Symétrie centrale : corrigé des exercices de maths en 5ème en PDF

Méthode : Pour construire le symétrique d’une figure par rapport au point I, chaque point de la figure doit avoir son symétrique tel que I soit le milieu du segment formé par le point et son symétrique.

Construction :

1) Pour chaque point caractéristique de la figure :

– Je trace la droite passant par le point et le centre de symétrie I

– Je reporte la même distance de l’autre côté de I

– Le point I doit être le milieu entre le point original et son symétrique

2) Points à construire :

– Les centres des trois cercles (tête, corps, base)

– Les extrémités des bras

– Le sommet du chapeau

– Les éléments du visage (yeux, bouche, nez)

– Les boutons du corps

3) Tracé final :

– Je trace les cercles symétriques avec les mêmes rayons

– Je dessine le chapeau symétrique

– Je place les bras symétriques

– J’ajoute tous les détails (visage, boutons) à leurs positions symétriques

Vérification : Pour chaque point de la figure originale et son symétrique, le point I doit être équidistant des deux points.

Construction de l’image par symétrie centrale

Méthode : Pour construire l’image d’un point M par la symétrie de centre O, on construit le point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].

Construction :

1) Pour chaque sommet de la figure, je trace la droite passant par ce sommet et le centre O.

2) Je reporte de l’autre côté du centre O, à la même distance, chaque sommet :

• A’ est l’image de A : O est le milieu de [AA’]

• B’ est l’image de B : O est le milieu de [BB’]

• C’ est l’image de C : O est le milieu de [CC’]

• D’ est l’image de D : O est le milieu de [DD’]

• E’ est l’image de E : O est le milieu de [EE’]

• F’ est l’image de F : O est le milieu de [FF’]

• G’ est l’image de G : O est le milieu de [GG’]

• H’ est l’image de H : O est le milieu de [HH’]

• I’ est l’image de I : O est le milieu de [II’]

3) Je relie les points images dans le même ordre que la figure initiale : A’B’C’D’E’F’G’H’I’A’.

Propriétés de la symétrie centrale :

• La figure image a la même forme et les mêmes dimensions

• La figure image est tournée de 180° par rapport au centre O

Exercice 3 – symétrie centrale et propriétés.

1. Construction de la figure :

• Tracer le triangle IJK

• Placer le point R sur le côté [IK]

• Placer le point O au milieu du segment [JR]

• Construire S symétrique de I par rapport à O : O est le milieu de [IS]

• Construire T symétrique de K par rapport à O : O est le milieu de [KT]

2. Prouver que (TI) et (KS) sont parallèles et que TI = KS :

Dans la symétrie centrale de centre O :

• I a pour image S, donc

• K a pour image T, donc

Calculons et :

Donc , ce qui prouve que (TI) // (KS) et TI = KS.

3. Prouver que les mesures des angles et sont égales :

La symétrie centrale conserve les angles.

Dans la symétrie de centre O :

• K a pour image T

• J a pour image R (car O est le milieu de [JR])

• I a pour image S

Donc l’angle est l’image de l’angle .

De même, l’angle est l’image de l’angle .

Par conservation des angles :

4. Prouver que les points S, J et T sont alignés :

Dans la symétrie centrale de centre O :

• I a pour image S

• J a pour image R

• K a pour image T

Les points I, J, K étant les sommets du triangle, et par propriété de la symétrie centrale qui transforme une droite en une droite parallèle, le segment [IK] a pour image le segment [ST].

Puisque J est entre I et K sur la droite (IK), alors R est entre S et T sur la droite (ST).

Donc les points S, J et T sont alignés.

Exercice 4 – propriétés de la symétrie centrale – démontrer.

1. Construction des points :

a. Je place quatre points A, B, I et J non alignés sur ma figure.

b. Je construis C et D, symétriques respectifs de A et B par rapport au point I.

c. Je construis F et E, symétriques respectifs de C et D par rapport au point J.

