Probabilité conditionnelle
En bref : Une probabilité conditionnelle exprime la chance qu’un événement B arrive quand une information déjà connue assure que A a eu lieu ; elle s’obtient en divisant P(A∩B) par P(A), avec P(A) non nul.
PremièreProbabilités
Définition : Probabilité conditionnelle
Une probabilité conditionnelle traduit l’effet d’une information : savoir que l’événement \(A\) a eu lieu change souvent les chances de voir arriver \(B\).
Pour un événement \(A\) de probabilité non nulle, la probabilité de \(B\) sachant \(A\) se note \(P_A(B)\) et se calcule par \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\). On restreint en quelque sorte l’univers à \(A\) et l’on regarde quelle part de \(A\) est occupée par \(B\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé contient « sachant que », « parmi ceux qui » ou « si l’on sait que ».
- Les données sont présentées par un arbre pondéré ou un tableau d’effectifs à double entrée.
- On connaît une proportion à l’intérieur d’un groupe, par exemple « 40 % des acheteurs de pain prennent aussi une viennoiserie ».
- On cherche à inverser un raisonnement : passer d’une probabilité conditionnelle de B sachant A à celle de A sachant B.
La méthode
- Repérer s’il s’agit d’une probabilité conditionnelle : nommer les événements avec des lettres claires et traduire la phrase en notation \(P_A(B)\) ou \(P(A\cap B)\).
- Choisir la bonne formule : \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\) pour un produit, \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) pour un quotient.
- Sur un arbre, multiplier les probabilités le long d’un chemin pour obtenir l’intersection.
- Vérifier que le résultat est compris entre \(0\) et \(1\) et que la somme des branches issues d’un nœud vaut \(1\).
Probabilité conditionnelle : exemple corrigé
Énoncé
Dans un village, \(45\,\%\) des clients d’une boulangerie achètent du pain. Parmi eux, \(18\,\%\) de l’ensemble des clients prennent aussi une viennoiserie. Quelle est la probabilité qu’un client prenne une viennoiserie, sachant qu’il a acheté du pain ?
Corrigé
Notons \(A\) : « acheter du pain » et \(B\) : « prendre une viennoiserie ». On lit \(P(A)=0{,}45\) et \(P(A\cap B)=0{,}18\).
La probabilité conditionnelle demandée est \(P_A(B)=\frac{0{,}18}{0{,}45}=\frac{18}{45}=\) \(0{,}4\). Un client sur deux environ ne la prend pas, mais deux acheteurs de pain sur cinq prennent une viennoiserie.
À toi de jouer
Question 1
\(P(A)=0{,}6\) et \(P_A(B)=0{,}35\). Calculer \(P(A\cap B)\).
Voir la réponse
\(P(A\cap B)=0{,}6\times 0{,}35=0{,}21\).
Question 2
\(P(A\cap B)=0{,}12\) et \(P(B)=0{,}3\). Calculer \(P_B(A)\).
Voir la réponse
On divise par la probabilité de la condition : \(P_B(A)=\frac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4\).
Ne pas confondre Probabilité conditionnelle et Événements indépendants
Deux événements indépendants sont tels que connaître l’un ne modifie rien aux chances de l’autre : \(P_A(B)=P(B)\). Le calcul conditionnel, lui, est possible dans tous les cas dès que \(P(A)\neq 0\) et mesure justement le décalage éventuel. L’indépendance correspond au cas où ce décalage est nul.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Formule des probabilités totales
- Arbre pondéré
- Événements indépendants
- Événement
- Intersection d'événements
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