Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Est
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Est. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Est 2005
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Est 2005 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Réponses d’Alain, Bernard et Charlotte » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Identité remarquable et produit nul » (exercice 2). Puis la correction reprend « PGCD et carreaux de faïence » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Trois triangles rectangles » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Demi-cercle, Pythagore et Thalès » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, le corrigé explique « Réservoir de la fusée » (exercice 3 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Tarifs du théâtre » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé Est 2005 te fait revoir les puissances de 10, les racines carrées, les équations, les diviseurs communs et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Est 2005)
Corrigé de l’exercice 1 : vérifier les réponses d’Alain, Bernard et Charlotte
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : on calcule d’abord \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{16}\), en simplifiant avant de multiplier.
\[\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{16} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 16} = \dfrac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 8} = \dfrac{3}{8}\]
\[A = \dfrac{5}{4} – \dfrac{3}{8} = \dfrac{10}{8} – \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{8}\]
7 et 8 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, donc \(A = \dfrac{7}{8}\).
2. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 :
\[B = \dfrac{16 \times 3}{24} \times \dfrac{10^{-5} \times 10^4}{10^{-3}} = \dfrac{48}{24} \times 10^{-5 + 4 – (-3)} = 2 \times 10^2\]
Sous forme d’un nombre entier : \(B = 200\).
3. Puis on fait apparaître \(\sqrt{7}\) sous chaque racine : \(63 = 9 \times 7\) et \(28 = 4 \times 7\).
\[\sqrt{63} = 3\sqrt{7} \qquad 5\sqrt{28} = 5 \times 2\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\]
\[C = 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} – 10\sqrt{7} = (3 + 2 – 10)\sqrt{7} = -5\sqrt{7}\]
Donc \(C = -5\sqrt{7}\), avec \(a = -5\).
Bilan sur les trois réponses.
- Alain s’est trompé : \(A = \dfrac{7}{8}\) et non \(\dfrac{21}{64}\). Il a effectué la soustraction avant la multiplication : \(\left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{9}{16} = \dfrac{21}{64}\), ce qui ne respecte pas les priorités opératoires.
- Bernard a trouvé la bonne valeur, mais la forme demandée n’est pas respectée : on attendait un nombre entier, \(B = 200\), et non une écriture avec une puissance de 10.
- Charlotte a raison : \(C = -5\sqrt{7}\) est juste et écrit sous la forme demandée.
Corrigé de l’exercice 2 : identité remarquable et produit nul
1. D’abord, on développe le produit par double distributivité : \((2x + 3)(x – 2) = 2x^2 – 4x + 3x – 6 = 2x^2 – x – 6\).
\[E = 4x^2 – 9 + 2x^2 – x – 6\]
Donc \(E = 6x^2 – x – 15\).
2. L’énoncé a perdu l’expression à factoriser en premier : il s’agit de \(4x^2 – 9\), le début de \(E\). C’est une différence de deux carrés, car \(4x^2 = (2x)^2\) et \(9 = 3^2\). Avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) :
\[4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)\]
Le facteur \((2x + 3)\) apparaît alors dans les deux termes de \(E\) :
\[E = (2x + 3)(2x – 3) + (2x + 3)(x – 2) = (2x + 3)\big[(2x – 3) + (x – 2)\big]\]
Donc \(E = (2x + 3)(3x – 5)\). Contrôle : \((2x + 3)(3x – 5) = 6x^2 – 10x + 9x – 15 = 6x^2 – x – 15\).
3. a. L’équation, absente de l’énoncé imprimé, est \(E = 0\), c’est-à-dire \((2x + 3)(3x – 5) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
soit \(2x + 3 = 0\), donc \(x = -\dfrac{3}{2}\) ; soit \(3x – 5 = 0\), donc \(x = \dfrac{5}{3}\).
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{5}{3}\).
b. \(-\dfrac{3}{2} = -1{,}5\) n’est pas entier, et \(\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) non plus (5 n’est pas divisible par 3). De même, L’équation n’a pas de solution entière.
c. \(-\dfrac{3}{2} = -1{,}5\) s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : c’est un nombre décimal. En revanche \(\dfrac{5}{3} = 1{,}666\ldots\) a une infinité de 6 : il n’est pas décimal. Oui, l’équation a une solution décimale : \(-1{,}5\).
