Les périmètres en CM1 : corrigé détaillé des exercices 1 à 8

L’unité est la longueur d’un carreau. Pour trouver le périmètre, on part du point marqué et on fait le tour de la figure en comptant les côtés de carreaux, sans en oublier ni en compter deux fois.

• Figure 1 : c’est un rectangle de 6 carreaux sur 1 carreau. \(6 + 1 + 6 + 1 = 14\).
• Figure 2 : c’est un carré de 4 carreaux de côté. \(4 + 4 + 4 + 4 = 16\).
• Figure 3 (escalier) : en partant du point : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 12\).
• Figure 4 (croix allongée) : \(3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20\).
• Figure 5 : \(1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 = 10\).
• Figure 6 (figure à créneaux) : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 22\).

Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés.

• Triangle 1 : \(4 + 5 + 6 = 15\), donc 15 cm.
• Triangle 2 : \(4 + 5 + 3 = 12\), donc 12 cm.
• Triangle 3 : \(4 + 3 + 3 = 10\), donc 10 cm.
• Triangle 4 : ses trois côtés mesurent 4 cm, \(4 + 4 + 4 = 12\) ou \(3 \times 4 = 12\), donc 12 cm.

On remarque que les triangles 2 et 4 ont le même périmètre alors qu’ils n’ont pas la même forme.

Il faut d’abord mesurer chaque côté à la règle, puis additionner. Sur la fiche imprimée en taille réelle, on trouve les mesures suivantes (si ton impression est réduite, tes mesures seront un peu plus petites, mais la méthode reste la même).

• Figure 1 : carré de 2 cm de côté. \(4 \times 2 = 8\), donc 8 cm.
• Figure 2 : carré de 3,5 cm de côté. \(4 \times 3{,}5 = 14\), donc 14 cm.
• Figure 3 : rectangle de 6 cm sur 2,5 cm. \(6 + 2{,}5 + 6 + 2{,}5 = 17\), donc 17 cm.
• Figure 4 : hexagone en forme de L. Ses côtés mesurent 5 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm, 4 cm et 2 cm. \(5 + 4 + 1 + 2 + 4 + 2 = 18\), donc 18 cm.
• Figure 5 : rectangle de 10 cm sur 1 cm. \(10 + 1 + 10 + 1 = 22\), donc 22 cm.

Remarque : la figure 4 a le même périmètre qu’un rectangle de 5 cm sur 4 cm, car les deux « marches » du L se compensent.

Sur le quadrillage, l’unité \(\ell_1\) mesure 2 carreaux et l’unité \(\ell_2\) mesure 1 carreau. On compte d’abord le périmètre de chaque lettre en carreaux :

• C : lettre de 6 carreaux sur 8, creusée de 4 carreaux : \(6 + 2 + 4 + 4 + 4 + 2 + 6 + 8 = 36\) carreaux.
• H : rectangle de 6 sur 8 avec deux encoches de 3 carreaux de profondeur : \(28 + 3 + 3 + 3 + 3 = 40\) carreaux.
• I : rectangle de 2 sur 8 : \(2 + 8 + 2 + 8 = 20\) carreaux.
• O : rectangle de 5 sur 8 : \(5 + 8 + 5 + 8 = 26\) carreaux.
• T : barre de 6 sur 2 et pied de 2 sur 6 : \(6 + 2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 2 = 28\) carreaux.

a. Avec \(\ell_1\) (2 carreaux), on divise chaque nombre de carreaux par 2 :

b. Ordre croissant : I, O, T, C, H (10, 13, 14, 18, 20).

c. Avec \(\ell_2\) (1 carreau), on garde le nombre de carreaux :

d. L’unité \(\ell_2\) est deux fois plus petite que \(\ell_1\), donc tous les nombres sont deux fois plus grands. Mais le classement des lettres ne change pas : le périmètre d’une lettre ne dépend pas de l’unité, seul le nombre qui l’exprime change.

Les animaux sont dessinés sur un réseau de triangles. L’unité \(\ell\) est la longueur d’un côté de petit triangle. On fait le tour de chaque animal en comptant les côtés de triangles le long du contour (un long trait droit qui couvre 2 ou 3 côtés compte pour 2 ou 3).

• Baleine : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 15\), soit 15 ℓ.
• Chien : \(1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17\), soit 17 ℓ.
• Éléphant : \(2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 23\), soit 23 ℓ.
• Cygne : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16\), soit 16 ℓ.
• Pieuvre : \(1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 21\), soit 21 ℓ.
• Serpent : \(1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 18\), soit 18 ℓ.

Le carré orange mesure 9 carreaux de côté. Son périmètre est donc :

\[4 \times 9 = 36 \text{ carreaux}\]

Un rectangle a un périmètre de 36 carreaux si sa longueur plus sa largeur font la moitié de 36, c’est-à-dire 18 carreaux. Il suffit donc de choisir deux nombres dont la somme vaut 18, par exemple :

• un rectangle de 12 carreaux sur 6 carreaux : \(12 + 6 + 12 + 6 = 36\) ;
• un rectangle de 15 carreaux sur 3 carreaux : \(15 + 3 + 15 + 3 = 36\).

D’autres réponses sont justes : 10 sur 8, 11 sur 7, 13 sur 5, 14 sur 4… (mais pas 9 sur 9, qui redonne le carré).

Chaque figure est faite des mêmes 4 pentaminos, donc de 20 carreaux. On prend 1 carreau = 1 cm et on compte les côtés de carreaux qui forment le bord extérieur (les côtés collés entre deux pentaminos ne comptent pas).

a.

b. Ordre croissant des périmètres : figure 4 (22 cm), figure 2 (24 cm), figure 1 (26 cm), figure 3 (28 cm).

c. Les figures dont le périmètre est inférieur à 25 cm sont les figures 4 et 2.

Les quatre figures ont la même aire (20 carreaux) mais pas le même périmètre : plus la figure est « tassée », plus son périmètre est petit.

Pour un carré, les 4 côtés sont égaux : \(P = 4 \times \text{côté}\).

Exemples : \(4 \times 2{,}5 = 10\) et \(4 \times 21{,}5 = 86\).

Pour un rectangle : \(P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\).

Exemples : \(2 \times (3{,}5 + 4) = 2 \times 7{,}5 = 15\) et \(2 \times (6 + 9{,}5) = 2 \times 15{,}5 = 31\).