Les angles en CM2 : corrigé détaillé des 20 exercices avec figures à télécharger en PDF

Pour comparer un angle à l’angle \(\hat{A}\), on fabrique un gabarit de \(\hat{A}\) : on décalque l’angle sur du papier calque (ou on le découpe). Puis on pose le gabarit sur chaque angle : même sommet, et un côté du gabarit sur un côté de l’angle.

• Si l’autre côté du gabarit tombe exactement sur l’autre côté de l’angle, les deux angles sont égaux : c’est le cas des angles ① et ⑤.
• Si l’autre côté de l’angle reste à l’intérieur du gabarit, l’angle est plus petit que \(\hat{A}\) : angles ② et ⑥.
• Si l’autre côté de l’angle dépasse du gabarit, l’angle est plus grand que \(\hat{A}\) : angles ③ et ④.

Attention : la longueur des côtés dessinés ne compte pas. L’angle ② a de longs côtés, mais il est pourtant plus petit que \(\hat{A}\).

a. On compare les angles deux à deux avec un gabarit (même méthode qu’à l’exercice 1). L’angle ⑤ est très fermé : c’est le plus petit. L’angle ⑥ est le plus ouvert : c’est le plus grand. En comparant les autres, on obtient :

⑤ < ② < ③ < ① < ④ < ⑥

b. On utilise l’équerre comme angle de référence : on place le sommet de l’angle droit de l’équerre sur le sommet de l’angle et un côté de l’équerre sur un côté de l’angle.

• Un angle aigu est plus petit qu’un angle droit : l’autre côté reste à l’intérieur de l’équerre. C’est le cas de ⑤, ② et ③.
• Un angle droit coïncide exactement avec l’équerre : c’est l’angle ①.
• Un angle obtus est plus grand qu’un angle droit (et plus petit qu’un angle plat) : l’autre côté sort de l’équerre. C’est le cas de ④ et ⑥.

Le classement de la question b confirme celui de la question a : les trois angles aigus sont bien les trois plus petits, et les deux angles obtus les deux plus grands.

La figure est formée de deux paires de droites parallèles : elles dessinent un parallélogramme au centre. À chacun des quatre points de croisement, on retrouve la même « croix » : les droites se coupent toujours de la même façon, seulement déplacée.

On décalque l’angle ① et on fait glisser le calque sur les autres angles numérotés :

• il se superpose exactement aux angles ③, ⑥ et ⑧ : ce sont des angles aigus tous égaux ;
• il ne correspond pas aux angles ②, ④, ⑤ et ⑦, qui sont des angles obtus. En décalquant l’angle ②, on vérifie que ces quatre angles obtus sont égaux entre eux.

On peut aussi remarquer qu’à chaque croisement, un angle aigu et un angle obtus sont côte à côte et forment ensemble un angle plat (une demi-droite prolongée).

Pour chaque angle marqué, on pose le coin de l’équerre sur le sommet, un côté de l’équerre sur un côté du polygone :

• si l’autre côté du polygone reste à l’intérieur de l’équerre, l’angle est aigu : on le colorie en rouge ;
• s’il sort de l’équerre, l’angle est obtus : on le colorie en bleu.

Le triangle : les angles 1 et 3 sont aigus (rouge), l’angle 2 est obtus (bleu).

Le quadrilatère : les angles 4, 6 et 7 sont aigus (rouge), l’angle 5 est obtus (bleu). L’angle 6 est proche d’un angle droit, mais avec l’équerre on voit que le côté reste légèrement à l’intérieur : il est aigu.

Le pentagone : les angles ② et ⑤ sont aigus (rouge), les angles ①, ③ et ④ sont obtus (bleu).

Étape 1. On décalque l’angle \(\hat{B}\) sur du papier calque : c’est le gabarit de \(\hat{B}\). On fait de même avec l’angle \(\hat{C}\).

Étape 2. On trace une demi-droite d’origine O. On pose le gabarit de \(\hat{B}\) avec son sommet en O et un côté sur la demi-droite, puis on trace son deuxième côté.

