Corrigé du brevet de maths 2004 : Académies d’Aix-Marseille et de Corse
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Académies d’Aix-Marseille et de Corse. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Corse 2004
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Corse 2004 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fractions et racines carrées » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « Développer et factoriser » (exercice 1). Puis la correction reprend « Statistiques : âge des skieurs » (exercice 2). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Pavé droit » (exercice 3). Ensuite, en outre, tu trouves la solution rédigée de « Thalès, Pythagore et cosinus » (activités géométriques).
Ensuite, le corrigé explique « Rotation et translation » (exercice 1 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Aires et fonctions » (exercice 2 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Corse 2004 te fait revoir les racines carrées, les équations, la moyenne, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Corse 2004)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et racines carrées
1. Les deux premières fractions ont déjà le même dénominateur : \(\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7}=-\dfrac{12}{7}\). Par ailleurs, pour ajouter \(\dfrac{5}{24}\), on prend le dénominateur commun \(7\times24=168\) (7 et 24 n’ont aucun diviseur commun autre que 1) :
\[\text{A}=-\dfrac{12\times24}{7\times24}+\dfrac{5\times7}{24\times7}=-\dfrac{288}{168}+\dfrac{35}{168}=-\dfrac{253}{168}\]
Comme \(253=11\times23\) et \(168=2^3\times3\times7\) n’ont aucun facteur premier commun, la fraction est irréductible : \(\text{A}=-\dfrac{253}{168}\).
2. a. Ensuite, on fait apparaître \(\sqrt{3}\) en cherchant le plus grand carré parfait dans chaque radicande : \(300=100\times3\) et \(27=9\times3\).
\[\text{B}=\sqrt{100}\times\sqrt{3}-4\times\sqrt{9}\times\sqrt{3}+6\sqrt{3}=10\sqrt{3}-12\sqrt{3}+6\sqrt{3}\]
Donc \(\text{B}=4\sqrt{3}\), avec \(b=4\).
2. b. Puis on applique \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\[\text{C}=5^2+2\times5\times\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=25+10\sqrt{3}+3\]
Donc \(\text{C}=28+10\sqrt{3}\), avec \(e=28\) et \(f=10\).
2. c. Alors on applique \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) :
\[\text{D}=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=2-5=-3\]
D = −3 est bien un nombre entier.
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque produit, en faisant attention au signe moins devant le 5 :
\[E=2x^2+4x-3x-6-10x+15\]
On regroupe les termes de même nature : \(E=2x^2-9x+9\).
2. Le facteur \((2x-3)\) apparaît dans les deux termes. Ensuite, on le met en facteur :
\[E=(2x-3)\left[(x+2)-5\right]=(2x-3)(x-3)\]
Donc \(E=(2x-3)(x-3)\). Contrôle : en développant, \(2x^2-6x-3x+9=2x^2-9x+9\).
3. La forme factorisée est la plus pratique : \(E=(2\times(-2)-3)(-2-3)=(-7)\times(-5)=35\). Avec la forme développée : \(2\times4+18+9=35\). Donc \(E=35\) pour \(x=-2\).
4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[2x-3=0\quad\text{ou}\quad x-3=0\]
\[x=\dfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=3\]
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{3}{2}\) (soit 1,5) et 3.
Corrigé de l’exercice 3 (Corse 2004) : l’âge des skieurs
1. Le centre d’une classe \([a\ ;\ b[\) est la moyenne de ses bornes : \(\dfrac{a+b}{2}\). Par exemple, pour \([10\ ;\ 20[\) : \(\dfrac{10+20}{2}=15\).
| Âge | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Centre de classe | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| Effectifs | 27 | 45 | 48 | 39 | 42 |
| Âge | [50 ; 60[ | [60 ; 70[ | [70 ; 80[ | [80 ; 90[ |
|---|---|---|---|---|
| Centre de classe | 55 | 65 | 75 | 85 |
| Effectifs | 36 | 33 | 24 | 6 |
2. On remplace chaque âge d’une classe par le centre de la classe, puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Puis on vérifie d’abord que l’effectif total vaut bien \(27+45+48+39+42+36+33+24+6=300\).
