Tangente à une courbe
En bref : La tangente à une courbe, en un point donné, est la meilleure droite d’approximation de la courbe tout près de ce point : sa pente vaut le nombre dérivé, d’où l’équation y = f'(a)(x – a) + f(a).
PremièreFonctions
Définition : Tangente à une courbe
Une tangente à une courbe au point d’abscisse \(a\) est la droite qui frôle la courbe en cet endroit avec la même direction qu’elle. En agrandissant la courbe autour du point de contact, on la voit se confondre peu à peu avec sa tangente.
Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), cette droite passe par \(A(a\,;\,f(a))\) et son coefficient directeur est \(f^{\prime}(a)\). Son équation réduite s’écrit \(y=f^{\prime}(a)\,(x-a)+f(a)\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande l’équation d’une droite qui « touche » la courbe en un point d’abscisse donnée.
- On cherche une approximation affine d’une fonction au voisinage d’un point.
- Une pente de courbe, une vitesse instantanée ou un taux de variation instantané est évoqué.
- On veut les points où la tangente est horizontale, ce qui correspond à une dérivée nulle.
La méthode
- Calculer \(f(a)\) pour obtenir les coordonnées du point de contact.
- Dériver \(f\), puis calculer \(f^{\prime}(a)\) : c’est le coefficient directeur.
- Remplacer dans \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\).
- Développer pour donner l’équation réduite \(y=mx+p\) et vérifier que le point de contact la vérifie.
Tangente à une courbe : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=x^2-4x+7\). Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(3\).
Corrigé
Le point de contact a pour ordonnée \(f(3)=9-12+7=4\). La dérivée est \(f^{\prime}(x)=2x-4\), donc \(f^{\prime}(3)=2\).
L’équation est \(y=2(x-3)+4=2x-6+4\), soit \(y=2x-2\). Vérification : en \(x=3\), \(2\times 3-2=4\).
À toi de jouer
Question 1
Pour \(g(x)=x^2\), donner l’équation de la tangente au point d’abscisse \(5\).
Voir la réponse
\(g(5)=25\), \(g^{\prime}(5)=10\) : \(y=10(x-5)+25\), soit \(y=10x-25\).
Question 2
Pour \(h(x)=x^2-6x+1\), en quelle abscisse la tangente est-elle horizontale ?
Voir la réponse
On résout \(h^{\prime}(x)=2x-6=0\) : l’abscisse est \(3\).
Ne pas confondre Tangente à une courbe et Tangente à un cercle
La tangente à un cercle touche toujours le cercle en un seul point et est perpendiculaire au rayon. Une tangente à une courbe quelconque peut recouper la courbe ailleurs et traverser la courbe au point de contact (au point d’inflexion). Elle se définit par la dérivée, pas par le nombre de points communs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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