Étape 3. On pose le gabarit de \(\hat{C}\) juste à côté, sommet en O, un côté sur le deuxième côté de \(\hat{B}\), sans chevauchement. On trace le côté restant : l’angle obtenu est la somme \(\hat{B} + \hat{C}\).

En vérifiant avec l’équerre, on constate que l’angle obtenu coïncide exactement avec l’angle droit de l’équerre : c’est un angle droit. Il est égal à l’angle \(\hat{U}\), qui est marqué comme angle droit sur la figure.

Ce n’est pas un hasard : dans un triangle, les trois angles mis bout à bout forment un angle plat. Comme l’angle \(\hat{U}\) est droit (la moitié d’un angle plat), les deux autres angles réunis forment l’autre moitié, donc aussi un angle droit.

Dans un agrandissement, les longueurs changent mais les angles restent les mêmes. On va donc copier les angles du triangle LAC avec des gabarits.

Étape 1. On décalque les angles \(\hat{L}\) et \(\hat{A}\) du triangle LAC sur du papier calque : ce sont les deux gabarits.

Étape 2. On trace à la règle le segment [LA] de longueur 6,5 cm.

Étape 3. On place le gabarit de \(\hat{L}\) avec son sommet en L et un côté sur [LA], du même côté que dans le modèle (en dessous), et on trace une demi-droite le long de son deuxième côté.

Étape 4. On fait de même au point A avec le gabarit de \(\hat{A}\) (angle obtus).

Étape 5. Les deux demi-droites se coupent en un point : c’est le sommet C. On repasse les côtés [LC] et [AC].

Vérification : le troisième angle \(\hat{C}\) du nouveau triangle se superpose au gabarit de l’angle \(\hat{C}\) du modèle. En mesurant, on trouve environ LC ≈ 9,1 cm et AC ≈ 3,8 cm (une petite différence de quelques millimètres est normale selon la précision du tracé).

On compare l’ouverture des angles, pas la longueur des côtés. On peut reporter chaque angle avec un gabarit ou utiliser une équerre : \(c\) est le plus fermé, \(a\) est un peu plus ouvert, \(d\) est un angle droit et \(b\) est plus ouvert que l’angle droit.

Mesures : \(c=30^{\circ}\), \(a=60^{\circ}\), \(d=90^{\circ}\), \(b=120^{\circ}\).

a. \[c\lt a\lt d\lt b\]

b. Non : la longueur des côtés ne change pas l’ouverture, donc pas la taille de l’angle.

On place l’équerre : un angle aigu est plus petit que l’angle droit, un angle obtus est plus grand.

• \(A=40^{\circ}\) et \(D=75^{\circ}\) : plus petits que l’angle droit, donc aigus.
• \(B\) et \(E\) : \(90^{\circ}\), donc droits.
• \(C=130^{\circ}\) et \(F=160^{\circ}\) : plus grands que l’angle droit, donc obtus.

La grande aiguille pointe vers le 12. Entre deux heures consécutives, la petite aiguille avance d’un douzième de tour, soit \(360\div12=30\) degrés.

a.

• a (5 h) : \(5\times30=150^{\circ}\), angle obtus.
• b (1 h) : \(30^{\circ}\), angle aigu.
• c (6 h) : \(6\times30=180^{\circ}\), angle plat.
• d (3 h) : \(3\times30=90^{\circ}\), angle droit.

b. \[30^{\circ}\lt90^{\circ}\lt150^{\circ}\lt180^{\circ}\] soit b, d, a, c.

c. À 9 h, la petite aiguille est au 9 : il y a trois heures entre le 9 et le 12, soit \(3\times30=90^{\circ}\) : c’est un angle droit.

Quand deux angles sont côte à côte, la mesure de l’angle total est la somme des mesures.

a. \[\widehat{AOC}=50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}\]

b. \(90^{\circ}\) : c’est un angle droit.

c. \[45^{\circ}+60^{\circ}=105^{\circ}\] Or \(105^{\circ}\gt90^{\circ}\) : l’angle est obtus.

a. Un angle aigu mesure moins de \(90^{\circ}\), un angle droit mesure \(90^{\circ}\), un angle obtus mesure plus de \(90^{\circ}\) (et moins de \(180^{\circ}\)).

