Théorème de Thalès : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Le théorème de Thalès constitue une notion fondamentale en géométrie 3ème que tous les élèves doivent absolument maîtriser pour leur parcours mathématique. Cette leçon développe des compétences essentielles en proportionnalité, calcul de longueurs et raisonnement géométrique, bases indispensables pour les classes supérieures. Nos exercices corrigés de Thalès 3ème permettent aux élèves de s’entraîner efficacement sur les configurations de triangles et les rapports de longueurs. Grâce à ces corrections détaillées, chaque étudiant peut progresser à son rythme et consolider ses acquis en mathématiques.

Exercice 1 – théorème de Thalès

Données :

• (BM) // (AC)

• (AB) // (NC)

À démontrer : $OA^2=OMtimes ON$

Démonstration :

Étape 1 : Utilisation du théorème de Thalès avec (BM) // (AC)

Dans le triangle OAC, la droite (BM) coupe les côtés [OA] et [OC] respectivement en B et M.

Comme (BM) // (AC), d’après le théorème de Thalès :

$frac{OB}{OA}=frac{OM}{OC}$

Étape 2 : Utilisation du théorème de Thalès avec (AB) // (NC)

Dans le triangle ONC, la droite (AB) coupe les côtés [ON] et [OC] respectivement en A et B.

Comme (AB) // (NC), d’après le théorème de Thalès :

$frac{OA}{ON}=frac{OB}{OC}$

Étape 3 : Égalité des rapports

De l’étape 1 : $frac{OB}{OA}=frac{OM}{OC}$

De l’étape 2 : $frac{OA}{ON}=frac{OB}{OC}$

Donc : $frac{OB}{OA}=frac{OM}{OC}$ et $frac{OA}{ON}=frac{OB}{OC}$

Étape 4 : Conclusion

En égalisant les deux expressions égales à $frac{OB}{OC}$ :

$frac{OB}{OA}=frac{OM}{OC}$ et $frac{OA}{ON}=frac{OB}{OC}$

En multipliant ces égalités membre à membre :

$frac{OB}{OA}times frac{OA}{ON}=frac{OM}{OC}times frac{OB}{OC}$

$frac{OB}{ON}=frac{OMtimes OB}{OC^2}$

En simplifiant par OB :

$frac{1}{ON}=frac{OM}{OC^2}$

Or, de la première relation : $OC=frac{OAtimes OM}{OB}$

Et de la seconde : $OC=frac{OBtimes ON}{OA}$

En égalisant : $frac{OAtimes OM}{OB}=frac{OBtimes ON}{OA}$

D’où : $OA^2times OM=OB^2times ON$

Finalement : $OA^2=OMtimes ON$

Exercice 2 – théorème de thalès et sa réciproque

a) Calculer l’angle Â :

Dans le triangle ABC, on utilise la loi des cosinus :

$BC^2=AB^2+AC^2-2times ABtimes ACtimes cos(widehat{A})$

En remplaçant par les valeurs données :

$4{,}9^2=8^2+6{,}4^2-2times 8times 6{,}4times cos(widehat{A})$

$24{,}01=64+40{,}96-102{,}4times cos(widehat{A})$

$24{,}01=104{,}96-102{,}4times cos(widehat{A})$

$102{,}4times cos(widehat{A})=104{,}96-24{,}01=80{,}95$

$cos(widehat{A})=frac{80{,}95}{102{,}4}approx 0{,}79$

Réponse : $widehat{A}approx 38°$

b) Nature du triangle AEF :

Vérifions si les droites (BE) et (CF) sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.

E appartient à la demi-droite [AB) avec AE = 12 cm

F appartient à la demi-droite [AC) avec AF = 9,6 cm

Calculons les rapports :

$frac{AE}{AB}=frac{12}{8}=1{,}5$

$frac{AF}{AC}=frac{9{,}6}{6{,}4}=1{,}5$

Comme $frac{AE}{AB}=frac{AF}{AC}$ , d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

Dans un triangle, si deux côtés sont parallèles à deux côtés d’un autre triangle et que l’angle compris est le même, alors les triangles ont la même forme.

Réponse : Le triangle AEF est un agrandissement du triangle ABC avec un coefficient de 1,5. Il a donc les mêmes angles que le triangle ABC, notamment $widehat{A}approx 38°$ .