Somme des produits centre × effectif : \(5\times27+15\times45+25\times48+35\times39+45\times42+55\times36+65\times33+75\times24+85\times6\)
\(=135+675+1\,200+1\,365+1\,890+1\,980+2\,145+1\,800+510=11\,700\).
\[\text{moyenne}=\dfrac{11\,700}{300}=39\]
L’âge moyen des skieurs est d’environ 39 ans (c’est une estimation, puisqu’on a utilisé les centres de classes).
3. Les skieurs de moins de 20 ans sont ceux des classes \([0\ ;\ 10[\) et \([10\ ;\ 20[\) : \(27+45=72\) skieurs.
\[f=\dfrac{72}{300}=0{,}24=\dfrac{24}{100}\]
La fréquence est de 24 %.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : objets du pavé droit
Toutes les faces d’un pavé droit sont des rectangles, et chaque arête verticale est perpendiculaire aux faces du dessus et du dessous.
| OBJET | NATURE DE L’OBJET |
|---|---|
| Triangle ABC | triangle rectangle en B |
| Angle \(\widehat{\text{ABF}}\) | angle droit |
| Quadrilatère ABFE | rectangle |
| Angle \(\widehat{\text{ACG}}\) | angle droit |
| Quadrilatère ACGE | rectangle |
Explications (non demandées, mais utiles pour comprendre) :
• ABC est la moitié de la face rectangulaire ABCD, coupée par la diagonale [AC] : l’angle en B est droit, donc ABC est rectangle en B.
Après cela, • ABFE est une face du pavé : c’est un rectangle, donc \(\widehat{\text{ABF}}\) est un angle droit.
• L’arête [CG] est perpendiculaire à la face ABCD, donc à toutes les droites de cette face passant par C, en particulier à (AC) : \(\widehat{\text{ACG}}\) est un angle droit.
Après cela, • ACGE est une « coupe » du pavé : [AE] et [CG] sont parallèles et de même longueur, et l’angle en C est droit, donc ACGE est un rectangle. Attention, sur la perspective il ne semble pas rectangle : les angles droits ne sont pas toujours dessinés droits en perspective cavalière.
Corrigé de l’exercice 2 (Corse 2004) : Thalès, Pythagore et cosinus
1. Les points C, A, E sont alignés dans cet ordre, ainsi que C, B, D. Puis on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CE}}=\dfrac{8}{20}=0{,}4\qquad\dfrac{\text{CB}}{\text{CD}}=\dfrac{6}{15}=0{,}4\]
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
2. Le plus long côté du triangle CDE est [DE]. Ensuite, on calcule séparément :
\[\text{DE}^2=25^2=625\qquad\text{CD}^2+\text{CE}^2=15^2+20^2=225+400=625\]
Puis on a \(\text{DE}^2=\text{CD}^2+\text{CE}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C.
3. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles, A est sur [CE] et B sur [CD]. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CE}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{CD}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{DE}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{\text{AB}}{25}=0{,}4\]
\(\text{AB}=0{,}4\times25=10\). Donc AB = 10 cm.
4. Le triangle CDE est rectangle en C. Ensuite, pour l’angle \(\widehat{\text{CDE}}\), le côté adjacent est [DC] et l’hypoténuse est [DE] :
\[\cos\widehat{\text{CDE}}=\dfrac{\text{DC}}{\text{DE}}=\dfrac{15}{25}=0{,}6\quad\text{donc}\quad\widehat{\text{CDE}}\approx53{,}13^\circ\]
Arrondi au degré : \(\widehat{\text{CDE}}\approx53^\circ\). (On trouve la même valeur avec \(\tan\widehat{\text{CDE}}=\dfrac{\text{CE}}{\text{CD}}=\dfrac{20}{15}\).)
Corrigé de l’exercice 3 : rotation et translation
1. La flèche tourne dans le sens des aiguilles d’une montre : la rotation de centre P et d’angle 90° se fait dans le sens horaire.
• P est le centre de la rotation, il est sa propre image : \(\text{P}_1=\text{P}\).
Ensuite, • Pour placer l’image \(\text{M}_1\) de M : on trace la demi-droite issue de P qui fait un angle de 90° avec [PM] en tournant dans le sens horaire (à partir de M, situé à gauche de P, on arrive au-dessus de P), et on reporte \(\text{PM}_1=\text{PM}\) au compas. \(\text{M}_1\) est donc à la verticale de P, au-dessus, à la distance PM.
