Points et vecteurs coplanaires
En bref : Des vecteurs coplanaires peuvent tous être dessinés à plat sur une même surface plane : pour trois d’entre eux, cela revient à exprimer l’un comme combinaison des deux autres.
TerminaleGéométrie dans l'espace
Définition : Points et vecteurs coplanaires
Trois vecteurs coplanaires admettent des représentants situés dans un même plan, comme trois flèches posées à plat sur une table. Quatre points sont coplanaires lorsque les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) le sont.
Prenons \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires : un troisième vecteur \(\vec{w}\) reste dans leur plan exactement lorsque deux réels \(a\) et \(b\) vérifient \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de prouver que quatre points d’un solide sont dans un même plan.
- On cherche à savoir si trois vecteurs forment une base de l’espace, ce qui exige qu’ils ne soient pas coplanaires.
- Il faut écrire un vecteur comme \(a\vec{u}+b\vec{v}\).
- Un cube ou une pyramide est donné avec les coordonnées de ses sommets.
La méthode
- Calculer les coordonnées des vecteurs, par exemple \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
- Chercher \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) à l’aide des deux premières coordonnées.
- Vérifier la troisième coordonnée avec ces valeurs.
- Si elle est vérifiée, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.
Points et vecteurs coplanaires : exemple corrigé
Énoncé
Un solide est muni d’un repère ; on relève \(\overrightarrow{AB}(1\,;\,2\,;\,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(0\,;\,1\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{AD}(2\,;\,5\,;\,1)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont-ils coplanaires ?
Corrigé
On cherche \(a\) et \(b\) avec \(\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\). La première coordonnée donne \(a=2\). La deuxième : \(2a+b=5\), donc \(b=1\).
Troisième coordonnée : \(-a+3b=-2+3=1\), qui est bien celle de \(\overrightarrow{AD}\). Conclusion : \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) appartiennent à un même plan, et ces vecteurs sont coplanaires.
À toi de jouer
Question 1
Avec \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) comme ci-dessus, et \(\overrightarrow{AE}(2\,;\,5\,;\,4)\), \(E\) est-il dans le plan \((ABC)\) ?
Voir la réponse
Les deux premières coordonnées donnent encore \(a=2\), \(b=1\), mais la troisième vaut \(1\) et non \(4\) : non, \(E\) n’est pas dans le plan.
Question 2
Deux vecteurs colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un troisième vecteur quelconque sont-ils coplanaires ?
Voir la réponse
Oui : deux vecteurs colinéaires et un troisième définissent toujours au plus un plan.
Ne pas confondre Points et vecteurs coplanaires et Vecteurs colinéaires
Des vecteurs colinéaires ont la même direction : ils sont portés par une même droite. Des vecteurs coplanaires restent dans un même plan, ce qui est plus large. Deux vecteurs colinéaires suffisent pour être coplanaires avec un troisième, mais pas l’inverse.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Vecteurs colinéaires
- Plan
- Repère de l'espace
- Équation cartésienne d'un plan
- Positions relatives dans l'espace
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