Cercle et triangle en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sur la figure, le point C est le centre du cercle et les points A, R, I, E et M sont sur le cercle.

• Un rayon est un segment qui relie le centre à un point du cercle.
• Un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre.

[AM] relie deux points du cercle et passe par C : c’est un diamètre. [IE] aussi. [RC] et [AC] relient le centre C à un point du cercle : ce sont des rayons. [EM] relie deux points du cercle mais ne passe pas par C : ce n’est ni un rayon ni un diamètre (on l’appelle une corde).

Les points C, I, A, J et B sont alignés et régulièrement espacés. Le cercle de centre A qui passe par C et B a un rayon de 4 cm, donc \(AC = AB = 4\text{ cm}\) et chaque petit intervalle mesure \(4 \div 2 = 2\text{ cm}\) : \(CI = IA = AJ = JB = 2\text{ cm}\).

• En rouge : le cercle de centre A et de rayon 4 cm est le plus grand cercle, celui qui passe par C et par B.
• En vert : un cercle de diamètre 4 cm a un rayon de \(4 \div 2 = 2\text{ cm}\). Le cercle de diamètre [CA] (centre I) et le cercle de diamètre [AB] (centre J) conviennent. Remarque : le cercle de diamètre [IJ] (centre A) mesure lui aussi 4 cm de diamètre ; n’importe quels deux de ces trois cercles sont acceptés.
• En bleu : le cercle de diamètre [IB] a pour centre le milieu de [IB] (entre A et J) et pour rayon \(6 \div 2 = 3\text{ cm}\). Il passe par I et par B.
• En noir : le cercle de diamètre [CJ] a pour centre le milieu de [CJ] (entre I et A) et pour rayon 3 cm. Il passe par C et par J.

1. Place un point A. Écarte le compas de 2,5 cm sur la règle, pique la pointe sèche en A et trace le cercle \((\mathcal{C})\).
2. Deux rayons en bleu : place deux points F et G sur le cercle et trace les segments [AF] et [AG]. Chacun mesure 2,5 cm.
3. Deux diamètres en rouge : trace deux droites qui passent par A ; elles coupent le cercle en B et C, puis en D et E. Les segments [BC] et [DE] sont des diamètres.

Chaque diamètre mesure le double du rayon : \(2{,}5 \times 2 = 5\text{ cm}\). Vérifie à la règle.

On retient : le diamètre est le double du rayon, et le rayon est la moitié du diamètre.

a. Le rayon mesure 12 cm.

\[ \text{diamètre} = 2 \times 12 = 24\text{ cm} \]

Un diamètre de ce cercle mesure 24 cm.

b. Le diamètre mesure 16,8 cm.

\[ \text{rayon} = 16{,}8 \div 2 = 8{,}4\text{ cm} \]

On peut vérifier : \(8{,}4 \times 2 = 16{,}8\). Un rayon de ce cercle mesure 8,4 cm.

Cercle de centre F et de rayon [FE] : on pique la pointe sèche du compas en F et on ouvre le compas jusqu’au point E (le rayon est la longueur FE). On trace le cercle : il passe par E.

Cercle de diamètre [EG] : le centre d’un cercle est le milieu de son diamètre.

1. On mesure [EG] à la règle et on place son milieu O (à la moitié de la longueur).
2. On pique le compas en O et on l’ouvre jusqu’à E (rayon OE, la moitié de EG).
3. On trace le cercle : il passe par E et par G.

On repère d’abord les centres (les croix) et on compte les carreaux pour trouver les rayons. Appelons O la croix du milieu.

• Grand arc : centre O, rayon 8 carreaux. C’est trois quarts de cercle : il part du point situé 8 carreaux à gauche de O, passe en haut, à droite, et s’arrête 8 carreaux sous O.
• Le contour se ferme par deux segments : un segment vertical de 8 carreaux à gauche et un segment horizontal de 8 carreaux en bas (ils forment un angle droit en bas à gauche).
• Goutte du bas : centre 3 carreaux à gauche et 3 carreaux sous O, rayon 3 carreaux. On trace trois quarts de cercle, puis deux segments de 3 carreaux qui rejoignent O (un horizontal, un vertical).
• Goutte du haut : centre 3 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessus de O, rayon 3 carreaux, même construction.

