Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2004
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2004 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fraction et racines carrées » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Atlas et dictionnaires » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Notes d’un contrôle » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Triangle inscrit dans un cercle » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, la correction reprend « Cône de révolution » (activités géométriques). Puis tu lis la démarche complète pour « Table à repasser » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Triangle isocèle dans un repère » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Translation et losange » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2004 sont les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées, les équations et les systèmes d’équations, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Nord 2004)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction et racines carrées
1. La multiplication est prioritaire. Ensuite, on simplifie avant de multiplier : \(21 = 7 \times 3\).
\[A = \dfrac{2}{3} – \dfrac{7 \times 8}{3 \times 7 \times 3} = \dfrac{2}{3} – \dfrac{8}{9} = \dfrac{6}{9} – \dfrac{8}{9} = -\dfrac{2}{9}\]
2 et 9 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(A = -\dfrac{2}{9}\).
2. On fait apparaître des carrés parfaits : \(50 = 25 \times 2\) et \(18 = 9 \times 2\), donc \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) et \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
\[B = 5\sqrt{2} – 2 \times 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} – 6\sqrt{2} = -\sqrt{2}\]
Donc \(B = -1\sqrt{2} = -\sqrt{2}\), avec \(a = -1\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque morceau :
\[(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\]
\[(2x+3)(5x-7) = 10x^2 – 14x + 15x – 21 = 10x^2 + x – 21\]
\[A = 4x^2 + 12x + 9 + 10x^2 + x – 21 = 14x^2 + 13x – 12\]
Donc \(A = 14x^2 + 13x – 12\).
2. Le facteur commun est \((2x+3)\) :
\[A = (2x+3)\big[(2x+3) + (5x-7)\big] = (2x+3)(7x-4)\]
Donc \(A = (2x+3)(7x-4)\). Contrôle : \((2x+3)(7x-4) = 14x^2 – 8x + 21x – 12 = 14x^2 + 13x – 12\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[2x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2} \qquad \text{ou} \qquad 7x – 4 = 0 \iff x = \dfrac{4}{7}\]
Les solutions sont \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{4}{7}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2004) : atlas et dictionnaires
1. La première équation permet d’isoler \(x\) : \(x = 76 – 2y\). On remplace dans la seconde :
\[4(76 – 2y) + y = 115 \iff 304 – 8y + y = 115 \iff -7y = -189 \iff y = 27\]
Puis \(x = 76 – 2 \times 27 = 22\). Vérification : \(22 + 2 \times 27 = 76\) et \(4 \times 22 + 27 = 88 + 27 = 115\). La solution est \((x\ ;\ y) = (22\ ;\ 27)\).
2. Soit \(x\) le prix d’un atlas et \(y\) celui d’un dictionnaire, en euros. La première commande donne \(x + 2y = 76\), la seconde \(4x + y = 115\) : c’est le système de la question 1. Un atlas coûte 22 € et un dictionnaire 27 €.
Corrigé de l’exercice 4 : les notes du contrôle
1. L’effectif total est 25. Le nombre d’élèves ayant entre 12 et 16 est \(25 – (1 + 6 + 7 + 3) = 25 – 17\), soit 8 élèves.
| Notes \(n\) | \(0 \leqslant n \lt 4\) | \(4 \leqslant n \lt 8\) | \(8 \leqslant n \lt 12\) | \(12 \leqslant n \lt 16\) | \(16 \leqslant n \lt 20\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’élèves | 1 | 6 | 7 | 8 | 3 |
2. Moins de 12, ce sont les trois premières classes : \(1 + 6 + 7 = 14\). 14 élèves ont obtenu moins de 12.
3. « Au moins 8 » signifie 8 ou plus : \(7 + 8 + 3 = 18\). 18 élèves ont obtenu au moins 8. (On peut vérifier : \(25 – (1 + 6) = 18\).)
4. 7 élèves sur 25 ont une note entre 8 et 12 : \(\dfrac{7}{25} = \dfrac{28}{100}\). Cela représente 28 % des élèves.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2004) : triangle inscrit dans un cercle
1. On trace [EF] de 7 cm, on place son milieu O à 3,5 cm de E, puis le cercle de centre O et de rayon 3,5 cm. Avec le rapporteur, on trace en E une demi-droite faisant un angle de 26° avec [EF] : elle recoupe le cercle en G.
![Cercle de centre O et de diamètre [EF] de 7 cm, point G sur le cercle avec l'angle FEG de 26°, triangle EFG et rayon [OG] ; l'angle GOF mesure 52°](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2004-france-groupement-nord/gen-geo1-cercle.webp)
2. G est un point du cercle de diamètre [EF], distinct de E et F. Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est rectangle, le diamètre étant l’hypoténuse. Donc EFG est rectangle en G.
3. Dans le triangle EFG rectangle en G, [FG] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{FEG}\) et [EF] l’hypoténuse :
\[\sin \widehat{FEG} = \dfrac{FG}{EF} \quad \text{donc} \quad FG = 7 \times \sin 26^\circ \approx 3{,}069\]
Au millimètre près, FG ≈ 3,1 cm.
