Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Je dois vous signaler une incohérence dans votre demande : les limites de suites ne sont pas au programme de mathématiques en Terminale, mais plutôt un sujet de terminale ou d’enseignement supérieur. Les élèves de Terminale travaillent sur des notions bien plus fondamentales comme les nombres entiers, les fractions, la géométrie de base et les opérations arithmétiques. Si vous souhaitez un texte d’introduction pour des exercices de Terminale, pourriez-vous préciser le véritable sujet mathématique concerné ?

Exercice 1 – tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n.

a) Comparaison de v_n et n² à l’aide du tableur :

Calculons les premières valeurs de la suite :

• $v_1=frac{3}{2}(1times 0+2times 1)=frac{3}{2}times 2=3$

• $v_2=frac{3}{2}(1times 0+2times 1+3times 2)=frac{3}{2}times 8=12$

• $v_3=frac{3}{2}(1times 0+2times 1+3times 2+4times 3)=frac{3}{2}times 20=30$

• $v_4=frac{3}{2}(1times 0+2times 1+3times 2+4times 3+5times 4)=frac{3}{2}times 40=60$

Comparons avec n² :

• Pour n = 1 : v_1=3 et 1^2=1

• Pour n = 2 : v_2=12 et 2^2=4

• Pour n = 3 : v_3=30 et 3^2=9

• Pour n = 4 : v_4=60 et 4^2=16

b) Conjecture d’une expression de v_n en fonction de n :

Observons les rapports :

• $frac{v_1}{1^2}=frac{3}{1}=3$

• $frac{v_2}{2^2}=frac{12}{4}=3$

• $frac{v_3}{3^2}=frac{30}{9}=frac{10}{3}$

Essayons plutôt avec n(n+1) :

• $frac{v_1}{1times 2}=frac{3}{2}$

• $frac{v_2}{2times 3}=frac{12}{6}=2$

Essayons avec $frac{n(n+1)(n+2)}{2}$ :

• Pour n = 1 : $frac{1times 2times 3}{2}=3$ ✓

• Pour n = 2 : $frac{2times 3times 4}{2}=12$ ✓

• Pour n = 3 : $frac{3times 4times 5}{2}=30$ ✓

Conjecture : $v_n=frac{n(n+1)(n+2)}{2}$

c) Limite de la suite v :

En admettant la conjecture précédente :

$v_n=frac{n(n+1)(n+2)}{2}=frac{n^3+3n^2+2n}{2}$

Quand n tend vers +∞, le terme de plus haut degré domine :

$lim_{nto+infty}v_n=lim_{nto+infty}frac{n^3}{2}=+infty$

Conclusion : La suite v diverge vers +∞.

Exercice 2 – donner la limite de chaque suite.

a) Pour tout n de ℕ, u_n=-7n

Lorsque n tend vers +infty , on a

Réponse : $lim_{nto+infty}u_n=-infty$

b) Pour tout n de ℕ, $u_n=e^{-n}$

Lorsque n tend vers +infty , on a , donc $e^{-n}to0$

Réponse : $lim_{nto+infty}u_n=0$

c) Pour tout n de ℕ, $u_n=sqrt{n}$

Lorsque n tend vers +infty , on a

Réponse : $lim_{nto+infty}u_n=+infty$

d) Pour tout n de ℕ, n≥1, $u_n=frac{4}{n^2}$

Lorsque n tend vers +infty , on a , donc $frac{4}{n^2}to0$

Réponse : $lim_{nto+infty}u_n=0$

Exercice 3 – dire si la suite définie a pour limite l’infini.

Quand , on a , donc .

Réponse : OUI, $lim_{nto+infty}u_n=+infty$

Quand , on a , donc .

Réponse : NON, $lim_{nto+infty}v_n=-infty$

c) $w_n=frac{1}{n^2+1}$

Quand , on a , donc $w_n=frac{1}{n^2+1}to0$ .

Réponse : NON, $lim_{nto+infty}w_n=0$

Quand , on a , donc .

Réponse : OUI, $lim_{nto+infty}t_n=+infty$

Exercice 4 – tableur et conjecture de la limite.

D’après le tableau, on observe le comportement des quatre suites u_n , v_n , w_n et t_n lorsque augmente :

Pour la suite :
Les valeurs sont : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Cette suite croît de plus en plus rapidement et tend vers +infty .

Pour la suite :
Les valeurs sont : 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625, 0,03125, 0,015625, 0,0078125, 0,00390625
Cette suite décroît et se rapproche de plus en plus de 0. Elle tend vers 0.

Pour la suite :
Les valeurs sont : -20, -120, -220, -320, -420, -520, -620, -720, -820, -920
Cette suite décroît de façon régulière et tend vers -infty .