La figure est une rosace construite dans un carré de 8 carreaux de côté (en gris), dont le centre est au milieu du quadrillage.

• Les 4 cercles (en bleu) : leurs centres sont à 2 carreaux des côtés du quadrillage, placés à 2 carreaux du centre de la figure en diagonale. Pour le rayon, on ouvre le compas du centre d’un cercle jusqu’au centre de la figure (c’est la diagonale de 2 carreaux sur 2). Chaque cercle passe par le centre de la figure et par un coin du carré gris.
• Les 4 pétales (en rouge) : on pique le compas au milieu d’un côté du carré gris et on prend un rayon de 4 carreaux. On trace le demi-cercle tourné vers l’intérieur : il va d’un coin du carré au coin voisin en passant par le centre. On recommence pour les 4 côtés ; les demi-cercles se croisent et dessinent les pétales.

On vérifie les longueurs des côtés avec la règle (ou le compas) et les angles droits avec l’équerre.

• Fig. 1 et Fig. 6 : deux côtés de même longueur, pas d’angle droit : triangles isocèles.
• Fig. 2 et Fig. 3 : un angle droit (vérifié à l’équerre), côtés de longueurs différentes : triangles rectangles.
• Fig. 5 : un angle droit et deux côtés égaux (ceux de l’angle droit) : c’est un triangle rectangle isocèle, on l’écrit dans les deux colonnes.
• Fig. 4 et Fig. 8 : les trois côtés ont la même longueur : triangles équilatéraux.
• Fig. 7 et Fig. 9 : trois côtés de longueurs différentes et aucun angle droit : triangles quelconques.

On mesure les côtés à la règle, on contrôle les angles avec l’équerre, puis on code : un petit carré dans un angle droit, le même nombre de petits traits sur les côtés de même longueur.

• Fig. 1 : les trois côtés ont la même longueur. C’est un triangle équilatéral.
• Fig. 2 : l’angle du sommet du haut est droit (l’équerre s’y place exactement) et les côtés ont des longueurs différentes. C’est un triangle rectangle.
• Fig. 3 : les deux côtés qui partent du sommet en haut à gauche ont la même longueur, et il n’y a pas d’angle droit. C’est un triangle isocèle.
• Fig. 4 : l’angle du bas est droit et les deux côtés de cet angle ont la même longueur. C’est un triangle rectangle isocèle.

Sur ce quadrillage, les nœuds forment des petits triangles équilatéraux. Appelons « pas » le côté d’un petit triangle. Il suffit de placer les trois sommets sur les bons nœuds en comptant les pas, puis de les relier à la règle.

• Fig. 1 : un côté horizontal de 3 pas ; depuis son extrémité gauche, on descend de 3 pas le long d’une ligne oblique du quadrillage (vers la gauche) pour le troisième sommet. Les deux côtés mesurent 3 pas : le triangle est isocèle.
• Fig. 2 : une base horizontale de 3 pas et un sommet 3 lignes plus haut, au-dessus du milieu de la base. Chaque côté suit le quadrillage et mesure 3 pas : triangle équilatéral.
• Fig. 3 : depuis le sommet du haut, on descend de 2 pas sur une oblique vers la gauche (sommet de gauche) ; le troisième sommet se trouve en descendant de 3 pas sur l’oblique vers la droite puis en avançant de 3 pas vers la droite. Triangle quelconque.
• Fig. 4 : un côté vertical qui relie deux nœuds situés l’un au-dessus de l’autre, 4 lignes plus bas ; le troisième sommet est sur la ligne du milieu (2 lignes sous le haut), à 3 pas à droite. Ce triangle est équilatéral (posé sur une pointe).