Corrigé des 20 exercices sur les aires en CM1 : solutions détaillées à télécharger en PDF

Les deux figures sont faites avec les mêmes douze pentaminos : elles ont donc la même aire, \(12 \times 5 = 60\) carreaux. On compare maintenant leurs périmètres en comptant les côtés de carreaux sur le contour (unité : la longueur d’un carreau).

• En faisant le tour du coq, on compte 66 côtés de carreaux.
• En faisant le tour du kangourou, on compte 68 côtés de carreaux.

\(68 – 66 = 2\) : le kangourou a un périmètre plus grand de 2 unités. Même aire ne veut pas dire même périmètre.

L’unité d’aire \(u\) est un carreau. On compte les carreaux orange ligne par ligne, de haut en bas.

• Figure 1 : \(1 + 5 + 1 + 3 + 1 = 11\), donc 11 u.
• Figure 2 : \(2 + 5 + 2 + 5 + 2 = 16\), donc 16 u.
• Figure 3 : \(3 + 1 + 5 + 1 + 3 = 13\), donc 13 u.
• Figure 4 : \(2 + 5 + 2 + 4 + 4 = 17\), donc 17 u.

L’unité \(u\) est le petit triangle violet, qui a exactement la taille d’un triangle du réseau. On compte, bande par bande, les triangles verts (pointe en haut et pointe en bas).

• Figure 1 : \(7 + 5 + 2 + 6 + 2 + 2 = 24\), donc 24 u.
• Figure 2 : \(2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 7 = 18\), donc 18 u.
• Figure 3 : \(5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 20\), donc 20 u.
• Figure 4 : \(3 + 5 + 2 + 3 + 5 + 3 = 21\), donc 21 u.

a. L’unité \(u\) est un hexagone. La figure 1 est un anneau de 6 hexagones autour d’un trou. Dans la figure 2, on ajoute un deuxième anneau collé au premier : il partage 2 hexagones avec lui, donc il n’en ajoute que 4. Chaque nouvel anneau ajoute encore 4 hexagones.

• Figure 1 : 6 u.
• Figure 2 : \(6 + 4 = 10\), donc 10 u.
• Figure 3 : \(10 + 4 = 14\), donc 14 u.
• Figure 4 : \(14 + 4 = 18\), donc 18 u.

b. La figure 5 a 5 trous alignés et la figure 6 en a 6 : on continue la suite de 4 en 4.

• Figure 5 : \(18 + 4 = 22\), donc 22 u.
• Figure 6 : \(22 + 4 = 26\), donc 26 u.

On compte les carreaux de chaque figure (rectangle : on peut multiplier le nombre de lignes par le nombre de carreaux par ligne).

• a ou b : a est un rectangle de 6 × 4, soit 24 carreaux ; b est un carré de 5 × 5, soit 25 carreaux. b est plus grande, de 1 carreau seulement.
• c ou d : c = \(10 + 12 = 22\) carreaux (une barre de 5 × 2 et un pied de 3 × 4) ; d = \(24 – 4 = 20\) carreaux (un rectangle de 6 × 4 moins l’encoche de 2 × 2). c est plus grande.
• e ou f : e = 5 × 5 = 25 carreaux ; f = \(3 + 5 + 5 + 5 + 3 = 21\) carreaux (un carré de 25 dont on a retiré les 4 coins). e est plus grande.
• g ou h : g = \(6 + 4 + 5 + 3 + 6 + 2 = 26\) carreaux ; h = 4 barres de 6 carreaux et 4 carreaux de liaison, soit \(24 + 4 = 28\) carreaux. h est plus grande.

Toutes les figures sont tracées sur le même réseau de triangles : on prend comme unité \(u\) un petit triangle et on compte.

• a ou b : a = \(3 + 5 + 3 = 11\) triangles ; b = \(3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 13\) triangles. a a la plus petite aire.
• c ou d : c = \(3 + 3 + 2 + 1 = 9\) triangles ; d = \(1 + 2 + 2 + 5 + 3 = 13\) triangles. c a la plus petite aire.

On compte les hexagones contenus dans chaque contour noir (unité : un hexagone).

Il y a donc deux groupes : les surfaces a, d et e (21 hexagones) d’une même couleur, et les surfaces b, c et f (19 hexagones) d’une autre couleur.

