Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Est
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Est. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Est 2006
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Est 2006 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, racines et puissances » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système et viennoiseries » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Figure papillon : Pythagore et Thalès » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Repère : vecteurs et milieux » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Piscine : volume et vidange » (partie A). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Piscine : clôture et PGCD » (partie B).
Ainsi, le corrigé corrigé Est 2006 te fait revoir les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les équations et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé des activités numériques (Est 2006)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines carrées et puissances de 10
1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par \(\dfrac{8}{7}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{7}{8}\) :
\[\dfrac{2}{3}\div\dfrac{8}{7} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{8} = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12}\]
\[\text{A} = \dfrac{7}{3} – \dfrac{7}{12} = \dfrac{28}{12} – \dfrac{7}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}\]
7 et 4 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(\text{A} = \dfrac{7}{4}\).
2. Ensuite, on fait apparaître le plus grand carré parfait dans chaque racine : \(12 = 4\times 3\) et \(75 = 25\times 3\).
\[\sqrt{12} = \sqrt{4}\times\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \qquad \sqrt{75} = \sqrt{25}\times\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\]
\[\text{B} = 2\sqrt{3} – 7\sqrt{3} – 5\sqrt{3} = (2 – 7 – 5)\sqrt{3} = -10\sqrt{3}\]
Donc \(\text{B} = -10\sqrt{3}\) (\(a = -10\) et \(b = 3\)).
3. On regroupe les nombres d’un côté, les puissances de 10 de l’autre :
\[\text{C} = \dfrac{0{,}3\times 5}{4}\times\dfrac{10^{2}\times 10^{-3}}{10^{-4}} = 0{,}375\times 10^{2-3-(-4)} = 0{,}375\times 10^{3} = 375\]
On a donc \(\text{C} = 375\), dont l’écriture scientifique est \(\text{C} = 3{,}75\times 10^{2}\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque morceau séparément. Avec l’identité \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\[(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\]
\[(5-2x)(3x+2) = 15x + 10 – 6x^2 – 4x = -6x^2 + 11x + 10\]
Puis on retranche le deuxième produit en changeant tous ses signes :
\[E = 9x^2 + 12x + 4 + 6x^2 – 11x – 10 = 15x^2 + x – 6\]
Donc \(E = 15x^2 + x – 6\).
2. Le facteur \((3x+2)\) apparaît dans les deux termes : \((3x+2)^2 = (3x+2)(3x+2)\).
\[E = (3x+2)\left[(3x+2) – (5-2x)\right] = (3x+2)(3x + 2 – 5 + 2x) = (3x+2)(5x-3)\]
Donc \(E = (3x+2)(5x-3)\).
3. La forme factorisée est la plus rapide : pour \(x = -2\), \(3x + 2 = -4\) et \(5x – 3 = -13\).
\[E = (-4)\times(-13) = 52\]
(Contrôle avec la forme développée : \(15\times 4 – 2 – 6 = 52\).) \(E = 52\).
4. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
- \(3x + 2 = 0\) donne \(x = -\dfrac{2}{3}\) ;
- \(5x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{5}\).
Les solutions sont \(-\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{5}\). \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\) est un nombre décimal. En revanche \(-\dfrac{2}{3} = -0{,}666\ldots\) n’est pas décimal : la division de 2 par 3 ne s’arrête jamais. Une seule des deux solutions est décimale.
Corrigé de l’exercice 3 (Est 2006) : système d’équations et viennoiseries
1. Tout d’abord, on remplace \(x\) par 2 et \(y\) par 0,5 dans chaque équation :
- \(2\times 2 + 3\times 0{,}5 = 4 + 1{,}5 = 5{,}5\) : la première équation est vérifiée ;
- \(3\times 2 + 0{,}5 = 6{,}5\), qui n’est pas égal à 1,05 : la deuxième ne l’est pas.
Un couple solution doit vérifier les deux équations à la fois : \((2\ ;\ 0{,}5)\) n’est pas solution du système.
2. Méthode par substitution. La deuxième équation donne \(y = 1{,}05 – 3x\). On remplace dans la première :
\[2x + 3(1{,}05 – 3x) = 5{,}5 \quad\text{soit}\quad 2x + 3{,}15 – 9x = 5{,}5 \quad\text{soit}\quad -7x = 2{,}35\]
D’où \(x = -\dfrac{2{,}35}{7} = -\dfrac{47}{140}\), puis \(y = 1{,}05 + \dfrac{141}{140} = \dfrac{147}{140} + \dfrac{141}{140} = \dfrac{288}{140} = \dfrac{72}{35}\).
