Formule des probabilités totales
En bref : La formule des probabilités totales calcule la probabilité d’un événement B en additionnant les probabilités de tous les chemins qui y mènent à partir d’une partition de l’univers, comme A et son contraire.
PremièreProbabilités
Définition : Formule des probabilités totales
La formule des probabilités totales permet de retrouver la probabilité d’un événement \(B\) quand on connaît ses chances dans chaque « cas de départ ».
Si les événements \(A_1\), \(A_2\), … forment une partition de l’univers, alors \(P(B)=P(A_1)\,P_{A_1}(B)+P(A_2)\,P_{A_2}(B)+\cdots\). Avec deux cas seulement, \(A\) et son contraire, cela donne \(P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)\).
Comment le reconnaître
- Une population se répartit en groupes complémentaires, par exemple deux bassins, trois machines ou deux ateliers.
- On connaît le taux d’un caractère (défaut, maladie, retard) à l’intérieur de chaque groupe, et on veut le taux global.
- Un arbre pondéré est donné et la question demande la probabilité d’une feuille ou d’un résultat final sans connaître le chemin suivi.
- L’énoncé dit « en tout » ou « au total » après avoir présenté plusieurs cas.
La méthode
- Définir une partition de l’univers : les groupes doivent être disjoints et couvrir tous les cas.
- Dessiner l’arbre et y reporter les probabilités de chaque groupe, puis les probabilités conditionnelles.
- Multiplier le long de chaque chemin qui aboutit à \(B\).
- Additionner ces produits, puis contrôler que le résultat reste entre \(0\) et \(1\).
Formule des probabilités totales : exemple corrigé
Énoncé
Une pisciculture élève ses truites dans deux bassins. Le bassin 1 fournit \(35\,\%\) des poissons, dont \(4\,\%\) sont malades. Le bassin 2 fournit le reste, avec \(8\,\%\) de poissons malades. On choisit une truite au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
Corrigé
Soit \(M\) : « la truite est malade ». Les deux bassins forment une partition : \(P(B_1)=0{,}35\) et \(P(B_2)=0{,}65\).
Par la formule : \(P(M)=0{,}35\times 0{,}04+0{,}65\times 0{,}08=0{,}014+0{,}052=\) \(0{,}066\), soit \(6{,}6\,\%\) de truites malades.
À toi de jouer
Question 1
Deux ateliers produisent \(70\,\%\) et \(30\,\%\) des pièces, avec \(1\,\%\) et \(5\,\%\) de défauts. Quelle est la probabilité d’un défaut ?
Voir la réponse
\(0{,}7\times 0{,}01+0{,}3\times 0{,}05=0{,}007+0{,}015=0{,}022\).
Question 2
Pourquoi la formule serait-elle fausse avec des groupes qui se chevauchent ?
Voir la réponse
Un même résultat serait compté deux fois : la formule exige une partition, donc des groupes disjoints dont la réunion est l’univers.
Ne pas confondre Formule des probabilités totales et Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle donne la chance de \(B\) à l’intérieur d’un seul groupe, par exemple dans un bassin. La formule des probabilités totales combine tous les groupes pour obtenir la chance globale de \(B\) : elle additionne des produits de probabilités conditionnelles.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Probabilité conditionnelle
- Arbre pondéré
- Événement contraire
- Événements incompatibles
- Loi de probabilité
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