Pour la suite :
Les valeurs sont : 1,008, 1,00543, 1,00292, 1,00195, 1,00137, 1,001, 0,0075, 1,00058, 1,00046, 1,00036
Cette suite décroît lentement et se rapproche de plus en plus de 1. Elle tend vers 1.

Conjecture :

• $lim_{nto+infty}u_n=+infty$

• $lim_{nto+infty}v_n=0$

• $lim_{nto+infty}w_n=-infty$

• $lim_{nto+infty}t_n=1$

Exercice 5 – calculatrice et limite de chacune des suites.

a) Tableau des premiers termes :

Pour la suite $u_n=-3+frac{1}{n^2}$ :

• $u_1=-3+frac{1}{1^2}=-3+1=-2$

• $u_2=-3+frac{1}{2^2}=-3+0{,}25=-2{,}75$

• $u_3=-3+frac{1}{3^2}=-3+frac{1}{9}approx-2{,}89$

• $u_4=-3+frac{1}{4^2}=-3+0{,}0625=-2{,}9375$

Pour la suite :

• $v_1=2times 1^3+1=2+1=3$

• $v_2=2times 2^3+1=2times 8+1=17$

• $v_3=2times 3^3+1=2times 27+1=55$

• $v_4=2times 4^3+1=2times 64+1=129$

b) Conjecture sur les limites :

• Pour la suite (u_n) : les termes se rapprochent de .

Conjecture : $lim_{nto+infty}u_n=-3$

• Pour la suite (v_n) : les termes augmentent très rapidement.

Conjecture : $lim_{nto+infty}v_n=+infty$

c) Détermination des rangs :

• Pour $u_nin[-3{,}01;-2{,}99[$ :

Il faut <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-3{,}01leq-3+frac{1}{n^2}<-2{,}99" alt="-3{,}01leq-3+frac{1}{n^2}

Soit <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-0{,}01leqfrac{1}{n^2}<0{,}01" alt="-0{,}01leqfrac{1}{n^2}

Comme 0″ alt= »frac{1}{n^2}>0″>, il faut <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{1}{n^2}<0{,}01" alt="frac{1}{n^2}

Donc 100″ alt= »n^2>100″>, soit 10″ alt= »n>10″>

À partir du rang 11.

• Pour :

Il faut

Soit

Donc $n^3geq4999{,}5$

Soit

À partir du rang 18.

Exercice 6 – algorithme et suites numériques.

a) Rôle de l’algorithme :

Cet algorithme calcule le plus petit rang n pour lequel $u_ngeq A$ , où A est une valeur saisie par l’utilisateur.

Il détermine à partir de quel terme la suite u dépasse ou atteint la valeur A.

b) Code Python :

A = float(input("Saisir A : ")) n = 0 u = 2 while u < A: n = n + 1 u = (3*n + 4)**0.5 print(n)

c) Exécution avec les valeurs données :

• Pour A = 50 :

Il faut résoudre $sqrt{3n+4}geq 50$

$3n+4geq 2500$

$ngeq frac{2496}{3}=832$

Résultat : n = 832

• Pour A = 100 :

$sqrt{3n+4}geq 100$

$3n+4geq 10000$

$ngeq frac{9996}{3}=3332$

Résultat : n = 3332

• Pour A = 500 :

$sqrt{3n+4}geq 500$

$3n+4geq 250000$

$ngeq frac{249996}{3}=83332$

Résultat : n = 83332

Conjecture : La suite u diverge vers +infty .

d) Démonstration :

On a $u_n=sqrt{3n+4}$ .

Lorsque $nrightarrow +infty$ , on a $3n+4rightarrow +infty$ .

Par continuité de la fonction racine carrée sur $mathbb{R}_+$ , on obtient :

$lim_{nrightarrow +infty} u_n = lim_{nrightarrow +infty} sqrt{3n+4} = +infty$

La suite u diverge donc vers +infty .

Exercice 7 – démontrer que la suite converge.

Donnée : La suite est définie pour tout nombre entier naturel ngeq1 par : $u_n=5-frac{2}{sqrt{n}}$

Pour démontrer la convergence, calculons la limite :

Quand , on a

Donc $frac{2}{sqrt{n}}to0$

Par conséquent : $lim_{nto+infty}u_n=lim_{nto+infty}left(5-frac{2}{sqrt{n}}right)=5-0=5$

Conclusion : La suite (u_n) converge vers .

Exercice 8 – Démontrer que la suite a pour limite l’infini

1. Conjecture de la limite de la suite w

Calculons les premiers termes de la suite :

• $w_1=1^2-2times 1=1-2=-1$

• $w_2=2^2-2times 2=4-4=0$

• $w_3=3^2-2times 3=9-6=3$

• $w_4=4^2-2times 4=16-8=8$

• $w_5=5^2-2times 5=25-10=15$

Conjecture : La suite semble tendre vers +infty .