Le système tel qu’il est imprimé a pour solution \(\left(-\dfrac{47}{140}\ ;\ \dfrac{72}{35}\right)\). Ces valeurs peu naturelles, et la question 3 où Béatrice paie 4,05 €, montrent que le second membre de la deuxième équation devait être 4,05 : c’est une coquille de l’énoncé. Avec \(3x + y = 4{,}05\), on trouve \(y = 4{,}05 – 3x\), puis \(2x + 12{,}15 – 9x = 5{,}5\), soit \(-7x = -6{,}65\) et \(x = 0{,}95\), puis \(y = 4{,}05 – 2{,}85 = 1{,}2\) : le couple \((0{,}95\ ;\ 1{,}2)\).
3. Alors on note \(x\) le prix d’un croissant et \(y\) le prix d’un pain au chocolat, en euros. Les achats d’Anatole et de Béatrice se traduisent par :
\[\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 5{,}5 \\ 3x + y = 4{,}05 \end{array}\right.\]
C’est le système corrigé résolu ci-dessus : \(x = 0{,}95\) et \(y = 1{,}2\). Vérification : \(2\times 0{,}95 + 3\times 1{,}20 = 1{,}90 + 3{,}60 = 5{,}50\) et \(3\times 0{,}95 + 1{,}20 = 2{,}85 + 1{,}20 = 4{,}05\). Un croissant coûte 0,95 € et un pain au chocolat 1,20 €.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : la figure en papillon
1. Dans le triangle PBM, le plus grand côté est [PB], de longueur 13,6 cm.
\[PB^2 = 13{,}6^2 = 184{,}96\]
\[PM^2 + MB^2 = 12^2 + 6{,}4^2 = 144 + 40{,}96 = 184{,}96\]
Comme \(PB^2 = PM^2 + MB^2\), la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure : le triangle PBM est rectangle en M.
2. Dans le triangle PBM rectangle en M, l’hypoténuse est [PB] et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{MBP}}\) est [MB] :
\[\cos\widehat{\text{MBP}} = \dfrac{MB}{PB} = \dfrac{6{,}4}{13{,}6} \approx 0{,}4706\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{MBP}} \approx 61{,}9^\circ\), donc \(\widehat{\text{MBP}} \approx 62^\circ\) au degré près.
3. Les droites (NM) et (SB) se coupent en P, et les droites (NS) et (MB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{PN}{PM} = \dfrac{PS}{PB} = \dfrac{NS}{MB} \quad\text{donc}\quad \dfrac{9}{12} = \dfrac{NS}{6{,}4}\]
\[NS = \dfrac{9\times 6{,}4}{12} = \dfrac{57{,}6}{12} = 4{,}8\]
NS = 4,8 cm.
4. Ensuite, on compare les rapports :
\[\dfrac{PE}{PB} = \dfrac{3{,}4}{13{,}6} = 0{,}25 \qquad \dfrac{PC}{PM} = \dfrac{3}{12} = 0{,}25\]
Les deux rapports sont égaux, et les points P, E, B d’une part et P, C, M d’autre part sont alignés dans le même ordre (E est sur [PB], C est sur [PM]). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CE) et (MB) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 (Est 2006) : vecteurs et milieux dans un repère
1. Pour commencer, on place les points dans le repère (figure ci-dessous, avec les points construits aux questions suivantes).
![Repère orthonormé avec A(-2 ; 1), B(3 ; 2), C(-3 ; -2), E(2 ; -1), F(-1 ; 4) et G(7 ; 0) ; le parallélogramme ABEC en bleu, le triangle FCG en vert et le segment [CG] en pointillés rouges](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2006-france-groupement-est/gen-repere-abec.webp)
2. a. Pour aller de A à B, on se déplace de 5 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut. On applique le même déplacement à partir de C : E est à 5 unités à droite et 1 unité au-dessus de C. L’égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}\) signifie que ABEC est un parallélogramme (attention à l’ordre des lettres : A, B, E, C).
b. Puis on lit E(2 ; −1). (Par le calcul : \(x_E = -3 + 5 = 2\) et \(y_E = -2 + 1 = -1\).)
3. Dans un repère orthonormé :
\[AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \sqrt{(3+2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\]
\(AB = \sqrt{26}\) cm (environ 5,1 cm).
