Corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Lyon)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Lyon). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé étrangers Lyon
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers Lyon suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, puissances et PGCD » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Temps de travail scolaire » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Vecteurs et rotation dans un repère » (exercice 1 de géométrie). Puis en outre, le corrigé explique « Étagères d’un chalet » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Pyramide coupée » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Deux abonnements internet » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers Lyon sont les fractions, les puissances de 10, les diviseurs communs, le calcul littéral et les équations, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (étrangers Lyon)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction, puissances de 10 et PGCD
1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[ \dfrac{14}{3} \div \dfrac{35}{12} = \dfrac{14}{3} \times \dfrac{12}{35} = \dfrac{14 \times 12}{3 \times 35} = \dfrac{2 \times 7 \times 3 \times 4}{3 \times 5 \times 7} = \dfrac{8}{5} \]
\[ \text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{24}{15} = \dfrac{29}{15} \]
29 est premier et ne divise pas 15, donc \(\text{A} = \dfrac{29}{15}\) est irréductible.
2. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10, avec \(\left(10^2\right)^3 = 10^6\) :
\[ \text{B} = \dfrac{81 \times 14}{7} \times \dfrac{10^{-5} \times 10^{6}}{10^{4}} = 162 \times 10^{-5 + 6 – 4} = 162 \times 10^{-3} \]
Écriture scientifique : \(\text{B} = 1{,}62 \times 10^{-1}\). Écriture décimale : \(\text{B} = 0{,}162\).
3. Algorithme d’Euclide (divisions successives) :
\[ 462 = 65 \times 7 + 7 \qquad 65 = 7 \times 9 + 2 \qquad 7 = 2 \times 3 + 1 \qquad 2 = 1 \times 2 + 0 \]
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(462 ; 65) = 1. Autre vérification : \(65 = 5 \times 13\) et \(462 = 2 \times 3 \times 7 \times 11\) n’ont aucun facteur premier commun. De plus, les nombres 462 et 65 sont premiers entre eux, donc la fraction \(\text{C} = \dfrac{462}{65}\) est irréductible.
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. a. On développe le carré avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), puis le produit par double distributivité :
\[ (2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9 \qquad (2x – 3)(5x + 1) = 10x^2 + 2x – 15x – 3 = 10x^2 – 13x – 3 \]
\[ D = 4x^2 – 12x + 9 + 10x^2 – 13x – 3 = 14x^2 – 25x + 6 \]
Donc \(D = 14x^2 – 25x + 6\).
b. Le facteur \((2x – 3)\) apparaît dans les deux termes : \(D = (2x – 3)(2x – 3) + (2x – 3)(5x + 1)\). Ensuite, on le met en facteur :
\[ D = (2x – 3)\left[(2x – 3) + (5x + 1)\right] = (2x – 3)(7x – 2) \]
Donc \(D = (2x – 3)(7x – 2)\).
2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ 2x – 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2} \qquad 7x – 2 = 0 \iff x = \dfrac{2}{7} \]
Les solutions sont \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{2}{7}\).
3. \(E\) est la forme développée de \(D\). Par ailleurs, pour \(x = \sqrt{45}\), on a \(x^2 = 45\) et \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\) :
\[ E = 14 \times 45 – 25 \times 3\sqrt{5} + 6 = 630 – 75\sqrt{5} + 6 = 636 – 75\sqrt{5} \]
Donc \(E = 636 – 75\sqrt{5}\), avec \(a = 636\) et \(b = -75\).
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers Lyon) : temps de travail scolaire
1. L’effectif manquant s’obtient par différence avec le total : \(671 – 106 – 235 – 144 = 186\). Puis le centre d’une classe est la moyenne de ses bornes, par exemple \(\dfrac{30 + 60}{2} = 45\). Ensuite, la fréquence en pourcentage est \(\dfrac{\text{effectif}}{671} \times 100\) : \(\dfrac{186}{671} \times 100 \approx 27{,}7\), \(\dfrac{235}{671} \times 100 \approx 35{,}0\), \(\dfrac{144}{671} \times 100 \approx 21{,}5\).
| Durée du travail (\(d\) en minutes) | Centre de classe en minutes | Effectif | Fréquence en pourcentage |
|---|---|---|---|
| \(0 \leqslant d \lt 30\) | 15 | 106 | 16 |
| \(30 \leqslant d \lt 60\) | 45 | 186 | 28 |
| \(60 \leqslant d \lt 90\) | 75 | 235 | 35 |
| \(90 \leqslant d \lt 120\) | 105 | 144 | 21 |
| Total | 671 | 100 |
La troisième classe est bien \(60 \leqslant d \lt 90\) (le « 6 » de l’énoncé est une faute de frappe). Puis les fréquences arrondies ont bien pour somme \(16 + 28 + 35 + 21 = 100\).
