante si \(a<b\) entraîne \(f(a)\ge f(b)\) : l’ordre est renversé. Avec des inégalités strictes, on parle de fonction strictement croissante ou strictement décroissante. Constater un comportement sur deux ou trois valeurs ne prouve rien : la définition porte sur tous les couples de nombres de l’intervalle.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande si les valeurs d’une grandeur augmentent ou diminuent quand une autre augmente.
- On doit comparer deux images \(f(a)\) et \(f(b)\) sans les calculer, en se fondant sur \(a\) et \(b\).
- Une courbe est donnée et il faut dire sur quels intervalles elle monte ou descend.
- Il faut dresser un tableau de variation ou justifier un sens de variation par un calcul.
La méthode
- Pour lire les variations d’une fonction sur un graphique, parcourir la courbe de gauche à droite : elle monte ou elle descend.
- Pour prouver un sens de variation, prendre deux nombres \(a<b\) dans l’intervalle.
- Transformer l’inégalité \(a<b\) en suivant les opérations de \(f(x)\), en retournant le sens lorsque l’on multiplie par un négatif.
- Conclure sur l’ordre de \(f(a)\) et \(f(b)\), puis nommer l’intervalle de validité.
Variations d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Montrer que \(f(x)=-2x+7\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\), puis comparer \(f(1{,}3)\) et \(f(4{,}8)\).
Corrigé
Soit \(a<b\). En multipliant par \(-2\), nombre négatif, le sens se retourne : \(-2a>-2b\). En ajoutant \(7\), on obtient \(-2a+7>-2b+7\), c’est-à-dire \(f(a)>f(b)\). La fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Comme \(1{,}3<4{,}8\), on en déduit \(f(1{,}3)>f(4{,}8)\). Contrôle : \(f(1{,}3)=4{,}4\) et \(f(4{,}8)=-2{,}6\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Comparer \(2{,}6^2\) et \(2{,}9^2\).
Voir la réponse
Comme \(2{,}6<2{,}9\), l’ordre est conservé : \(2{,}6^2<2{,}9^2\), soit \(6{,}76<8{,}41\).
Question 2
Une fonction passe de \(12\) en \(x=1\) à \(5\) en \(x=4\). Est-elle forcément décroissante sur \([1\,;\,4]\) ?
Voir la réponse
Non : deux valeurs ne suffisent pas. Elle peut monter puis descendre entre \(1\) et \(4\).
Ne pas confondre Variations d'une fonction et Signe d'une fonction
Les variations indiquent si la courbe monte ou descend ; le signe indique si elle est au-dessus ou en dessous de l’axe horizontal. Une fonction peut être positive tout en décroissant, comme \(\dfrac{1}{x}\) sur les positifs, ou négative tout en croissant. Ces deux études sont indépendantes.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction croissante
- Fonction décroissante
- Tableau de variation
- Fonction monotone
- Extremum
- Courbe représentative
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