Corrigé du brevet de maths 2006 : Académie de Bordeaux
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : Académie de Bordeaux. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Bordeaux 2006
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Bordeaux 2006 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fraction, racines et puissances » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Moyenne des notes et pourcentage » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Losange dans un repère » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu lis la démarche complète pour « Transformations dans un hexagone » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Pythagore et Thalès » (exercice 3 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Cartouches : magasin ou internet » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Bordeaux 2006 sont les racines carrées, les puissances de 10, les équations, la moyenne et les pourcentages, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (Bordeaux 2006)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction, racines carrées et puissances de 10
1. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{15}{9} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{15}{54} = \dfrac{5}{18}\). On réduit ensuite au dénominateur commun 18 :
\[ \text{A} = \dfrac{1}{9} – \dfrac{5}{18} = \dfrac{2}{18} – \dfrac{5}{18} = -\dfrac{3}{18} = -\dfrac{1}{6} \]
Donc \(\text{A} = -\dfrac{1}{6}\), fraction irréductible car 1 et 6 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.
2. Ensuite, on fait apparaître des carrés parfaits sous les radicaux : \(48 = 16 \times 3\) et \(12 = 4 \times 3\). Comme \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) :
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \qquad 3\sqrt{12} = 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]
\[ \text{B} = 4\sqrt{3} – 6\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = (4 – 6 + 7)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
Donc \(\text{B} = 5\sqrt{3}\), avec \(a = 5\).
3. On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre. D’abord \(\left(10^{-3}\right)^4 = 10^{-12}\).
\[ \text{C} = \dfrac{3 \times 1{,}2}{0{,}2} \times \dfrac{10^{2} \times 10^{-12}}{10^{-7}} = 18 \times 10^{2 – 12 + 7} = 18 \times 10^{-3} \]
Écriture décimale : \(\text{C} = 0{,}018\). Écriture scientifique (un seul chiffre non nul avant la virgule) : \(\text{C} = 1{,}8 \times 10^{-2}\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe le carré avec l’identité remarquable \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), où \(a = 3x\) et \(b = 1\) :
\[ E = 9x^2 + 6x + 1 – 4 = 9x^2 + 6x – 3 \]
Donc \(E = 9x^2 + 6x – 3\).
2. Puis on écrit 4 sous la forme \(2^2\) : \(E = (3x + 1)^2 – 2^2\) est de la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 3x + 1\) et \(b = 2\) :
\[ E = (3x + 1 – 2)(3x + 1 + 2) = (3x – 1)(3x + 3) \]
Donc \(E = (3x – 1)(3x + 3)\). Contrôle : \((3x – 1)(3x + 3) = 9x^2 + 9x – 3x – 3 = 9x^2 + 6x – 3\), on retrouve le développement.
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[ 3x + 3 = 0 \iff 3x = -3 \iff x = -1 \]
\[ 3x – 1 = 0 \iff 3x = 1 \iff x = \dfrac{1}{3} \]
L’équation a deux solutions : \(-1\) et \(\dfrac{1}{3}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Bordeaux 2006) : notes d’une classe de troisième
1. On calcule une moyenne pondérée : chaque note est multipliée par son effectif, puis on divise la somme par l’effectif total 27.
\[ 6 \times 3 + 8 \times 5 + 10 \times 6 + 13 \times 7 + 14 \times 5 + 17 \times 1 = 18 + 40 + 60 + 91 + 70 + 17 = 296 \]
\[ \text{moyenne} = \dfrac{296}{27} \approx 10{,}96 \]
Arrondie à l’unité, la note moyenne de la classe est 11.
2. Les élèves ayant au moins 10 ont eu 10, 13, 14 ou 17 : ils sont \(6 + 7 + 5 + 1 = 19\).
\[ \dfrac{19}{27} \times 100 \approx 70{,}37 \]
Environ 70,4 % des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 10.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : un losange dans un repère
1. Tout d’abord, on place A une unité à droite et deux unités vers le haut, B deux unités à gauche et une vers le haut, C trois unités à gauche et deux vers le bas (figure ci-dessous).
2. Dans un repère orthonormé, \(\text{MN} = \sqrt{(x_N – x_M)^2 + (y_N – y_M)^2}\).
\[ \text{AB} = \sqrt{(-2 – 1)^2 + (1 – 2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]
\[ \text{BC} = \sqrt{(-3 – (-2))^2 + (-2 – 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
Donc \(\text{AB} = \text{BC} = \sqrt{10}\) cm, soit environ 3,16 cm.
3. Les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{BC}}\) sont \((x_C – x_B\ ;\ y_C – y_B)\) :
\[ \overrightarrow{\text{BC}}\,(-3 – (-2)\ ;\ -2 – 1) \]
donc \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(-1\ ;\ -3)\).
4. D est l’image de A par la translation qui transforme B en C, donc \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}\) : on part de A et on se déplace de 1 unité vers la gauche et de 3 unités vers le bas. Alors on obtient D(0 ; −1) : \(1 – 1 = 0\) et \(2 – 3 = -1\).
5. Comme \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}\), le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (propriété de la translation : ABCD avec \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}\) est un parallélogramme, éventuellement aplati ; ici A, B, C ne sont pas alignés). De plus, d’après la question 2, ses deux côtés consécutifs [AB] et [BC] ont la même longueur. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. ABCD est donc un losange.
