Corrigé du brevet de maths 2001 : France, groupement 1

Corrigé de maths – Brevet 2001 : France, groupement 1 – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet 2001 du groupement 1 (juin 2001, académies d’Amiens, Lille, Paris, Créteil, Versailles et Rouen) détaille chaque réponse. Tu y revois la priorité des opérations avec les fractions, la simplification de racines carrées (et une coquille de l’énoncé sur C), la factorisation par une identité remarquable suivie d’une équation produit, puis un système résolu par combinaison. En géométrie, on calcule un angle avec le sinus, une longueur avec Thalès, puis on construit le cercle circonscrit et on relie angle au centre et angle inscrit. Le problème est une longue démonstration : réciproque de Pythagore, triangle inscrit dans un demi-cercle, parallélogramme par ses diagonales, puis hauteurs et orthocentre pour aboutir à un rectangle et à un angle droit.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 1. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé groupement 1

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé groupement 1 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Calculs de fractions » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « Racines carrées » (exercice 1 de la partie numérique). Puis la correction reprend « Factoriser, développer, résoudre » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Iris et roses jaunes » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Sinus et Thalès » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, le corrigé explique « Cercle circonscrit » (activités géométriques). Enfin, la correction reprend « Triangle rectangle et orthocentre » (exercice 1 de géométrie).

Ainsi, le corrigé corrigé groupement 1 te fait revoir les fractions, les racines carrées, le calcul littéral, les équations et les systèmes d’équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Activités numériques (corrigé groupement 1)

Corrigé de l’exercice 1 : calculs de fractions

1. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{3}{5}\times\dfrac{7}{9}=\dfrac{3\times7}{5\times3\times3}=\dfrac{7}{15}\). On soustrait ensuite en mettant au dénominateur 15 :

\[\text{A}=\dfrac{12}{5}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{36}{15}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{29}{15}.\]

29 est premier et ne divise pas 15. \(\text{A}=\dfrac{29}{15}\).

2. Ensuite, on calcule la parenthèse : \(\dfrac{2}{3}-3=\dfrac{2}{3}-\dfrac{9}{3}=-\dfrac{7}{3}\). Diviser par \(\dfrac{1}{9}\), c’est multiplier par 9 :

\[\text{B}=-\dfrac{7}{3}\times9=-\dfrac{63}{3}=-21.\]

\(\text{B}=-21\).

À retenir : multiplication et division passent avant l’addition et la soustraction. Diviser par \(\dfrac{1}{9}\) revient à multiplier par 9.

Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées

Pour C. On a \(\sqrt{9}=3\) et \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\), donc :

\[\text{C}=3\sqrt{2}\times3=9\sqrt{2}.\]

\(\text{C}=9\sqrt{2}\) (environ 12,73). Attention : ce nombre ne peut pas s’écrire \(a\sqrt{3}\) avec \(a\) entier, car \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) ne se simplifient pas l’un en l’autre. L’énoncé comporte vraisemblablement une coquille (avec \(\sqrt{18}\times\sqrt{6}=\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}\) on obtiendrait \(6\sqrt{3}\), par exemple). On donne donc la forme simplifiée exacte \(9\sqrt{2}\).

Pour D. Puis on extrait les carrés parfaits : \(12=4\times3\) et \(300=100\times3\).

\[\text{D}=5\times2\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=10\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=6\sqrt{3}.\]

\(\text{D}=6\sqrt{3}\), donc \(a=6\).

À retenir : pour simplifier \(\sqrt{n}\), on écrit \(n\) comme le produit d’un carré parfait et d’un autre nombre, puis \(\sqrt{k^2\times m}=k\sqrt{m}\). On ne peut additionner que des racines de même nombre.

Corrigé de l’exercice 3 (groupement 1) : factoriser, développer, résoudre

1. \(4x^2-9=(2x)^2-3^2\) est une différence de deux carrés, donc \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\).

