Tangente à un cercle
En bref : Une tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point, appelé point de contact, et qui est perpendiculaire au rayon mené à ce point.
3èmeGéométrie plane
Définition : Tangente à un cercle
Une tangente à un cercle est une droite qui n’a qu’un seul point commun avec lui : elle l’effleure sans jamais entrer à l’intérieur. Le point où elle le touche est le point de tangence.
La propriété utile du programme est la suivante : la tangente au point \(T\) est perpendiculaire au rayon \([OT]\). Réciproquement, une droite perpendiculaire à un rayon en son extrémité sur le cercle est tangente. Comme le triangle formé par le centre, le point de tangence et un point extérieur est rectangle, on pourra calculer des longueurs grâce au théorème de Pythagore.
Comment le reconnaître
- L’énoncé parle d’une droite « qui touche le cercle en un seul point » ou « qui effleure » une roue, une courbe.
- Une figure indique un angle droit entre un rayon et une droite à l’extrémité de ce rayon.
- On mène depuis un point extérieur une droite qui reste d’un seul côté du cercle.
- Il faut justifier qu’un triangle contenant un rayon et un point de contact est rectangle.
La méthode
- Marquer le centre \(O\), le point de contact \(T\) et tracer le rayon \([OT]\).
- Utiliser la perpendicularité : le triangle \(OTA\) est rectangle en \(T\) pour tout point \(A\) de la tangente.
- Écrire le théorème de Pythagore avec l’hypoténuse \(OA\) : \(OA^2 = OT^2 + TA^2\).
- Résoudre pour la longueur cherchée, puis conclure par une phrase avec l’unité.
Tangente à un cercle : exemple corrigé
Énoncé
Un cercle de centre \(O\) a pour rayon \(5\) cm. Un point \(A\) est situé à \(13\) cm de \(O\), et la droite \((AT)\) est tangente au cercle en \(T\). Calculer la longueur \(AT\).
Corrigé
La tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact : le triangle \(OTA\) est rectangle en \(T\), d’hypoténuse \([OA]\).
D’après Pythagore, \(OA^2 = OT^2 + TA^2\), soit \(169 = 25 + TA^2\).
Donc \(TA^2 = 144\) et \(TA = 12\) cm.
À toi de jouer
Question 1
Le cercle a pour rayon \(6\) cm, \(OA = 10\) cm et \((AT)\) est tangente en \(T\). Que vaut \(AT\) ?
Voir la réponse
\(AT^2 = 10^2 – 6^2 = 64\), donc \(AT = 8\) cm.
Question 2
Peut-on mener une tangente à un cercle depuis un point situé à l’intérieur de celui-ci ?
Voir la réponse
Non : toute droite passant par un point intérieur coupe le cercle en deux points, elle n’est donc jamais tangente.
Ne pas confondre Tangente à un cercle et Droites sécantes
Une tangente touche le cercle en un seul point. Une droite sécante au cercle le traverse et le rencontre en deux points, qui délimitent une corde. Seule la tangente est perpendiculaire à un rayon à son point de contact.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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