Corrigé de l’exercice 2 (Bordeaux 2006) : transformations dans l’hexagone régulier
Aucune justification n’est demandée, mais voici comment trouver les réponses. Un hexagone régulier de centre O est découpé par ses grandes diagonales en six triangles équilatéraux.
1. Dans la symétrie de centre O, chaque sommet a pour image le sommet diamétralement opposé : C va en F, D va en A, et O reste fixe. Le symétrique de OCD est le triangle OFA.
2. La droite (EO) est la diagonale (EB) : c’est un axe de symétrie de l’hexagone. E et O sont sur l’axe donc restent fixes, et F a pour symétrique D. Le symétrique de EFO est le triangle EDO.
3. Chaque angle au centre vaut \(360° \div 6 = 60°\). En tournant de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre autour de O, chaque sommet passe au suivant dans l’ordre A → B → C → D → E → F. Donc C va en D et D va en E : l’image de OCD est le triangle ODE.
Corrigé de l’exercice 3 : Pythagore puis Thalès
1. Dans le triangle CDE, le plus grand côté est [CE]. Ensuite, on compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :
\[ \text{CE}^2 = 10{,}4^2 = 108{,}16 \qquad \text{CD}^2 + \text{DE}^2 = 9{,}6^2 + 4^2 = 92{,}16 + 16 = 108{,}16 \]
Puis on a \(\text{CE}^2 = \text{CD}^2 + \text{DE}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en D.
2. Le triangle ABC est rectangle en B, donc (AB) est perpendiculaire à (BC), c’est-à-dire à la droite (BD) puisque B, C, D sont alignés. De même (DE) est perpendiculaire à (CD), donc à (BD). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (AB) et (DE) sont parallèles.
3. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C, et (AB) est parallèle à (DE). D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{\text{CB}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{CA}}{\text{CE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{DE}} \]
Ensuite, on utilise le premier et le dernier rapport, qui contiennent des longueurs connues :
\[ \dfrac{12}{9{,}6} = \dfrac{\text{AB}}{4} \qquad \text{donc} \qquad \text{AB} = \dfrac{12 \times 4}{9{,}6} = \dfrac{48}{9{,}6} = 5 \]
AB = 5 cm. Vérification par Pythagore dans ABC : \(\text{AC}^2 = 12^2 + 5^2 = 169\), donc AC = 13 cm, et Thalès donne bien \(\text{CA} = 10{,}4 \times \dfrac{12}{9{,}6} = 13\) cm.
Corrigé du problème
Corrigé du problème : cartouches d’encre en magasin ou sur internet
1. En magasin, on paie 15 € par cartouche : \(15 \times 2 = 30\), \(15 \times 11 = 165\), \(15 \times 14 = 210\). Sur internet, on paie 10 € par cartouche plus 40 € de livraison : \(10 \times 2 + 40 = 60\), \(10 \times 11 + 40 = 150\), \(10 \times 14 + 40 = 180\).
| Nombre de cartouches achetées | 2 | 5 | 11 | 14 |
|---|---|---|---|---|
| Prix à payer en magasin en euros | 30 | 75 | 165 | 210 |
| Prix à payer par internet en euros | 60 | 90 | 150 | 180 |
2. a. Pour \(x\) cartouches à 15 € : \(P_{\text{A}} = 15x\).
b. Pour \(x\) cartouches à 10 € plus 40 € de livraison : \(P_{\text{B}} = 10x + 40\).
3. La fonction \(x \longmapsto 15x\) est linéaire : sa droite \(d\) passe par l’origine ; on utilise un deuxième point du tableau, par exemple (14 ; 210). La fonction \(x \longmapsto 10x + 40\) est affine : sa droite \(d^{\prime}\) passe par (0 ; 40) et, par exemple, par (14 ; 180). L’annexe n’étant pas fournie, le graphique ci-dessous utilise 1 cartouche en abscisse et 20 € en ordonnée par graduation.
4. a. Puis on trace la verticale d’abscisse 6. Elle coupe \(d\) à l’ordonnée 90 et \(d^{\prime}\) à l’ordonnée 100. Six cartouches coûtent 90 € en magasin et 100 € sur internet : le prix le plus avantageux est 90 €, en magasin.
b. Alors on trace l’horizontale d’ordonnée 80. Elle coupe \(d^{\prime}\) à l’abscisse 4 : avec 80 €, Sonia peut acheter exactement 4 cartouches sur internet. Elle coupe \(d\) à une abscisse comprise entre 5 et 6 (exactement \(80 \div 15 \approx 5{,}3\)) : en magasin, elle peut acheter 5 cartouches (pour 75 €). Il est plus avantageux pour Sonia d’acheter en magasin : elle obtient 5 cartouches au lieu de 4.
5. Graphiquement, la droite \(d^{\prime}\) passe sous la droite \(d\) à droite de leur point d’intersection, d’abscisse 8. Par le calcul, on résout l’inéquation \(P_{\text{B}} \leqslant P_{\text{A}}\) :
\[ 10x + 40 \leqslant 15x \iff 40 \leqslant 5x \iff x \geqslant 8 \]
Pour 8 cartouches, les deux prix sont égaux à 120 €, et au-delà internet est moins cher. Le prix sur internet est inférieur ou égal à celui du magasin à partir de 8 cartouches.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Bordeaux 2006
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. En ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de racine carrée sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Bordeaux 2006 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Bordeaux 2006
Faut-il lire le corrigé corrigé Bordeaux 2006 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2006. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les racines carrées, les puissances de 10, les équations et la moyenne. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Bordeaux 2006
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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