Corrigé des 20 exercices sur les droites parallèles et perpendiculaires en CM1 à télécharger en PDF

Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même quand on les prolonge : l’écart entre elles reste toujours le même.

• a. Les deux droites s’écartent vers la gauche et se rapprochent vers la droite : en les prolongeant, elles finiraient par se couper. Elles ne sont pas parallèles.
• b. Les deux droites sont horizontales : l’écart entre elles est partout le même. Elles sont parallèles.
• c. Les deux droites se croisent : elles sont sécantes, donc pas parallèles.
• d. Les deux droites montent avec la même inclinaison ; si on mesure l’écart à deux endroits avec l’équerre, on trouve la même distance. Elles sont parallèles, même si les traits n’ont pas la même longueur.

Dans les deux dessins, les nombreux traits bleus du fond « trompent » l’œil : les droites rouges semblent se courber, se rapprocher ou s’écarter. C’est une illusion d’optique.

Pour savoir la vérité, on ne se fie pas à ses yeux : on pose la règle le long de chaque droite rouge (elle est bien droite) puis on mesure l’écart entre les deux droites rouges à gauche, au milieu et à droite avec l’équerre. Par ailleurs, on trouve la même distance partout.

• Figure de gauche : les droites rouges sont parallèles : on entoure Oui.
• Figure de droite : les droites rouges sont aussi parallèles : on entoure Oui.

Sur le plan, on repère la direction de chaque rue ou allée : les allées Haüy, Lacroix-Edmond Perrier, Mangin et Cuvier sont verticales ; les allées Becquerel et Jussieu sont horizontales ; les rues autour du jardin (rue Cuvier, rue Linné, quai Saint-Bernard) sont obliques.

a.

• La rue Cuvier et l’allée Cuvier sont parallèles : Faux. L’allée Cuvier est verticale alors que la rue Cuvier est oblique ; en les prolongeant, elles se couperaient.
• Les allées Jussieu et Becquerel sont parallèles : Vrai. Elles sont toutes les deux horizontales et restent à la même distance l’une de l’autre.
• Les allées Mangin et Haüy sont parallèles : Vrai. Elles sont toutes les deux verticales.
• Le quai Saint-Bernard et la rue Linné sont parallèles : Faux. Le quai Saint-Bernard monte vers la droite, la rue Linné descend vers la droite : elles ne vont pas dans la même direction.

b. Les allées parallèles à l’allée Lacroix-Edmond Perrier sont les autres allées verticales : l’allée Haüy et l’allée Cuvier. Puis la Ménagerie (4) se trouve à droite du plan : la plus proche est l’allée Cuvier.

c. Le Jardin de l’École de Botanique (3) est entre l’allée Becquerel (en haut) et l’allée Jussieu (en bas). À droite, il est longé par l’allée Cuvier ; à gauche, par l’allée verticale qui prolonge l’allée Mangin et qui devient l’allée Lacroix-Edmond Perrier. Ensuite, ces deux allées verticales sont parallèles à l’allée Mangin.

Une droite parallèle à la droite rouge a la même direction qu’elle : on peut le vérifier avec l’équerre, en mesurant l’écart entre les deux droites à deux endroits différents.

• a. La droite rouge est verticale. Les droites parallèles sont les deux autres droites verticales en pointillés (celle de gauche et celle de droite). On les repasse. Les droites obliques et la droite horizontale coupent la droite rouge : elles ne sont pas parallèles.
• b. La droite rouge est oblique et descend vers la droite. Les droites parallèles sont les deux autres droites qui descendent avec la même inclinaison (celle de gauche et celle de droite). Les droites qui montent vers la droite la coupent : elles ne sont pas parallèles.

Sur un quadrillage, on trace facilement des parallèles en suivant les carreaux : chaque nouvelle droite doit « avancer » de la même façon que la droite rouge.

• a. La droite rouge suit une ligne horizontale du quadrillage. On trace trois autres lignes horizontales à la règle, sur des lignes du quadrillage au-dessus ou en dessous : elles sont parallèles à la droite rouge.
• b. La droite rouge monte en passant par les coins des carreaux : elle avance d’un carreau vers la droite quand elle monte d’un carreau. On choisit un autre coin de carreau, puis on relie les coins en avançant toujours d’un carreau à droite et d’un carreau vers le haut. On recommence trois fois, à partir de trois points de départ différents.

On vérifie avec l’équerre : l’écart entre la droite rouge et chaque droite tracée est le même partout. Puis il y a beaucoup de bonnes réponses possibles : il suffit que les trois droites aient la même direction que la droite rouge.

On observe le motif : c’est un chevron (une pointe tournée vers la droite). De plus, il part du haut du quadrillage, descend en oblique de 3 carreaux vers la droite jusqu’à la pointe, puis revient en oblique jusqu’en bas, 3 carreaux plus à gauche.

Le deuxième chevron est le même, décalé de 2 carreaux vers la droite. Ensuite, pour poursuivre la frise, on trace un nouveau chevron tous les 2 carreaux, en suivant exactement les mêmes diagonales de carreaux.