4. L’angle inscrit \(\widehat{FEG}\) et l’angle au centre \(\widehat{GOF}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{GF}\). L’angle au centre mesure le double : \(\widehat{GOF} = 2 \times 26^\circ\), soit \(\widehat{GOF} = 52^\circ\).
Autre justification : OE = OG (rayons), donc le triangle OEG est isocèle en O et \(\widehat{OGE} = \widehat{OEG} = 26^\circ\). Alors \(\widehat{EOG} = 180^\circ – 2 \times 26^\circ = 128^\circ\) et, comme E, O, F sont alignés, \(\widehat{GOF} = 180^\circ – 128^\circ = 52^\circ\).
Corrigé de l’exercice 2 : le cône de révolution
1. La hauteur [AO] est perpendiculaire au rayon [OB] : le triangle AOB est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :
\[AB^2 = AO^2 + OB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \quad \text{donc} \quad AB = \sqrt{13}\]
La génératrice mesure \(\sqrt{13}\) cm, soit environ 3,6 cm.
2. Le volume d’un cône est \(\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h\), avec ici \(r = BO = 3\) cm et \(h = AO = 2\) cm :
\[V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 2 = \dfrac{18\pi}{3} = 6\pi \approx 18{,}85\]
Le volume est \(6\pi\) cm³, soit environ 19 cm³.
Corrigé de l’exercice 3 : la table à repasser
1. Les points A, O, B sont alignés et les points C, O, E aussi, dans le même ordre (O entre A et B, et entre C et E). Puis on compare :
\[\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{60}{72} = \dfrac{5}{6} \qquad \dfrac{OC}{OE} = \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}\]
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AC) est parallèle à (EB).
2. Maintenant que (AC) // (EB), le théorème de Thalès dans les triangles OAC et OBE donne :
\[\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{EB} \quad \text{donc} \quad \dfrac{60}{72} = \dfrac{100}{EB} \quad \text{donc} \quad EB = \dfrac{100 \times 72}{60} = 120\]
L’écartement des pieds est EB = 120 cm. (La longueur AD = 125 cm ne sert pas dans les calculs.)
Problème (corrigé Nord 2004)
Corrigé de la partie A : un triangle isocèle
1. Tout d’abord, on place A, B et C avec 1 cm par unité. La figure complète (avec H et D) est donnée plus bas.
2. a. Dans un repère orthonormal :
\[AB = \sqrt{(3 – (-4))^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}\]
Donc \(AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm, soit environ 7,1 cm.
2. b. Alors on a \(AB = AC = \sqrt{50}\) : le triangle ABC est isocèle en A. Il n’est pas rectangle : le plus grand côté mesure \(\sqrt{50}\) et \(AB^2 = 50\) alors que \(AC^2 + BC^2 = 70\).
3. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_H = \dfrac{3 + 1}{2} = 2 \qquad y_H = \dfrac{2 + (-2)}{2} = 0\]
Ensuite, on a bien H(2 ; 0).
4. Comme AB = AC, le point A est équidistant de B et de C : il est sur la médiatrice de [BC]. Le milieu H de [BC] est aussi sur cette médiatrice. La droite (AH) est donc la médiatrice de [BC], perpendiculaire à (BC). Ainsi [AH] est la hauteur issue de A. (Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur.)
5. a. \(AH = \sqrt{(2 – (-4))^2 + (0 – 3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\). On a bien \(AH = 3\sqrt{5}\) cm.
5. b. L’aire d’un triangle est \(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\), avec la base [BC] et la hauteur [AH]. Comme \(BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) :
\[\mathcal{A} = \dfrac{2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15\]
L’aire du triangle ABC est 15 cm².
Corrigé de la partie B : translation et losange
1. Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont \((x_C – x_A\ ;\ y_C – y_A) = (1 – (-4)\ ;\ -2 – 3)\), donc \(\overrightarrow{AC}(5\ ;\ -5)\).
2. a. À partir de B, on avance de 5 unités vers la droite et de 5 unités vers le bas : on arrive en D.
![Repère avec A(-4 ; 3), B(3 ; 2), C(1 ; -2), H(2 ; 0) et D(8 ; -3) : le segment [AH] en pointillés est perpendiculaire à [BC], les vecteurs AC et BD en rouge sont égaux, le quadrilatère ACDB est un losange](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2004-france-groupement-nord/gen-probleme-losange.webp)
2. b. D est l’image de B par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}\) :
\[x_D – 3 = 5 \iff x_D = 8 \qquad y_D – 2 = -5 \iff y_D = -3\]
Puis on a bien D(8 ; −3).
3. Puisque \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\), le quadrilatère ACDB est un parallélogramme. De plus, ses deux côtés consécutifs [AC] et [AB] ont la même longueur \(\sqrt{50}\) (partie A). Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : ACDB est un losange. Ce n’est pas un carré, car l’angle en A n’est pas droit (le triangle ABC n’est pas rectangle en A).
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2004
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2004 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2004
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2004 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2004
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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