On compte d’abord l’aire de chaque lettre en carreaux du quadrillage. L’unité \(u\) (violette) est un carré de 2 carreaux sur 2, elle vaut donc 4 carreaux ; l’unité \(v\) (rouge) vaut 1 carreau.

• C : rectangle de 6 × 8 = 48 carreaux, moins le creux de 4 × 4 = 16 : 32 carreaux.
• H : 48 carreaux moins deux encoches de 2 × 3 = 6 : \(48 – 12 = 36\) carreaux.
• I : 2 × 8 = 16 carreaux.
• O : 6 × 8 = 48 carreaux moins le trou de 2 × 4 = 8 : 40 carreaux.
• T : barre de 6 × 2 = 12 et pied de 2 × 6 = 12 : 24 carreaux.

a. Avec \(u\), on divise par 4 (par exemple \(32 \div 4 = 8\)) :

b. Ordre croissant : I, T, C, H, O.

c. Avec \(v\) (1 carreau) :

d. L’unité \(v\) est 4 fois plus petite que \(u\), donc chaque aire s’écrit avec un nombre 4 fois plus grand. Le classement des lettres reste le même : I, T, C, H, O.

Les animaux sont dessinés sur un réseau de triangles : on compte les petits triangles de chacun, bande par bande.

• Baleine : \(3 + 5 + 7 + 2 = 17\) triangles.
• Chien : \(3 + 6 + 4 + 2 = 15\) triangles.
• Éléphant : \(5 + 8 + 7 + 5 = 25\) triangles.
• Cygne : \(3 + 2 + 6 + 5 = 16\) triangles.
• Pieuvre : \(3 + 5 + 7 + 6 = 21\) triangles.
• Serpent : \(3 + 2 + 4 + 5 = 14\) triangles.

Un carreau du quadrillage représente 1 cm². Quand un carreau est coupé par sa diagonale, chaque moitié vaut un demi-carreau, et deux demi-carreaux font 1 cm².

Figures orange :

• Figure 1 : le rectangle qui l’entoure a 3 × 5 = 15 carreaux ; on retire 4 demi-carreaux aux coins, soit 2 carreaux : \(15 – 2 = 13\), donc 13 cm².
• Figure 2 : 6 carreaux entiers en haut, puis 2 carreaux entiers et 2 demi-carreaux : \(6 + 2 + 1 = 9\), donc 9 cm².
• Figure 3 : rectangle de 2 × 4 = 8 carreaux, moins l’encoche en V (2 demi-carreaux = 1 carreau), plus la pointe à droite (2 demi-carreaux = 1 carreau) : \(8 – 1 + 1 = 8\), donc 8 cm².
• Figure 4 : on compte ligne par ligne. Première ligne : 4 carreaux et un demi-carreau ; deuxième ligne : 5 carreaux ; troisième ligne : un demi-carreau et 2 carreaux ; quatrième ligne : 2 carreaux. \(4{,}5 + 5 + 2{,}5 + 2 = 14\), donc 14 cm².

Figures vertes (même consigne) : ce sont des rectangles, on multiplie.

• Figure 1 : 2 × 5 = 10 cm².
• Figure 2 : 6 × 4 = 24 cm².
• Figure 3 : 3 × 4 = 12 cm².
• Figure 4 : 2 × 2 = 4 cm².

Les figures n’ont pas de quadrillage : le « tracé nécessaire » consiste à les découper en carrés de 1 cm de côté. Avec la règle, on mesure les côtés (ils mesurent tous un nombre entier de centimètres), on prolonge les bords et on trace les lignes tous les centimètres. Il ne reste plus qu’à compter les carrés de 1 cm², ligne par ligne.

• Figure ① : un rectangle de 3 cm sur 2 cm (2 lignes de 3 carrés = 6 carrés) plus 1 carré en dessous : 6 + 1 = 7 cm².
• Figure ② : trois bandes de 4 carrés (en haut, au milieu, en bas) et deux bandes de 2 carrés entre elles : 4 + 2 + 4 + 2 + 4 = 16 cm².
• Figure ③ : une ligne de 5 carrés, puis une ligne de 4 carrés, puis une ligne de 2 carrés : 5 + 4 + 2 = 11 cm².
• Figure ④ : une ligne de 3 carrés en haut, puis deux lignes de 6 carrés : 3 + 6 + 6 = 15 cm².