Corrigé de l’exercice 3 (Est 2005) : PGCD et carreaux de faïence
1. Algorithme d’Euclide (on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste) :
\[210 = 1 \times 135 + 75\]
\[135 = 1 \times 75 + 60\]
\[75 = 1 \times 60 + 15\]
\[60 = 4 \times 15 + 0\]
Le dernier reste non nul est 15 : \(\text{PGCD}(135 ; 210) = 15\). Vérification par décomposition : \(135 = 3^3 \times 5\) et \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\), les facteurs communs donnent \(3 \times 5 = 15\).
2. a. Pour couvrir le mur sans couper de carreau, le côté doit diviser à la fois 210 et 135 ; on veut le plus grand possible, c’est donc leur PGCD. Le côté d’un carreau mesure 15 cm.
b. En hauteur : \(210 \div 15 = 14\) carreaux ; en largeur : \(135 \div 15 = 9\) carreaux. Il faut \(14 \times 9 = 126\), soit 126 carreaux. Contrôle par les aires : \(\dfrac{210 \times 135}{15 \times 15} = \dfrac{28\,350}{225} = 126\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : trois façons de prouver un angle droit
Figure 1. Alors on connaît les trois longueurs ; le plus grand côté est [BC]. Ensuite, on compare :
\[\text{BC}^2 = 50^2 = 2\,500 \qquad \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1\,600 = 2\,500\]
Puis on a \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Figure 2. Les points A, B, C et E sont sur le même cercle. Les angles inscrits \(\widehat{\text{ABC}}\) et \(\widehat{\text{AEC}}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{AC}}\) : ils ont donc la même mesure, \(\widehat{\text{ABC}} = 50°\). Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180°, donc :
\[\widehat{\text{BAC}} = 180° – 50° – 40° = 90°\]
Le triangle ABC est rectangle en A.
Figure 3. Le codage indique que (DE) est perpendiculaire à (DB), c’est-à-dire à la droite (AD) puisque A, B, D sont alignés. On sait aussi que (DE) est parallèle à (AC). Propriété : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (AD) est perpendiculaire à (AC), autrement dit (AB) est perpendiculaire à (AC) : le triangle ABC est rectangle en A.
Autre justification possible : les angles \(\widehat{\text{BDE}}\) et \(\widehat{\text{BAC}}\) sont alternes-internes, formés par les parallèles (DE) et (AC) et la sécante (AD) ; ils sont donc égaux, et \(\widehat{\text{BAC}} = 90°\).
Corrigé de l’exercice 2 (Est 2005) : demi-cercle, Pythagore et Thalès
1. Construction : on trace [EF] de 10 cm, on marque son milieu O et on trace au compas le demi-cercle de centre O et de rayon 5 cm. Ensuite, on pique le compas en E avec un écartement de 9 cm : l’arc coupe le demi-cercle en G.
a. Le point G est sur le cercle de diamètre [EF]. Propriété : si un point G d’un cercle est distinct des extrémités d’un diamètre [EF], alors le triangle EFG est rectangle en G. Donc le triangle EFG est rectangle en G.
b. Dans le triangle EFG rectangle en G, l’hypoténuse est [EF]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{EF}^2 = \text{EG}^2 + \text{GF}^2 \quad \text{donc} \quad \text{GF}^2 = 10^2 – 9^2 = 100 – 81 = 19\]
\(\text{GF} = \sqrt{19} \approx 4{,}359\), donc GF ≈ 4,4 cm au millimètre près.
2. Les points E, M, G sont alignés dans cet ordre, ainsi que E, P, F. Puis on calcule les deux rapports :
\[\dfrac{\text{EM}}{\text{EG}} = \dfrac{5{,}4}{9} = 0{,}6 \qquad \dfrac{\text{EP}}{\text{EF}} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\]
Ils sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (FG) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 3 : le réservoir de la fusée
1. Le diamètre est 6 m, donc le rayon vaut \(R = 3\ \text{m}\) pour le cylindre comme pour le cône.
Volume du cylindre : \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 3^2 \times 35 = 315\pi\ \text{m}^3\).
