Positions relatives dans l’espace
En bref : Les positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace sont au nombre de trois : sécants en un point, parallèles strictement, ou droite contenue dans le plan.
TerminaleGéométrie dans l'espace
Définition : Positions relatives dans l'espace
Étudier les positions relatives de deux objets de l’espace, c’est décrire comment ils se coupent ou non. Pour une droite \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et un plan \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}\), tout se joue sur le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{n}\).
Si \(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0\), la droite coupe le plan en un unique point. S’il vaut \(0\), elle est parallèle au plan : strictement, ou contenue dans le plan si l’un de ses points y appartient. Deux plans sont parallèles ou sécants selon la colinéarité de leurs vecteurs normaux.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande les positions relatives d’une droite et d’une surface plane : « coupe », « est parallèle à », « est contenue dans ».
- On connaît une représentation paramétrique de la droite et une équation cartésienne du plan.
- Il faut trouver les coordonnées d’un point d’intersection, s’il existe.
- Une figure de cube ou de pyramide impose de justifier un parallélisme.
La méthode
- Relever un vecteur directeur \(\vec{u}\) de la droite et un vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.
- Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{n}\) : s’il est non nul, la droite et le plan sont sécants.
- S’il est nul, tester un point \(A\) de la droite dans l’équation du plan : il y est (droite contenue) ou non (parallélisme strict).
- En cas de sécance, substituer la représentation paramétrique dans l’équation pour trouver le point.
Positions relatives dans l'espace : exemple corrigé
Énoncé
Étudier les positions relatives de la droite \(d\) passant par \(A(0\,;\,0\,;\,1)\), de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,1)\). Le plan \(P\) a pour équation \(x+y-z+2=0\). Quelle est leur position relative ?
Corrigé
Un vecteur normal de \(P\) est \(\vec{n}(1\,;\,1\,;\,-1)\). Alors \(\vec{u}\cdot\vec{n}=2-1-1=0\) : la droite est parallèle au plan.
On teste \(A\) : \(0+0-1+2=1\neq 0\), donc \(A\notin P\). La droite est strictement parallèle au plan : aucun point commun.
À toi de jouer
Question 1
Même plan \(P\), droite de vecteur directeur \(\vec{v}(1\,;\,0\,;\,0)\). Sécants ou parallèles ?
Voir la réponse
\(\vec{v}\cdot\vec{n}=1\neq 0\) : la droite coupe le plan en un point.
Question 2
Deux plans ont pour vecteurs normaux \((2\,;\,4\,;\,-6)\) et \((1\,;\,2\,;\,-3)\). Que dire d’eux ?
Voir la réponse
Les vecteurs sont colinéaires : les plans sont parallèles (ou confondus).
Ne pas confondre Positions relatives dans l'espace et Droites perpendiculaires
Parallèle signifie que la droite ne rencontre pas le plan ou s’y trouve : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\). Perpendiculaire signifie qu’elle est orthogonale au plan : son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal. Les deux situations sont à l’opposé l’une de l’autre.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Plan
- Équation cartésienne d'un plan
- Vecteur normal
- Points et vecteurs coplanaires
- Repère de l'espace
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