Équation cartésienne d’un plan
En bref : L’équation cartésienne d’un plan résume la surface en une relation ax + by + cz + d = 0 que seules les coordonnées de ses points satisfont ; (a ; b ; c) en donne un vecteur normal.
TerminaleGéométrie dans l'espace
Définition : Équation cartésienne d'un plan
Dans un repère orthonormé de l’espace, l’équation cartésienne d’un plan prend la forme \(ax+by+cz+d=0\), avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls. Un point est sur la surface lorsque ses coordonnées rendent l’égalité vraie, et seulement dans ce cas.
Les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) sont les coordonnées d’un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan. Le coefficient \(d\) s’obtient ensuite en remplaçant les coordonnées d’un point connu du plan.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne un point et un vecteur perpendiculaire à un plan, et demande de le décrire par une égalité.
- On doit vérifier qu’un point appartient à un plan d’équation donnée.
- La question porte sur l’intersection d’une droite et d’un plan, ou sur la distance d’un point à un plan.
- Un vecteur normal doit être lu directement sur l’équation d’un plan.
La méthode
- Pour écrire l’équation cartésienne d’un plan, trouver un vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\), donné ou calculé à partir de deux vecteurs de la surface.
- Écrire \(ax+by+cz+d=0\) avec ces coefficients.
- Remplacer \(x\), \(y\), \(z\) par les coordonnées d’un point du plan pour trouver \(d\).
- Contrôler avec un deuxième point connu du plan, s’il en existe un.
Équation cartésienne d'un plan : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer l’équation cartésienne d’un plan passant par \(A(1\,;\,2\,;\,-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,-3\,;\,4)\). Le point \(B(0\,;\,0\,;\,-2)\) appartient-il à ce plan ?
Corrigé
L’équation s’écrit \(2x-3y+4z+d=0\). Avec \(A\) : \(2-6-4+d=0\), donc \(d=8\). Le plan a pour équation \(2x-3y+4z+8=0\).
Pour \(B\) : \(0-0-8+8=0\). L’égalité est vérifiée : \(B\) appartient au plan.
À toi de jouer
Question 1
Le point \(C(3\,;\,2\,;\,1)\) est-il dans le plan d’équation \(x+y-2z-3=0\) ?
Voir la réponse
\(3+2-2-3=0\) : oui, \(C\) appartient au plan.
Question 2
Donner un vecteur normal au plan \(5x-y+2z=7\).
Voir la réponse
Les coefficients donnent \(\vec{n}(5\,;\,-1\,;\,2)\).
Ne pas confondre Équation cartésienne d'un plan et Équation cartésienne
L’équation cartésienne d’une droite du plan, \(ax+by+c=0\), relie deux coordonnées. Dans l’espace, une seule équation à trois inconnues décrit un plan, pas une droite : une droite de l’espace exige deux équations simultanées, ou une représentation paramétrique.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Plan
- Vecteur normal
- Repère de l'espace
- Positions relatives dans l'espace
- Points et vecteurs coplanaires
- Équation cartésienne
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