On remarque que tous les traits qui descendent sont parallèles entre eux, et tous les traits qui remontent sont aussi parallèles entre eux : c’est ce qui rend la frise régulière.

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. Par ailleurs, pour le vérifier, on place l’angle droit de l’équerre au point où les droites se coupent, un côté de l’équerre le long d’une des droites.

• a. Les droites se coupent, mais l’angle est trop fermé d’un côté et trop ouvert de l’autre : pas perpendiculaires.
• b. Une droite est verticale, l’autre horizontale : l’angle est droit. Elles sont perpendiculaires.
• c. Les deux droites sont obliques, mais l’équerre s’ajuste exactement dans l’angle : elles sont perpendiculaires. Des droites perpendiculaires ne sont pas forcément horizontale et verticale.
• d. Une droite est verticale mais l’autre n’est pas horizontale (elle monte) : l’angle n’est pas droit. Pas perpendiculaires.

On cherche d’abord le chemin avec le doigt, en partant du pirate (en bas) et sans traverser les murs verts. Puis on le trace à la règle : le chemin n’est fait que de traits horizontaux et verticaux, et chaque changement de direction forme un angle droit (deux traits successifs sont perpendiculaires).

Le chemin :

1. on entre par l’ouverture du bas et on monte jusqu’au couloir du bas ;
2. on tourne à gauche et on va jusqu’au couloir de gauche ;
3. on monte, en contournant les deux morceaux de mur qui dépassent sur la gauche ;
4. arrivé au couloir du haut, on tourne à droite et on le suit jusqu’au couloir de droite ;
5. on descend, on fait un petit décalage vers la gauche, puis on redescend ;
6. on tourne à gauche sous la salle du trésor et on s’arrête sous son ouverture ;
7. on monte par l’ouverture : on arrive au trésor.

Bay Street est la rue orange du bas du plan, légèrement inclinée. Puis les rues qui la coupent en formant un angle droit sont les rues (presque verticales) qui traversent le plan de haut en bas. Ensuite, on le vérifie en posant l’équerre à chaque croisement.

a. Les rues perpendiculaires à Bay Street sont : Leavenworth Street, Jones Street, Taylor Street, Mason Street et Powell Street. Attention : Columbus Avenue coupe aussi Bay Street, mais en biais, donc elle n’est pas perpendiculaire. North Point Street, Beach Street ou Jefferson Street vont dans la même direction que Bay Street : elles ne la coupent pas, elles ne sont donc pas perpendiculaires à Bay Street.

b. Le musée Ripley’s Believe it or Not se trouve en haut du plan, au bord de Taylor Street. Taylor Street coupe Bay Street à angle droit.

On cherche les droites qui coupent la droite rouge en formant un angle droit : on place l’équerre sur la droite rouge, au point de croisement, et on regarde si l’autre côté de l’équerre suit la droite.

• a. La droite rouge est horizontale. Les droites perpendiculaires sont les deux droites verticales. Les droites obliques la coupent, mais pas à angle droit.
• b. La droite rouge est oblique et descend vers la droite. Les droites perpendiculaires sont les deux droites obliques qui montent vers la droite : l’équerre s’ajuste exactement dans l’angle. La droite horizontale et les verticales ne sont pas perpendiculaires à la droite rouge.

Il y a une infinité de droites perpendiculaires à une droite donnée : on peut en tracer trois n’importe où, du moment qu’elles coupent la droite rouge en formant un angle droit. Puis les trois droites tracées sont alors parallèles entre elles.

a. La droite rouge est verticale (elle suit une ligne du quadrillage). De plus, les droites perpendiculaires sont donc horizontales : il suffit de repasser à la règle trois lignes horizontales du quadrillage.

b. La droite rouge traverse les carreaux en diagonale : elle avance d’un carreau vers la droite pour un carreau vers le haut. Ensuite, une perpendiculaire traverse les carreaux dans l’autre diagonale : un carreau vers la droite pour un carreau vers le bas. Par ailleurs, on trace trois droites de ce type, puis on vérifie l’angle droit avec l’équerre au point de croisement.

Le lapin ne doit emprunter que des segments qui se coupent à angle droit : chaque fois qu’il tourne, il passe d’un segment horizontal à un segment vertical (ou l’inverse). Puis on élimine donc tous les segments obliques.

Le chemin, depuis le lapin :

1. il descend le long du bord gauche, puis va tout droit vers la droite en bas ;
2. il remonte le grand côté vertical, repart vers la gauche, puis monte tout en haut à gauche ;
3. il fait un petit crochet (droite, bas), puis longe le haut vers la droite ;
4. il descend, va vers la droite, remonte dans le petit rectangle de droite et redescend ;
5. il repart vers la gauche, remonte d’un petit pas, va à gauche, puis descend ;
6. il file tout droit vers la droite sur la ligne du bas et remonte jusqu’à la carotte.