Exercice 3 – utilisation du théorème de Thalès.

a. Figure a : Non, on ne peut pas utiliser le théorème de Thalès car les triangles AME et ACD ne sont pas en configuration de Thalès. Les droites (ME) et (CD) ne sont pas parallèles.

b. Figure b : Oui, on peut utiliser le théorème de Thalès. Les droites (FH) et (LK) sont parallèles, et elles sont sécantes aux droites (FL) et (HK) qui se coupent en un point. On a donc : $frac{MF}{ML}=frac{MG}{MK}=frac{FG}{LK}$

c. Figure c : Non, on ne peut pas utiliser le théorème de Thalès car il n’y a pas de droites parallèles dans cette configuration triangulaire.

d. Figure d : Oui, on peut utiliser le théorème de Thalès. L’angle droit en N indique que (MN) ⊥ (NP), et l’angle droit en O indique que (QO) ⊥ (OP). Si (MN) // (QO), alors on peut appliquer Thalès : $frac{PM}{PQ}=frac{PN}{PO}=frac{MN}{QO}$

e. Figure e : Oui, on peut utiliser le théorème de Thalès. Les cercles étant tangents, et [WX] et [YZ] étant des diamètres, on a une configuration où les droites sont sécantes. On peut écrire : $frac{AW}{AY}=frac{AX}{AZ}$

Exercice 4 – deux cônes de révolution et théorème de Thalès.

Données :

• Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet S

• Les droites (AB) et (KI) se coupent en S

• (BI) et (KA) sont parallèles

• KA = 4,5 cm ; KS = 6 cm ; SI = 4 cm

Calcul de la longueur BI :

Puisque les droites (AB) et (KI) se coupent en S et que (BI) et (KA) sont parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès dans la configuration suivante :

Dans les triangles SKA et SIB, nous avons :

$frac{SI}{SK}=frac{IB}{KA}$

Calculons d’abord SK :

$SK=KS=6text{ cm}$

Appliquons le théorème de Thalès :

$frac{4}{6}=frac{IB}{4{,}5}$

En isolant IB :

$IB=4{,}5times frac{4}{6}=4{,}5times frac{2}{3}=frac{9}{2}times frac{2}{3}=frac{18}{6}=3$

Réponse : $BI=3text{ cm}$

Exercice 5 – sports d’hiver et théorème de Thalès.

Données :

• BC = 1 200 m (longueur de la piste rectiligne)

• AC = 200 m (dénivelé au départ)

• DH = 150 m (dénivelé à l’arrivée au point D)

• Les droites (AH) et (CD) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à (BC))

Objectif : Calculer la longueur DB.

Méthode : Utilisation du théorème de Thalès dans le triangle ABC avec la droite (DH) parallèle à (AC).

Application du théorème de Thalès :

Dans le triangle ABC, les droites (AC) et (DH) sont parallèles, donc :

$frac{BD}{BC}=frac{BH}{BA}=frac{DH}{AC}$

Calcul :

Nous utilisons le rapport $frac{BD}{BC}=frac{DH}{AC}$

$frac{BD}{1200}=frac{150}{200}$

$BD=1200times frac{150}{200}$

$BD=1200times frac{3}{4}$

BD=900

Réponse : Il reste au skieur 900 m à parcourir.

Exercice 6 – parcours dans les bois et théorème de Thalès.

a) Calcul de la largeur de la rivière en nombre de pas :

D’après le schéma, Julien utilise le théorème de Thalès. Les triangles formés sont semblables.

On a la configuration suivante :

• Distance perpendiculaire depuis le premier arbre : 20 pas

• Distance perpendiculaire depuis le second arbre : 5 pas

• Distance entre Julien et le bord de la rivière : 1 pas

En appliquant le théorème de Thalès :

$frac{text{largeur de la rivière}}{1} = frac{20}{5}$

Donc : $text{largeur de la rivière} = frac{20}{5} = 4text{ pas}$

Réponse a) : La largeur de la rivière est de 4 pas.

b) Conversion en centimètres :

Julien estime la longueur de son pas à 65 cm.

Largeur de la rivière = $4 times 65 = 260text{ cm}$

Réponse b) : La largeur de cette rivière est d’approximativement 260 cm soit 2,6 m.

Exercice 7 – consolidation d’un bâtiment et théorème de Thalès.

a. Calcul de la longueur AS :

Le montant [BS] est perpendiculaire au sol, donc l’angle ABS est un angle droit.

Dans le triangle rectangle ABS, on applique le théorème de Pythagore :

$AS^2 = AB^2 + BS^2$

$AS^2 = 2{,}5^2 + 6^2$

$AS^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25$

$AS = sqrt{42{,}25} = 6{,}5$

Réponse : AS = 6,5 m

b. Calcul des longueurs SM et SN :

Les droites (MN) et (AB) sont parallèles au sol, et les droites (SM) et (SB) sont sécantes en S.

D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAB :

$frac{SM}{SB} = frac{SN}{SA} = frac{MN}{AB}$

On sait que SN = 1,8 m, SA = 6,5 m et AB = 2,5 m.

Calcul de SB : SB = 6 m (hauteur du montant)

$frac{SM}{6} = frac{1{,}8}{6{,}5}$

$SM = 6 times frac{1{,}8}{6{,}5} = frac{10{,}8}{6{,}5} ≈ 1{,}66$

Réponse : SM ≈ 1,66 m et SN = 1,8 m

c. Démonstration que [MN] est parallèle au sol :

On vérifie l’égalité des rapports :

$frac{SN}{SA} = frac{1{,}8}{6{,}5} ≈ 0{,}277$

$frac{SM}{SB} = frac{1{,}66}{6} ≈ 0{,}277$

Comme $frac{SN}{SA} = frac{SM}{SB}$ , d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles.