2. Symétrique de la demi-droite [AB) par rapport au point I :

La symétrique de la demi-droite [AB) par rapport au point I est la demi-droite [CD).

En effet, C est le symétrique de A et D est le symétrique de B par la symétrie de centre I.

Symétrique de la demi-droite [CD) par rapport au point J :

La symétrique de la demi-droite [CD) par rapport au point J est la demi-droite [FE).

En effet, F est le symétrique de C et E est le symétrique de D par la symétrie de centre J.

3. Les demi-droites [AB) et [FE) sont-elles parallèles ?

Oui, les demi-droites [AB) et [FE) sont parallèles.

Démonstration : La symétrie centrale conserve les directions. Donc :

• La droite (AB) est parallèle à la droite (CD) car C et D sont les symétriques de A et B par rapport à I

• La droite (CD) est parallèle à la droite (FE) car F et E sont les symétriques de C et D par rapport à J

Par transitivité du parallélisme : (AB) // (CD) et (CD) // (FE) donc (AB) // (FE)

Ont-elles le même sens ?

Non, les demi-droites [AB) et [FE) n’ont pas le même sens.

Explication : Chaque symétrie centrale change le sens d’orientation. Après deux symétries centrales successives, le sens d’orientation est inversé deux fois, donc retrouve son sens initial. Cependant, l’ordre des points est inversé : si on va de A vers B sur [AB), on va de F vers E sur [FE), ce qui correspond à des sens opposés.

Exercice 5 – centre de symétrie d’une figure.

Méthode : Pour compléter chaque figure avec O comme centre de symétrie, chaque point de la figure doit avoir son symétrique par rapport à O.

Figure a : Les deux cercles sont déjà symétriques par rapport à O. Il faut ajouter à droite un segment vertical identique à celui de gauche, symétrique par rapport à O.

Figure b : Le triangle rectangle a son sommet de l’angle droit en haut à droite. Par symétrie centrale, il faut tracer un triangle rectangle identique avec son sommet de l’angle droit en bas à gauche, de l’autre côté de O.

Figure c : La figure de gauche (segment horizontal avec cercle) doit avoir son symétrique à droite : un segment horizontal avec un cercle, placé symétriquement par rapport à O.

Figure d : La forme en « L » inversé doit avoir son symétrique : un « L » normal placé de l’autre côté de O, tourné de 180°.

Principe : Dans une symétrie centrale de centre O, si M est un point de la figure, alors son symétrique M’ vérifie que O est le milieu du segment [MM’].

Exercice 6 – symétrie centrale d’une figure.

Méthode : Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point S, chaque point de la figure initiale doit être transformé selon la symétrie centrale de centre S.

Propriété de la symétrie centrale : Si M’ est le symétrique de M par rapport au point S, alors S est le milieu du segment [MM’].

Construction :

1) Pour le cercle :

• Le centre du cercle initial (marqué d’une croix) a pour symétrique un point tel que S soit le milieu

• Le cercle symétrique a le même rayon que le cercle initial

• Tracer le cercle de même rayon centré au symétrique du centre initial

2) Pour le triangle :

• Identifier les trois sommets du triangle

• Pour chaque sommet, construire son symétrique par rapport à S

• Relier les trois points symétriques pour obtenir le triangle symétrique

3) Pour la droite :

• Prendre deux points sur la droite

• Construire le symétrique de chacun de ces points par rapport à S

• Tracer la droite passant par ces deux points symétriques

Résultat : La figure symétrique est obtenue en effectuant une rotation de 180° autour du point S.

Exercice 7 – symétrie centrale d’une figure.