2. Puis on remplace chaque élève par le centre de sa classe et on calcule la moyenne pondérée :
\[ \dfrac{15 \times 106 + 45 \times 186 + 75 \times 235 + 105 \times 144}{671} = \dfrac{1\,590 + 8\,370 + 17\,625 + 15\,120}{671} = \dfrac{42\,705}{671} \approx 63{,}6 \]
La durée moyenne de travail scolaire est d’environ 64 minutes par jour.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : somme de vecteurs et rotation
1. Les points A(−3 ; 2), B(2 ; 5) et C(4 ; −1) sont placés sur la figure ci-dessous.
2. Par la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) signifie que ABDC est un parallélogramme : on trace la parallèle à (AC) passant par B et la parallèle à (AB) passant par C ; D est leur point d’intersection. De plus, en coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\,(5\ ;\ 3)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(7\ ;\ -3)\), donc \(\overrightarrow{AD}\,(12\ ;\ 0)\) et D(9 ; 2).
3. Construction de E :
- trace le segment [OB] ;
- avec le rapporteur centré en O, construis la demi-droite issue de O qui fait un angle de 60° avec [OB], en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre (vers la droite, donc vers l’axe des abscisses) ;
- avec le compas, reporte la longueur OB sur cette demi-droite à partir de O : le point obtenu est E, puisque OE = OB et \(\widehat{BOE} = 60°\).
Le point E se trouve environ en (5,3 ; 0,8) ; ses coordonnées exactes, hors programme du collège, sont \(\left(1 + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{5}{2} – \sqrt{3}\right)\).
Corrigé de l’exercice 2 (étrangers Lyon) : les étagères du chalet
1. Le plus grand côté du triangle ABC est [AC]. Alors on calcule séparément :
\[ \text{AC}^2 = 3^2 = 9 \qquad \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 1{,}8^2 + 2{,}4^2 = 3{,}24 + 5{,}76 = 9 \]
Ensuite, on a \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. Dans le triangle ABC rectangle en B, par rapport à l’angle \(\widehat{ACB}\), [AB] est le côté opposé et [BC] le côté adjacent :
\[ \tan \widehat{ACB} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{1{,}8}{2{,}4} = 0{,}75 \]
À la calculatrice, \(\widehat{ACB} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87°\), donc \(\widehat{ACB} \approx 36{,}9°\). (On peut aussi utiliser \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{2{,}4}{3} = 0{,}8\), qui donne la même valeur.)
3. D est sur [AB] et E sur [AC]. Puis on a AD = AB − BD = 1,80 − 0,60 = 1,20 m. Ensuite, les droites (ED) et (CB) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :
\[ \dfrac{\text{AD}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{CB}} \qquad \text{donc} \qquad \dfrac{1{,}2}{1{,}8} = \dfrac{\text{ED}}{2{,}4} \]
\[ \text{ED} = \dfrac{2{,}4 \times 1{,}2}{1{,}8} = 1{,}6 \]
L’étagère [ED] mesure 1,60 m.
4. Les points A, F, B d’une part et A, G, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on compare :
\[ \dfrac{\text{AF}}{\text{AB}} = \dfrac{0{,}72}{1{,}80} = 0{,}4 \qquad \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}} = \dfrac{1{,}20}{3} = 0{,}4 \]
Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GF) et (CB) sont parallèles : oui, la deuxième étagère est parallèle au plancher.
Corrigé de l’exercice 3 : pyramide et section parallèle à la base
Remarque : sur la figure, le sommet de la pyramide est noté E par erreur ; il s’agit du point B, extrémité de l’arête [BF] de 6 cm.
1. a. Le triangle EFG est rectangle en F. D’après le théorème de Pythagore :
\[ \text{EG}^2 = \text{EF}^2 + \text{FG}^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \]
\[ \text{EG} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \]
Valeur exacte \(\text{EG} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm, valeur arrondie au millimètre 7,1 cm.
b. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur :
\[ \mathcal{A}_{\text{EFG}} = \dfrac{\text{EF} \times \text{FG}}{2} = \dfrac{5 \times 5}{2} = 12{,}5\ \text{cm}^2 \]
L’aire du triangle EFG est 12,5 cm².
c. L’arête [BF] est perpendiculaire à (EF) et à (FG) (triangles EFB et BFG rectangles en F), donc à la base EFG : c’est la hauteur de la pyramide. Par ailleurs, le volume d’une pyramide vaut \(\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\) :
\[ V = \dfrac{12{,}5 \times 6}{3} = \dfrac{75}{3} = 25\ \text{cm}^3 \]
Le volume de BEFG est bien 25 cm³.