4. F est le symétrique de C par rapport à A si et seulement si A est le milieu de [CF]. Coordonnées du milieu de [CF] :
\[\left(\dfrac{-3 + (-1)}{2}\ ;\ \dfrac{-2 + 4}{2}\right) = (-2\ ;\ 1)\]
Ce sont les coordonnées de A. A est le milieu de [CF], donc F est le symétrique de C par rapport à A.
5. Coordonnées du milieu de [FG] :
\[\left(\dfrac{-1 + 7}{2}\ ;\ \dfrac{4 + 0}{2}\right) = (3\ ;\ 2)\]
Ce sont les coordonnées de B : B est le milieu de [FG].
Dans le triangle FCG, A est le milieu de [FC] (question 4) et B est le milieu de [FG]. D’après le théorème des milieux, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté : \(AB = \dfrac{CG}{2}\). Donc \(CG = 2\times AB\), soit \(CG = 2\sqrt{26}\) cm (environ 10,2 cm).
Corrigé du problème
Corrigé de la partie A : volume et vidange de la piscine
1. La base ABCD est un trapèze rectangle dont les bases (côtés parallèles) sont [AD] et [BC], et dont la hauteur est AB = 14 m :
\[\text{aire}(ABCD) = \dfrac{(AD + BC)\times AB}{2} = \dfrac{(1{,}80 + 0{,}80)\times 14}{2} = \dfrac{2{,}6\times 14}{2} = 18{,}2\ \text{m}^2\]
La hauteur du prisme est AE = 5 m :
\[V = 18{,}2\times 5 = 91\ \text{m}^3\]
Le volume de la piscine est bien 91 m³.
2. a. En 5 heures, la pompe retire \(5\times 5 = 25\) m³. Il reste \(91 – 25 = 66\) m³, soit 66 m³.
b. \(f\) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Deux points suffisent, par exemple \(f(0) = 91\) et \(f(10) = 91 – 50 = 41\), et un troisième pour contrôler : \(f(18) = 1\). Avec les unités demandées (1 cm pour 1 heure en abscisse, 1 cm pour 5 m³ en ordonnée), on trace la droite passant par (0 ; 91) et (10 ; 41), jusqu’à l’axe des abscisses.
c. On part de 56 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la droite puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit 7 heures. (Vérification : \(f(7) = 91 – 35 = 56\).)
d. La piscine est vide quand \(f(x) = 0\) : c’est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. Ensuite, on lit environ 18 heures (un peu plus de 18).
e. Puis on résout \(f(x) = 0\) :
\[91 – 5x = 0 \quad\text{donc}\quad 5x = 91 \quad\text{donc}\quad x = \dfrac{91}{5} = 18{,}2\]
Il faut 18,2 heures. Or \(0{,}2\ \text{h} = 0{,}2\times 60\ \text{min} = 12\ \text{min}\). La vidange complète dure 18 h 12 min.
Corrigé de la partie B : la clôture et le PGCD
1. Vue de dessus, la piscine est le rectangle ABFE avec AB = 14 m et AE = 5 m. La clôture est à 1,25 m de chaque côté, donc on ajoute deux fois 1,25 m à chaque dimension :
\[IJ = 5 + 2\times 1{,}25 = 7{,}5\ \text{m} = 750\ \text{cm}\]
\[JK = 14 + 2\times 1{,}25 = 16{,}5\ \text{m} = 1\,650\ \text{cm}\]
IJ = 750 cm et JK = 1 650 cm.
2. Chaque côté de la clôture doit être recouvert exactement par un nombre entier de panneaux de longueur \(a\). Il faut donc que \(a\) divise 750 (pour les côtés [IJ] et [KL]) et que \(a\) divise 1 650 (pour les côtés [JK] et [LI]) : \(a\) est un diviseur commun de 750 et 1 650. Comme on veut \(a\) le plus grand possible, \(a\) est le plus grand diviseur commun, le PGCD de 750 et 1 650.
3. Algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives) :
- \(1\,650 = 2\times 750 + 150\)
- \(750 = 5\times 150 + 0\)
Le PGCD est le dernier reste non nul : \(a = 150\) cm, soit 1,50 m.
4. Il faut \(750 \div 150 = 5\) panneaux sur chaque petit côté et \(1\,650 \div 150 = 11\) panneaux sur chaque grand côté. En tout :
\[2\times 5 + 2\times 11 = 10 + 22 = 32\]
(On retrouve ce nombre en divisant le périmètre \(2\times(750 + 1\,650) = 4\,800\) cm par 150.) Il faut 32 panneaux.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Est 2006
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Est 2006, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Est 2006
Faut-il lire le corrigé corrigé Est 2006 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2006. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Est 2006
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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