À chaque virage, on peut vérifier l’angle droit avec l’équerre : les deux segments qui se suivent sont perpendiculaires.

Par un point, on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle à une droite donnée. Deux droites parallèles ont la même direction : elles ne se coupent jamais.

a. La droite rouge est horizontale. Ensuite, les parallèles passant par A, par B et par C sont donc les trois droites horizontales qui passent par ces points : on les trace à la règle en suivant les lignes du quadrillage.

b. La droite rouge descend d’un carreau vers le bas pour un carreau vers la droite. Puis on part de chaque point et on reproduit le même déplacement (1 carreau à droite, 1 carreau en bas) pour placer un deuxième point, puis on trace la droite qui passe par les deux points.

Vérification à l’équerre : l’écart entre la droite rouge et chaque parallèle doit être le même partout.

Cette fois, les points D, E et F sont sur la droite rouge. Par chacun d’eux, on trace l’unique droite qui coupe la droite rouge à angle droit.

a. La droite rouge est verticale : les perpendiculaires passant par D, E et F sont les droites horizontales passant par ces points.

b. La droite rouge monte d’un carreau pour un carreau vers la droite. Ses perpendiculaires descendent d’un carreau pour un carreau vers la droite (l’autre diagonale des carreaux). De plus, on place l’équerre avec un côté de l’angle droit sur la droite rouge et le sommet de l’angle droit sur le point, puis on trace le long de l’autre côté.

Remarque : les trois perpendiculaires tracées sont parallèles entre elles, car elles sont toutes perpendiculaires à la même droite.

Il n’y a pas une seule bonne réponse : c’est un coloriage libre, à la manière du peintre néerlandais Piet Mondrian. Ensuite, pour respecter son style :

• on utilise seulement les trois couleurs primaires (rouge, jaune, bleu), du noir, et on laisse beaucoup de cases blanches ;
• on colorie une case entière, sans dépasser les traits noirs ;
• on évite que deux cases de la même couleur se touchent.

Côté géométrie, on remarque que tous les traits noirs sont horizontaux ou verticaux : deux traits horizontaux sont parallèles, et un trait horizontal coupe un trait vertical à angle droit (ils sont perpendiculaires). C’est pourquoi toutes les cases sont des rectangles (ou des carrés).

Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction : sur un quadrillage, elles se déplacent du même nombre de carreaux.

• \(d_1\) : 4 carreaux vers la droite, 2 vers le bas.
• \(d_2\) : 4 carreaux vers la droite, 2 vers le bas.
• \(d_3\) : 3 carreaux vers la droite, 2 vers le haut.
• \(d_4\) : 3 carreaux vers la droite, 2 vers le haut.

a. \(d_2\) est parallèle à \(d_1\) : même déplacement.

b. Voir la liste ci-dessus.

c. Oui : \(d_3\) et \(d_4\) sont parallèles.

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. Sur le quadrillage, \(d\) avance de 2 carreaux vers la droite quand elle descend de 1 ; une perpendiculaire avance de 1 carreau vers la droite quand elle monte de 2.

• \(e\) : 2 carreaux vers la droite pour 4 vers le haut, soit 1 pour 2 : angle droit avec \(d\).
• \(f\) : 3 vers la droite pour 3 vers le bas : ce n’est pas la bonne pente.
• \(g\) est verticale, alors que \(d\) n’est ni horizontale ni verticale : pas d’angle droit.

a. La droite \(e\) est perpendiculaire à \(d\).

b. \(f\) et \(g\) ne forment pas d’angle droit avec \(d\), comme expliqué ci-dessus.

Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et les côtés qui se suivent sont perpendiculaires (les quatre angles sont droits, codés sur la figure).

a. \((DC)\) est parallèle à \((AB)\).

b. \((AD)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires à \((AB)\).

c. Oui : elles sont toutes les deux perpendiculaires à \((AB)\), donc elles sont parallèles entre elles.

d. Le périmètre est la somme des quatre côtés :

\[ 6+3+6+3=18 \]

Le périmètre est de 18 cm.

Les rues parallèles ne se croisent jamais ; les rues perpendiculaires se croisent à angle droit.

a. La rue des Roses est parallèle à la rue des Lilas (toutes deux horizontales).

b. L’avenue du Parc et la rue de l’École sont verticales, donc perpendiculaires aux rues horizontales. L’allée Verte est oblique : elle n’est ni parallèle ni perpendiculaire.

c. Oui : l’avenue du Parc est perpendiculaire à la rue des Lilas, donc Léa tourne à angle droit.

a. On place un côté de l’angle droit de l’équerre sur \((d)\), on la fait glisser jusqu’à \(A\) et on trace le long de l’autre côté.

b. On place l’équerre sur \((d)\) avec une règle contre un côté, on la fait glisser jusqu’à \(B\), puis on trace : \((d_2)\) est parallèle à \((d)\).

c. \((d_1)\) est perpendiculaire à \((d)\) et \((d_2)\) est parallèle à \((d)\) : \((d_1)\) est perpendiculaire à \((d_2)\).