Fonction périodique
En bref : Une fonction périodique de période T reproduit le même motif à intervalles réguliers : f(x + T) = f(x) pour tout x, de sorte que son étude sur un seul intervalle de longueur T suffit.
PremièreFonctions
Définition : Fonction périodique
Une fonction périodique \(f\) possède un nombre \(T\) non nul tel que \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\) de son ensemble de définition, qui doit rester inchangé par ce décalage. Le plus petit \(T\) strictement positif qui convient est appelé la période.
La courbe se compose alors d’un motif qui se répète, translaté de \(T\) vers la droite et vers la gauche. Si \(T\) est une période, \(2T\), \(3T\) et \(-T\) en sont aussi. Les fonctions cosinus et sinus ont pour période \(2\pi\) ; en multipliant l’argument par un nombre \(k\), la période devient \(\dfrac{2\pi}{k}\). Elles modélisent les marées, les sons, un manège.
Comment le reconnaître
- Un phénomène revient au même état à intervalles réguliers : marées, rotation d’une roue, vibration.
- L’énoncé demande de montrer qu’un nombre est une période ou de trouver la période.
- La courbe présente un motif que l’on retrouve identique après un décalage horizontal constant.
- On cherche la valeur en un nombre très grand, qu’on ramène à un petit nombre grâce au motif répété.
La méthode
- Pour prouver qu’une fonction périodique a pour période \(T\), calculer \(f(x+T)\) et montrer que le résultat redonne \(f(x)\).
- Pour trouver la période de \(\sin(kx)\) ou \(\cos(kx)\), diviser \(2\pi\) par \(k\).
- Pour calculer \(f(a)\) avec \(a\) grand, soustraire des multiples entiers de la période jusqu’à retomber sur un petit nombre.
- Étudier la fonction sur un intervalle de longueur \(T\), puis recopier le motif par translation.
Fonction périodique : exemple corrigé
Énoncé
Une nacelle de grande roue s’élève à la hauteur \(h(t)=4+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\) mètres, \(t\) en secondes. Montrer que \(12\) est une période, puis calculer \(h(30)\).
Corrigé
\(h(t+12)=4+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+2\pi\right)=4+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=h(t)\), car le sinus a pour période \(2\pi\). Donc \(12\) s est une période.
Comme \(30=24+6\), on retire deux périodes : \(h(30)=h(6)=4+3\sin\pi=4+0=\) \(4\) mètres.
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(f\) est de période \(4\) et \(f(1)=3\). Que vaut \(f(9)\) ?
Voir la réponse
\(9=1+2\times 4\), donc \(f(9)=f(1)=3\).
Question 2
Quelle est la période de \(x\mapsto\cos(2x)\) ?
Voir la réponse
On divise \(2\pi\) par le coefficient \(2\) : la période est \(\pi\).
Ne pas confondre Fonction périodique et Fonction paire
La parité exprime une symétrie en miroir ou en demi-tour autour de zéro. La périodicité exprime une répétition par glissement horizontal. Le cosinus possède les deux propriétés, mais ce n’est pas le cas général : la fonction \(x\mapsto x^2\) est paire sans être périodique, et le sinus est impair et périodique.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonctions trigonométriques
- Cercle trigonométrique
- Radian
- Fonction paire
- Fonction impaire
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