Volume du cône : \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \dfrac{36\pi}{3} = 12\pi\ \text{m}^3\).
\[V = 315\pi + 12\pi = 327\pi\ \text{m}^3\]
Valeur exacte : \(V = 327\pi\ \text{m}^3\). Comme \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3\), \(V = 327\,000\pi\ \text{dm}^3 \approx 1\,027\,300{,}8\ \text{dm}^3\), soit \(V \approx 1\,027\,301\ \text{dm}^3\) arrondi au dm³.
2. 10 minutes = \(10 \times 60 = 600\) secondes. Les moteurs consomment :
\[1\,500 \times 600 = 900\,000\ \text{litres}\]
Or \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\), donc il faut 900 000 dm³ de carburant. Le réservoir contient environ 1 027 301 dm³, ce qui est plus que 900 000 dm³ : oui, le volume est suffisant (il resterait même environ 127 301 litres).
Problème
Corrigé du problème : les deux tarifs du théâtre
1. Tarif S : on multiplie le nombre de spectacles par 8. Tarif P : on ajoute 20 € à 4 € fois le nombre de spectacles. Par exemple, pour 9 spectacles : \(8 \times 9 = 72\) et \(20 + 4 \times 9 = 56\).
| Nombre de spectacles | 4 | 9 | 15 |
|---|---|---|---|
| Dépense de M. Scapin en € | 32 | 72 | 120 |
| Dépense de M. Purgon en € | 36 | 56 | 80 |
2. Pour \(x\) spectacles : \(s(x) = 8x\) et \(p(x) = 4x + 20\).
3. Alors on isole \(x\) :
\[8x – 4x = 20 \quad \text{donc} \quad 4x = 20 \quad \text{donc} \quad x = 5\]
La solution est \(x = 5\). Elle correspond au nombre de spectacles pour lequel les deux tarifs coûtent la même somme : \(8 \times 5 = 40\) € et \(4 \times 5 + 20 = 40\) €.
4. \(s\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et par exemple par (15 ; 120). \(p\) est affine : sa droite coupe l’axe des ordonnées en 20 et passe par exemple par (15 ; 80). Avec 1 cm pour un spectacle et 1 cm pour 5 €, le point (15 ; 120) est à 15 cm à droite et 24 cm en haut : prévois une feuille en hauteur.
5. a. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (5 ; 40) : on retrouve \(x = 5\), pour une dépense de 40 € avec chacun des tarifs (tracés en rouge).
b. Ensuite, on trace la verticale d’abscisse 8 jusqu’aux deux droites (tracés en vert) : on lit environ 64 € pour le tarif S et 52 € pour le tarif P. Par le calcul, \(s(8) = 64\) et \(p(8) = 52\). Pour 8 spectacles, le tarif P est le plus avantageux.
c. Puis on trace la droite horizontale d’ordonnée 50 (tracés en violet). Elle coupe la droite du tarif S en un point d’abscisse comprise entre 6 et 7, et la droite du tarif P en un point d’abscisse comprise entre 7 et 8. Comme on assiste à un nombre entier de spectacles, M. Harpagon pourra voir 6 spectacles avec le tarif S, mais 7 avec le tarif P. Le tarif P est le plus avantageux : il pourra assister à 7 spectacles.
Par le calcul, avec le tarif P, on cherche le plus grand entier \(x\) tel que \(4x + 20 \leqslant 50\) :
\[4x \leqslant 30 \quad \text{donc} \quad x \leqslant 7{,}5\]
Le plus grand entier possible est 7 : \(p(7) = 48\) € (et 8 spectacles coûteraient 52 €, trop cher). Avec le tarif S, \(8x \leqslant 50\) donne \(x \leqslant 6{,}25\), soit seulement 6 spectacles pour 48 €. On confirme donc 7 spectacles avec le tarif P.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Est 2005
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Dans les questions sur les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Pour les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de notation scientifique, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Est 2005, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Est 2005
Faut-il lire le corrigé corrigé Est 2005 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2005. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les puissances de 10, les racines carrées, les équations et les diviseurs communs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Est 2005
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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