2. a. La petite pyramide BLMN a pour hauteur BM = 2 cm et la grande a pour hauteur BF = 6 cm. Puis le rapport de réduction est
\[ k = \dfrac{\text{BM}}{\text{BF}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \]
Le rapport de réduction est \(\dfrac{1}{3}\).
b. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[ V^{\prime} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times 25 = \dfrac{25}{27}\ \text{cm}^3 \approx 0{,}925\,926\ \text{cm}^3 \]
Comme 1 cm³ = 1 000 mm³, \(V^{\prime} \approx 925{,}926\) mm³. Ensuite, le volume de BLMN vaut \(\dfrac{25}{27}\) cm³, soit environ 926 mm³.
Corrigé du problème
Corrigé du problème : choisir un abonnement internet
1. 15 heures font \(15 \times 60 = 900\) minutes. Chez Net-ln, le forfait ne dépend pas du temps : 47,50 €. Chez Skysurf : \(19 + 0{,}05 \times 900 = 19 + 45 = 64\), soit 64 €.
2. a. Chez Skysurf, on paie 19 € plus 0,05 € par minute : \(S(x) = 19 + 0{,}05x\).
b. Puis on isole \(x\) :
\[ 47{,}5 = 19 + 0{,}05x \iff 28{,}5 = 0{,}05x \iff x = \dfrac{28{,}5}{0{,}05} = 570 \]
La solution est \(x = 570\).
c. Les deux prix sont égaux quand \(N(x) = S(x)\), c’est-à-dire \(47{,}5 = 19 + 0{,}05x\) : d’après la question b, pour 570 minutes (9 h 30 min) de connexion. Vérification : \(19 + 0{,}05 \times 570 = 19 + 28{,}5 = 47{,}5\).
3. a. \(S(120) = 19 + 6 = 25\), \(S(420) = 19 + 21 = 40\), \(S(660) = 19 + 33 = 52\).
| Temps de connexion (en minutes) | 120 | 420 | 660 |
|---|---|---|---|
| Prix payé (en euros) chez Skysurf | 25 | 40 | 52 |
b. \(S\) est une fonction affine : sa représentation est une droite \((d_2)\). Puis on place les trois points (120 ; 25), (420 ; 40) et (660 ; 52) (deux carreaux pour 60 minutes, deux carreaux pour 5 €) et on trace la droite qui les relie ; elle coupe l’axe des ordonnées en 19.
c. La solution de \(47{,}5 = 19 + 0{,}05x\) est l’abscisse du point d’intersection des droites \((d_1)\) et \((d_2)\). De plus, on trace un pointillé vertical depuis ce point jusqu’à l’axe des abscisses : on lit 570 minutes, le temps pour lequel les deux abonnements coûtent 47,50 €.
d. Entre 0 et 300 minutes, la droite \((d_2)\) est sous \((d_1)\) (au plus 34 € contre 47,50 €) : Skysurf est plus intéressant. Au-delà de 700 minutes, \((d_2)\) est au-dessus de \((d_1)\) (plus de 54 € contre 47,50 €) : Net-ln est plus intéressant.
Corrigé du problème : choisir un abonnement internet (suite)
4. Pour 510 minutes par mois :
- Net-ln : 47,50 € ;
- Skysurf : \(19 + 0{,}05 \times 510 = 19 + 25{,}5 = 44{,}50\) € ;
- Promo-Net : \(0{,}10 \times 510 = 51\) €.
Le coût minimum est proposé par Skysurf, avec 44,50 € par mois. C’est cohérent avec le graphique : 510 minutes est inférieur à 570 minutes, donc Skysurf est moins cher que Net-ln.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Lyon).
Méthode pour exploiter le corrigé corrigé étrangers Lyon
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Ensuite, dans les questions sur les diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers Lyon parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers Lyon
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers Lyon en entier ?
Non, pas forcément. Par ailleurs, en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les diviseurs communs et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Puis en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers Lyon
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2004
- Corrigé du brevet de maths 2004 : Académies d’Aix-Marseille et de Corse
- Corrigé du brevet de maths 2004 : Académie d’Amiens
- De même, corrigé du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux
- Corrigé du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux, septembre
- Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Est
- De même, corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Est, septembre
- Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord
- Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2004 : Amérique du Nord
- Corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux)
- Corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Nice)
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Lyon)» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
