Repère de l’espace
En bref : Un repère de l’espace est formé d’une origine O et de trois vecteurs non coplanaires ; il permet de repérer chaque point par un triplet de coordonnées (x ; y ; z).
TerminaleGéométrie dans l'espace
Définition : Repère de l'espace
Un repère de l’espace \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) associe à chaque point \(M\) trois nombres \((x\,;\,y\,;\,z)\) tels que \(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\). Les trois nombres sont l’abscisse, l’ordonnée et la cote.
Quand les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme \(1\), le repère est orthonormé. On calcule alors la distance \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) et le milieu d’un segment par la moyenne des coordonnées.
Comment le reconnaître
- Un cube, un pavé ou une pyramide est placé dans un repère de l’espace avec des sommets de coordonnées données.
- L’énoncé écrit des triplets \((x\,;\,y\,;\,z)\) pour désigner des points ou des vecteurs.
- On demande une longueur, le milieu d’une arête ou les coordonnées d’un vecteur dans l’espace.
- Il faut préparer un calcul de produit scalaire ou une équation de plan.
La méthode
- Dans un repère de l’espace, choisir ou lire l’origine et les trois axes, en repérant le sens positif de chacun.
- Déterminer les coordonnées d’un point en comptant les déplacements successifs le long des axes.
- Pour un vecteur, soustraire : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\).
- Utiliser la formule de distance en repère orthonormé, ou la moyenne des coordonnées pour un milieu.
Repère de l'espace : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, un pavé a pour sommets \(O(0\,;\,0\,;\,0)\) et \(G(4\,;\,3\,;\,2)\) aux extrémités d’une grande diagonale. Calculer la longueur \(OG\) et les coordonnées du centre du pavé.
Corrigé
\(OG=\sqrt{4^2+3^2+2^2}=\sqrt{16+9+4}=\) \(\sqrt{29}\approx 5{,}39\).
Le centre est le milieu de \([OG]\) : \(\left(\frac{4}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{2}{2}\right)=(2\,;\,1{,}5\,;\,1)\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(AB\) pour \(A(1\,;\,2\,;\,0)\) et \(B(4\,;\,6\,;\,0)\).
Voir la réponse
\(AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5\).
Question 2
Donner le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) pour \(C(2\,;\,-1\,;\,3)\) et \(D(5\,;\,0\,;\,-1)\).
Voir la réponse
\(\overrightarrow{CD}(3\,;\,1\,;\,-4)\).
Ne pas confondre Repère de l'espace et Repère
Dans le plan, un point a deux coordonnées \((x\,;\,y)\) et deux axes suffisent. Dans l’espace, il en faut trois \((x\,;\,y\,;\,z)\) : la cote donne la hauteur. Les formules de distance et de milieu se généralisent simplement en ajoutant le terme en \(z\).
Pour aller plus loin
Cours
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