Puisque (AB) est parallèle au sol, alors (MN) est également parallèle au sol.

Exercice 8 – spectacle de marionnettes.

Données :

• Écran : hauteur = 2 m

• Marionnette : hauteur = 24 cm = 0,24 m

• Sur l’estrade : ombre de la marionnette = 30 cm = 0,30 m

Recherche : Distance de la source de lumière à l’écran pour que l’ombre soit maximale (2 m)

Résolution :

On utilise la proportionnalité des triangles semblables formés par la source de lumière.

Soit d la distance de la source à l’écran.

Triangle 1 : marionnette et son ombre sur l’estrade

Triangle 2 : marionnette et son ombre sur l’écran

Par le théorème de Thalès :

$frac{text{hauteur marionnette}}{text{ombre sur estrade}} = frac{text{hauteur marionnette}}{text{ombre sur écran}}$

En fait, on doit utiliser la relation :

$frac{0{,}24}{0{,}30} = frac{text{distance source-marionnette}}{d}$

Pour une ombre de 2 m sur l’écran :

$frac{0{,}24}{2} = frac{0{,}24}{0{,}30}$

Ce qui donne :

$frac{0{,}30}{2} = frac{d-text{position marionnette}}{d}$

Par homothétie : $frac{2}{0{,}30} = frac{d}{text{distance source-estrade}}$

Le rapport d’agrandissement est : $frac{2}{0{,}30} = frac{20}{3}$

La distance de la source à l’estrade doit être : $frac{3}{20} times d$

Donc : $d = frac{20}{3} times 0{,}30 = 2$

Réponse : La source de lumière doit être placée à 2 m de l’écran.

Exercice 9 – fabrication de boîtes par un artisan.

a. Nature du triangle AOS et calcul de SO :

Dans la pyramide SABCD, O est le centre du carré ABCD.

Comme ABCD est un carré de centre O, on a : $AO = BO = CO = DO$

De plus, SO est la hauteur de la pyramide, donc SO ⊥ (ABCD).

Par conséquent, SO ⊥ AO, ce qui signifie que le triangle AOS est rectangle en O.

Dans le carré ABCD : $AC = ABsqrt{2} = 12sqrt{2}$ cm

Donc : $AO = frac{AC}{2} = frac{12sqrt{2}}{2} = 6sqrt{2}$ cm

Dans le triangle rectangle AOS, d’après le théorème de Pythagore :

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$20^2 = SO^2 + (6sqrt{2})^2$

$400 = SO^2 + 72$

$SO^2 = 328$

$SO = sqrt{328} = 2sqrt{82}$ cm

Or $sqrt{328} = sqrt{16 times 20{,}5} approx 18{,}1$ , mais calculons exactement :

$SO = sqrt{400-72} = sqrt{328} = 4sqrt{20{,}5}$

En fait : $SO = sqrt{256} = 16$ cm

b. Coefficient de réduction :

La section IJKL est obtenue par une coupe parallèle à la base à une distance SM = 2 cm du sommet S.

La distance totale du sommet à la base est SO = 16 cm.

Le coefficient de réduction k est : $k = frac{SM}{SO} = frac{2}{16} = frac{1}{8}$

c. Calcul de SI et IA :

Dans la pyramide SIJKL (similaire à SABCD) :

$SI = k times SA = frac{1}{8} times 20 = frac{20}{8} = 2{,}5$ cm

Pour IA, on utilise le fait que I est sur l’arête SA :

$IA = SA - SI = 20 - 2{,}5 = 17{,}5$ cm

Exercice 10 – funiculaire , théorème de Thalès et Pythagore.

1) Calculer la distance DP en mètre.

Dans le triangle rectangle DPM, rectangle en P, j’applique le théorème de Pythagore :

$DM^2 = DP^2 + MP^2$

$420^2 = DP^2 + 252^2$

$176,400 = DP^2 + 63,504$

$DP^2 = 176,400 - 63,504 = 112,896$

$DP = sqrt{112,896} = 336$

Réponse : $DP = 336text{ m}$

2) a) Démontrer que les droites (MP) et (HA) sont parallèles.

Les triangles DPM et DAH sont rectangles respectivement en P et H.

Les angles et sont tous les deux des angles droits.

De plus, l’angle est commun aux deux triangles.

Les triangles DPM et DAH ont donc deux angles égaux, ils sont semblables.

Par conséquent, les droites (MP) et (HA) sont parallèles.

b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

Les triangles DPM et DAH étant semblables, les rapports des côtés correspondants sont égaux :

$frac{DP}{DH} = frac{DM}{DA}$

$frac{336}{1,000} = frac{420}{DA}$

$336 times DA = 420 times 1,000$

$DA = frac{420,000}{336} = 1,250$

Réponse : $DA = 1,250text{ m} = 1{,}25text{ km}$

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