• Aigus : A (\(85^{\circ}\)), C (\(45^{\circ}\)), F (\(15^{\circ}\)).
• Droit : D (\(90^{\circ}\)).
• Obtus : B (\(110^{\circ}\)), E (\(175^{\circ}\)).

b. \[15^{\circ}\lt45^{\circ}\lt85^{\circ}\lt90^{\circ}\lt110^{\circ}\lt175^{\circ}\]

a. A : \(35^{\circ}\lt90^{\circ}\), angle aigu. B : \(90^{\circ}\), angle droit. C : \(120^{\circ}\gt90^{\circ}\), angle obtus.

b. \[90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\]

c. \[120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}\]

On vérifie chaque sommet avec l’équerre.

• Figure 1 (forme en L) : cinq sommets sont des angles droits. Le sommet « rentrant » au creux du L n’est pas un angle droit : il est plus grand.
• Figure 2 (maison) : seuls les deux angles du bas sont droits. L’angle du sommet du toit est aigu et les deux angles sous le toit sont obtus.

On compare chaque angle à l’angle droit de l’équerre.

a. \(\widehat{A}\) et \(\widehat{C}\) sont plus petits que l’angle droit : ils sont aigus. \(\widehat{B}\) est plus grand que l’angle droit : il est obtus.

b. Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{C}\) se superposent (\(35^{\circ}\) chacun, le triangle est isocèle en \(B\)), et \(\widehat{B}\) mesure \(110^{\circ}\) : \[\widehat{A}=\widehat{C}\lt\widehat{B}\]

a. Depuis le nord, un quart de tour vers la droite amène vers l’est.

b. Un demi-tour renverse la direction : de l’est on passe à l’ouest.

c. Le robot regarde l’ouest ; sa gauche est le sud, donc il regarde vers le sud.

d. Un demi-tour est un angle plat : \[2\times90^{\circ}=180^{\circ}\]

Un coin de carreau est un angle droit. La diagonale d’un carré le partage en deux angles égaux, donc deux angles de \(45^{\circ}\).

a. L’angle ② suit les lignes du quadrillage : il est droit.

b. L’angle ① mesure \(45^{\circ}\) (aigu), l’angle ② mesure \(90^{\circ}\) et l’angle ③ mesure \(90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}\) (obtus). \[45^{\circ}\lt90^{\circ}\lt135^{\circ}\]

a. \[360^{\circ}\div8=45^{\circ}\]

b. \[2\times45^{\circ}=90^{\circ}\] c’est un angle droit.

c. \[3\times45^{\circ}=135^{\circ}\] \(135^{\circ}\gt90^{\circ}\) : l’angle est obtus.

d. Un angle plat mesure \(180^{\circ}\) : \[180\div45=4\]

1. Vrai : un angle aigu mesure moins de \(90^{\circ}\).
2. Faux : on peut superposer E et F, ils ont la même ouverture. La longueur des côtés ne change pas la taille d’un angle.
3. Faux : un angle obtus est plus grand qu’un angle droit.
4. Vrai : \(2\times90^{\circ}=180^{\circ}\).

a. L’angle ① est plus ouvert que l’angle droit : il mesure \(140^{\circ}\). L’angle ② est très fermé : \(25^{\circ}\). L’angle ③ est aigu mais plus ouvert que ② : \(70^{\circ}\).

On a bien \(25^{\circ}\lt70^{\circ}\lt140^{\circ}\), soit ② < ③ < ①.

b. Seul l’angle ① est obtus, car \(140^{\circ}\gt90^{\circ}\).

a. L’angle droit mesure \(90^{\circ}\). \[\widehat{BOC}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\]

b. L’angle plat mesure \(180^{\circ}\). \[180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}\] \(145^{\circ}\gt90^{\circ}\) : c’est un angle obtus.

c. \[35^{\circ}\lt55^{\circ}\lt90^{\circ}\lt145^{\circ}\]