On peut vérifier la figure ④ autrement : le grand rectangle de 6 cm sur 3 cm a une aire de 18 cm², et il manque en haut à gauche un rectangle de 3 cm sur 1 cm, soit 3 cm² : 18 − 3 = 15 cm².

On compte les carreaux ligne par ligne (de haut en bas) : \[4+7+8+4=23\] La figure est formée de 23 carreaux et chaque carreau mesure \(1\ \text{cm}^2\).

L’aire est \(23\ \text{cm}^2\).

1. Figure A : \(6+4+2=12\) carreaux, soit \(12\ \text{cm}^2\). Figure B : \(4\times 3=12\) carreaux, soit \(12\ \text{cm}^2\).
2. Oui, les deux figures ont la même aire : \(12\ \text{cm}^2\).
3. Le contour de l’escalier A est aussi long que celui du rectangle \(6\times 3\) qui l’entoure : \[6+3+6+3=18\] Figure A : \(18\ \text{cm}\). Figure B : \[4+3+4+3=14\] soit \(14\ \text{cm}\).

Même aire, mais périmètres différents (18 cm et 14 cm).

1. Il y a 6 carreaux par ligne et 4 lignes.
2. On multiplie : \[6\times 4=24\] L’aire est \(24\ \text{cm}^2\).
3. \[6+4+6+4=20\] Le périmètre est \(20\ \text{cm}\).

Il y a beaucoup de réponses possibles. Voici deux exemples : un rectangle de \(4\times 2\) carreaux et une bande de \(8\times 1\) carreaux.

Rectangle \(4\times 2\) : aire \(4\times 2=8\) carreaux, périmètre \(4+2+4+2=12\ \text{cm}\). Bande \(8\times 1\) : aire \(8\times 1=8\) carreaux, périmètre \(8+1+8+1=18\ \text{cm}\).

Deux figures de même aire (8 carreaux) peuvent avoir des périmètres différents.

1. Chaque dalle couvre \(1\ \text{m}^2\). Il y a 5 dalles par rangée et 3 rangées : \[5\times 3=15\] Karim doit poser 15 dalles.
2. \[15\times 12=180\] Le carrelage coûte \(180\ \text{€}\).

1. On compte ligne par ligne : \[6+6+3+3=18\] La figure contient 18 carreaux.
2. \(u\) vaut 2 carreaux : \[18\div 2=9\] Aire : \(9\,u\).
3. \(v\) vaut 3 carreaux : \[18\div 3=6\] Aire : \(6\,v\).
4. L’aire de la figure ne change pas, mais plus l’unité est grande, plus le nombre obtenu est petit (\(9\,u\) et \(6\,v\)).

1. Chaque rectangle a pour périmètre \(16\ \text{cm}\) : \[R1 : 7+1+7+1=16\qquad R2 : 6+2+6+2=16\] \[R3 : 5+3+5+3=16\qquad R4 : 4+4+4+4=16\]
2. \[R1 : 7\times 1=7\ \text{cm}^2\qquad R2 : 6\times 2=12\ \text{cm}^2\] \[R3 : 5\times 3=15\ \text{cm}^2\qquad R4 : 4\times 4=16\ \text{cm}^2\]
3. Le rectangle R4 a la plus grande aire : \(16\ \text{cm}^2\). C’est un carré.

Des rectangles de même périmètre peuvent avoir des aires très différentes.

1. \[8\times 5=40\] Le jardin a une aire de \(40\ \text{m}^2\).
2. \[3\times 3=9\] Le potager a une aire de \(9\ \text{m}^2\).
3. On enlève l’aire du potager à celle du jardin : \[40-9=31\] La partie fleurie a une aire de \(31\ \text{m}^2\).

1. On coupe le L en un rectangle du haut de \(6\ \text{cm}\) sur \(2\ \text{cm}\) et un rectangle du bas de \(3\ \text{cm}\) sur \(3\ \text{cm}\) : \[6\times 2=12\ \text{cm}^2\qquad 3\times 3=9\ \text{cm}^2\]
2. On additionne : \[12+9=21\] L’aire de la figure est \(21\ \text{cm}^2\).