1. Construction de la figure :

À l’aide du matériel de géométrie, je construis :

• Un segment [AB] de 5 cm de longueur

• Le point C tel que l’angle et l’angle

• Le demi-cercle de diamètre [AB]

2. Construction du symétrique par rapport au point O :

Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point O, je dois :

• Étape 1 : Construire le symétrique de chaque point de la figure

– Le symétrique A’ de A par rapport à O : O est le milieu de [AA’]

– Le symétrique B’ de B par rapport à O : O est le milieu de [BB’]

– Le symétrique C’ de C par rapport à O : O est le milieu de [CC’]

• Étape 2 : Construire les éléments symétriques

– Le triangle A’B’C’ symétrique du triangle ABC

– Le demi-cercle de diamètre [A’B’] symétrique du demi-cercle de diamètre [AB]

Propriétés conservées par la symétrie centrale :

• Les longueurs : A’B’ = AB = 5 cm

• Les angles : et

• L’aire et la forme de la figure

Exercice 8 – symétrie centrale d’un chat.

Principe de la symétrie centrale :

Dans une symétrie centrale de centre Q, chaque point M a pour image un point M’ tel que Q soit le milieu du segment [MM’].

Construction étape par étape :

1) Pour chaque sommet du chat (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N), on construit son symétrique par rapport au point Q.

2) Pour construire le symétrique d’un point M par rapport à Q :

• On trace la droite (QM)

• On reporte la distance QM de l’autre côté de Q

• Le point M’ obtenu vérifie :

3) On relie ensuite les points symétriques dans le même ordre que la figure initiale pour obtenir le chat symétrique.

Propriétés conservées :

• Les longueurs sont conservées

• Les angles sont conservés

• La figure obtenue a la même forme et la même taille que l’originale

Résultat : La figure symétrique du chat par rapport au point Q est un chat de même taille, tourné de 180° par rapport au centre Q.

Exercice 9 – symétrie centrale de cercles.

1. Construction de la figure :

• Tracer le segment [AB] de 6 cm

• Placer le point C au milieu du segment [AB]

• Construire le triangle rectangle isocèle ACD avec l’angle droit en C et les angles de 45° en A et D

• Tracer le demi-cercle de centre A passant par B

• Tracer le demi-cercle de centre B passant par A

2. Construction de la symétrique par rapport au point O :

Pour construire la symétrique d’une figure par rapport à un point O, chaque point M de la figure a pour symétrique un point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].

Méthode :

• Identifier plusieurs points caractéristiques de la figure (sommets du triangle, centres des demi-cercles, points remarquables sur les arcs)

• Pour chaque point M, construire son symétrique M’ par rapport à O : tracer la droite (OM), reporter la distance OM de l’autre côté de O pour obtenir M’

• Le symétrique du triangle ACD sera un triangle A’C’D’

• Le symétrique du demi-cercle de centre A sera un demi-cercle de centre A’

• Le symétrique du demi-cercle de centre B sera un demi-cercle de centre B’

Propriétés conservées :

La symétrie centrale conserve les distances, les angles et l’alignement. La figure symétrique aura donc les mêmes dimensions et la même forme que la figure initiale.

Exercice 10 – construction de symétries centrales.

Rappel de la méthode : Pour construire le symétrique d’un point A par rapport à un centre O, on trace la droite (AO) et on reporte la distance AO de l’autre côté du centre O. Le point O est le milieu du segment reliant A et son symétrique.

Pour les figures sur quadrillage :

• On identifie chaque sommet de la figure

• Pour chaque sommet, on trace mentalement la droite passant par ce point et le centre O

• On compte le nombre de carreaux entre le point et O

• On reporte cette même distance de l’autre côté de O

• On relie les points symétriques obtenus

Pour les figures sur réseau triangulaire :

• Même principe mais en utilisant les triangles équilatéraux comme unités de mesure

• On compte le nombre de « pas » dans chaque direction du réseau triangulaire

Pour la double symétrie :

• On effectue d’abord la symétrie par rapport au point O

• Puis on effectue la symétrie par rapport à la droite d en utilisant 2 couleurs différentes

• La droite d agit comme un miroir : chaque point et son symétrique sont équidistants de d

Propriétés importantes :

• La symétrie centrale conserve les distances, les angles et les aires

• L’image d’une droite est une droite parallèle

• L’image d’un segment est un segment de même longueur