• L’angle droit en M est conservé : \(\text{N}_1\) est sur la perpendiculaire à \((\text{PM}_1)\) en \(\text{M}_1\), à droite, avec \(\text{M}_1\text{N}_1=\text{MN}\).
Le triangle \(\text{F}_1=\text{PM}_1\text{N}_1\) a les mêmes dimensions que MNP (une rotation conserve les longueurs et les angles).
2. La translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{PM}}\) fait glisser chaque point dans la direction de P vers M, sur la longueur PM. Donc :
• l’image de P est M : \(\text{P}_2=\text{M}\) ;
De même, • \(\text{M}_2\) est tel que \(\overrightarrow{\text{MM}_2}=\overrightarrow{\text{PM}}\) : on reporte la longueur PM à gauche de M, sur la droite (PM) ;
• \(\text{N}_2\) est tel que \(\overrightarrow{\text{NN}_2}=\overrightarrow{\text{PM}}\) : il est à la même hauteur que N, décalé de PM vers la gauche.
Problème
Corrigé du problème : aires et fonctions
1. L’aire d’un rectangle est longueur × largeur : \(\mathcal{A}_{\text{ABCD}}=4x\) (en cm²).
2. Le quadrilatère EFGH (un trapèze rectangle) se découpe en un rectangle de \(x\) cm sur 2 cm et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 2 cm :
\[\mathcal{A}_{\text{EFGH}}=2x+\dfrac{3\times2}{2}=2x+3\]
Donc \(\mathcal{A}_{\text{EFGH}}=2x+3\) (en cm²). Alors on retrouve ce résultat avec la formule du trapèze : \(\dfrac{(x+x+3)\times2}{2}=2x+3\).
3. Justifications des tracés :
• \(f(x)=4x\) est une fonction linéaire : sa représentation (d) est une droite qui passe par l’origine O. Puis il suffit d’un second point : \(f(4)=16\), donc (d) passe par \((4\ ;\ 16)\).
• \(g(x)=2x+3\) est une fonction affine : sa représentation (d′) est une droite. De plus, on calcule deux points : \(g(0)=3\) et \(g(6)=15\), donc (d′) passe par \((0\ ;\ 3)\) et \((6\ ;\ 15)\).
4. a. Pour \(x=3\) : \(\mathcal{A}_{\text{ABCD}}=4\times3=\) 12 cm².
4. b. On part de l’abscisse 3, on monte verticalement jusqu’à la droite (d), puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées : on lit 12 (pointillés bleus).
5. a. On résout \(2x+3=15\) : \(2x=15-3=12\), donc \(x=\dfrac{12}{2}=\) 6 cm.
5. b. De même, on part de l’ordonnée 15, on va horizontalement jusqu’à la droite (d′), puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit 6 (pointillés rouges).
6. a. Les solutions de \(4x=2x+3\) sont les abscisses des points communs aux droites (d) et (d′). Ensuite, les deux droites se coupent au point de coordonnées \((1{,}5\ ;\ 6)\) : graphiquement, la solution est \(x=1{,}5\).
Corrigé du problème : aires et fonctions (suite)
6. b. \(4x=2x+3\) donne \(4x-2x=3\), soit \(2x=3\), donc \(x=\dfrac{3}{2}=\) 1,5. Par ailleurs, on retrouve la lecture graphique.
6. c. Pour \(x=1{,}5\) cm, les deux figures ont la même aire : \(4\times1{,}5=6\) et \(2\times1{,}5+3=6\). Le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ont alors la même aire, 6 cm². Puis pour \(x\) plus petit que 1,5, c’est EFGH qui a la plus grande aire ; pour \(x\) plus grand, c’est ABCD.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Corse 2004
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Ensuite, dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Puis pour la moyenne, pense aux coefficients lorsqu’ils existent, car une moyenne pondérée diffère de la moyenne simple. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de racine carrée, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Corse 2004, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Corse 2004
Faut-il lire le corrigé corrigé Corse 2004 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2004. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les racines carrées, les équations, la moyenne et le théorème de Thalès. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Corse 2004
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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