Variable aléatoire
En bref : Une variable aléatoire convertit le hasard en nombres : à chaque résultat possible d’un tirage ou d’un jeu, elle fait correspondre une valeur, dont la loi de probabilité précise les chances.
PremièreProbabilités
Définition : Variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) traduit le résultat d’un tirage en un nombre : un gain, un score, une durée d’attente.
Sa loi de probabilité liste les valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots\) avec leurs probabilités \(p_i\), dont la somme vaut \(1\). Son espérance \(E(X)=\sum p_i\,x_i\) représente la valeur moyenne que l’on observerait en recommençant l’épreuve à de multiples reprises.
Comment le reconnaître
- L’énoncé associe un gain, un score ou un coût à chaque issue d’un jeu ou d’un tirage.
- On demande « la loi de probabilité » sous forme de tableau.
- La question porte sur le gain moyen, c’est-à-dire sur l’espérance.
- On veut savoir si un jeu est équitable, favorable ou défavorable au joueur.
La méthode
- Définir \(X\) en précisant ce qu’elle mesure et lister ses valeurs possibles.
- Calculer la probabilité de chaque valeur et vérifier que la somme vaut \(1\).
- Calculer l’espérance en additionnant les produits valeur × probabilité.
- Interpréter : une espérance de gain nulle correspond à un jeu équitable.
Variable aléatoire : exemple corrigé
Énoncé
À la kermesse, une roue donne un gain \(X\) en euros : \(-2\) (la mise perdue) avec la probabilité \(0{,}5\), \(+1\) avec \(0{,}3\) et \(+4\) avec \(0{,}2\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Corrigé
Les probabilités ont pour somme \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\) : la loi est valide.
L’espérance vaut \(E(X)=-2\times 0{,}5+1\times 0{,}3+4\times 0{,}2=-1+0{,}3+0{,}8=\) \(0{,}1\) euro. Le gain moyen est positif : le jeu est très légèrement favorable au joueur.
À toi de jouer
Question 1
Une loi donne \(P(X=0)=0{,}15\), \(P(X=1)=0{,}35\), \(P(X=2)=0{,}2\) et \(P(X=3)=p\). Calculer \(p\).
Voir la réponse
La somme vaut \(1\) : \(p=1-0{,}15-0{,}35-0{,}2=0{,}3\).
Question 2
Un dé donne \(X=6\) avec la probabilité \(\frac{1}{6}\) et \(X=0\) sinon. Quelle est l’espérance ?
Voir la réponse
\(E(X)=6\times\frac{1}{6}+0\times\frac{5}{6}=1\).
Ne pas confondre Variable aléatoire et Espérance
La variable aléatoire est l’objet complet : toutes ses valeurs avec leurs probabilités. L’espérance n’en est qu’un résumé, un seul nombre qui indique la valeur moyenne. Deux variables très différentes peuvent avoir la même espérance.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
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