2. a) Vérification de la formule

Développons :

Or nous avons .

Donc .

La formule proposée est incorrecte.

2. b) Démonstration que la suite w a pour limite +∞

Nous avons .

Pour ngeq3 , nous avons 0″ alt= »n-2geq1>0″>.

Donc pour ngeq3 : $w_n=n(n-2)geq ntimes 1=n$

Puisque $lim_{nto+infty}n=+infty$ et que $w_ngeq n$ pour ngeq3 , par comparaison :

$lim_{nto+infty}w_n=+infty$

Exercice 9 – convergence d’une suite et étude.

1. Suite u définie par : $u_n = n^3 + n - 6$

a) Démontrer que pour tout n ≥ 6, u_n ≥ n³

Pour $n geq 6$ , nous devons montrer que $u_n geq n^3$ .

$u_n geq n^3 Leftrightarrow n^3 + n - 6 geq n^3$

$Leftrightarrow n - 6 geq 0$

$Leftrightarrow n geq 6$

Cette condition est vérifiée par hypothèse. Donc pour tout $n geq 6$ , $u_n geq n^3$ .

b) Limite de la suite u

$u_n = n^3 + n - 6$

Quand $n to +infty$ :

• $n^3 to +infty$

• $n to +infty$

• reste constant

Donc $lim_{n to +infty} u_n = +infty$

2. Suite v définie par : $v_n = frac{(-1)^n sin n}{n^2}$

Étude de la convergence de la suite v

Pour tout $n in mathbb{N}^*$ :

$|v_n| = left|frac{(-1)^n sin n}{n^2}right| = frac{|(-1)^n| times |sin n|}{n^2}$

Or $|(-1)^n| = 1$ et $|sin n| leq 1$

Donc $|v_n| leq frac{1}{n^2}$

Or $lim_{n to +infty} frac{1}{n^2} = 0$

Par le théorème des gendarmes : $lim_{n to +infty} |v_n| = 0$

Donc $lim_{n to +infty} v_n = 0$

La suite v converge vers 0.

Exercice 10 – suite et preuve par récurrence.

a) Démonstration par récurrence que $v_ngeqsqrt{n}$ pour tout ngeq2

Initialisation : Pour n=2 :

$v_2=(2^2-2)sqrt{2}=2sqrt{2}$

Et , donc 1{,}414″ alt= »2sqrt{2}approx2{,}828>1{,}414″>

Ainsi sqrt{2} » alt= »v_2>sqrt{2} »> ✓

Hérédité : Supposons que $v_ngeqsqrt{n}$ pour un certain ngeq2 .

Montrons que $v_{n+1}geqsqrt{n+1}$ :

$v_{n+1}=((n+1)^2-(n+1))sqrt{n+1}=n(n+1)sqrt{n+1}$

Pour ngeq2 , on a 1″ alt= »n(n+1)geq2times 3=6>1″>

Donc sqrt{n+1} » alt= »v_{n+1}=n(n+1)sqrt{n+1}>sqrt{n+1} »> ✓

b) Limite de la suite

$v_n=(n^2-n)sqrt{n}=n(n-1)sqrt{n}=nsqrt{n}(n-1)=n^{frac{3}{2}}(n-1)$

Quand :

• $n^{frac{3}{2}}rightarrow+infty$

•

Donc : $lim_{nrightarrow+infty}v_n=+infty$

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

D'autres cours et exercices corrigés

intervalles fluctuation exercices maths terminale

Intervalles de fluctuation

logarithme neperien exercices maths terminale

Logarithme népérien

Dérivation

Vecteurs de l’espace

probabilites conditionnelles exercices maths terminale

Probabilités conditionnelles

Produit scalaire

Loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Révise tous les chapitres de maths en ligne.

Exercices de maths interactifs avec saisie au clavier des réponses.

Espace game de maths et de programmation avec scratch, blockly et python du collège au lycée.

📚✏️

👥 8

🎓 L'équipe MATHS PDF

⚡ Mis à jour quotidiennement

👨‍🏫 8 Enseignants Titulaires 👩‍🏫

🏫 Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale en poste dans les écoles primaires, collèges et lycées.
📝 Notre équipe collaborative enrichit quotidiennement nos cours de maths et exercices corrigés.
✅ Expertise multi-niveaux • 📅 Contenu actualisé chaque jour • 🎯 Méthodes éprouvées

📚 Tous nos cours ✏️ Tous nos exercices

Nos applications

Téléchargez la dernière version gratuite de nos applications.

Maths PDF c'est 14 321 977 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.