D’abord, on remplace dans \(E\) et on met en facteur \((2x+3)\), présent dans les deux termes :

\[E=(2x+3)(2x-3)+(2x+3)(x-1)=(2x+3)\left[(2x-3)+(x-1)\right]=(2x+3)(3x-4).\]

\(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\) et \(E=(2x+3)(3x-4)\).

2. On développe \((2x+3)(x-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3\), puis :

\[E=4x^2-9+2x^2+x-3=6x^2+x-12.\]

Contrôle avec la forme factorisée : \((2x+3)(3x-4)=6x^2-8x+9x-12=6x^2+x-12\). \(E=6x^2+x-12\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[2x+3=0\ \text{donne}\ x=-\dfrac{3}{2}\qquad 3x-4=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{4}{3}.\]

Les solutions sont \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{4}{3}\).

À retenir : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) permet de faire apparaître un facteur commun caché. Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe et on compare avec la forme développée.

Corrigé de l’exercice 4 : iris et roses jaunes

Chaque bouquet donne une équation :

\[\begin{cases}3x+4y=9\\5x+6y=14\end{cases}\]

Alors on élimine \(y\) : on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2, pour obtenir \(12y\) dans les deux.

\[9x+12y=27\qquad 10x+12y=28\]

En soustrayant la première de la seconde : \(x=1\). On remplace dans \(3x+4y=9\) : \(3+4y=9\), donc \(4y=6\) et \(y=1{,}5\).

Vérification : \(3\times1+4\times1{,}5=3+6=9\) et \(5\times1+6\times1{,}5=5+9=14\). Un iris coûte 1 € et une rose jaune coûte 1,50 €.

À retenir : la méthode par combinaison consiste à rendre égaux les coefficients d’une inconnue, puis à soustraire les équations. On vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (groupement) : sinus et Thalès

1. Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC]. Pour l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\), le côté opposé est [AB]. On utilise donc le sinus :

\[\sin\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{5}{7{,}5}=\dfrac{2}{3}.\]

À la calculatrice, \(\arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41{,}8^\circ\). \(\widehat{\text{ACB}}\approx42^\circ\) au degré près.

2. Les points M, A, B sont alignés, les points N, A, C sont alignés, et (MN) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès (configuration en papillon, A est le point commun) :

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}.\]

Avec \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{\text{MN}}{7{,}5}\) : \(\text{MN}=\dfrac{2\times7{,}5}{5}=\dfrac{15}{5}=3\). MN = 3 cm.

À retenir : dans un triangle rectangle, on choisit sinus, cosinus ou tangente selon les deux côtés en jeu (SOH-CAH-TOA). Le théorème de Thalès s’applique aussi quand les deux triangles sont de part et d’autre du point commun.

Corrigé de l’exercice 2 : cercle circonscrit et angle au centre

1. Au rapporteur, on trace en A une demi-droite faisant un angle de 70° avec [AB], puis en B une demi-droite faisant un angle de 60° avec [BA], du même côté. Leur point d’intersection est C. Le troisième angle mesure \(180-70-60=50^\circ\).

2. Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices des côtés. Ensuite, on trace au compas la médiatrice de [AB] et celle de [AC] (deux suffisent) : elles se coupent en O. On trace ensuite le cercle de centre O passant par A ; il passe aussi par B et C.

3. Dans le cercle circonscrit, l’angle inscrit \(\widehat{\text{ABC}}\) et l’angle au centre \(\widehat{\text{AOC}}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{AC}}\) (celui qui ne contient pas B). Un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit qui intercepte le même arc :

\[\widehat{\text{AOC}}=2\times\widehat{\text{ABC}}=2\times60^\circ=120^\circ.\]

\(\widehat{\text{AOC}}=120^\circ\).

À retenir : le centre du cercle circonscrit est à l’intersection des médiatrices. L’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Corrigé du problème : triangle rectangle, cercle et orthocentre

La figure ci-dessous est réalisée à l’échelle réduite ; elle regroupe toutes les constructions du problème.

1. a. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 9 cm, puis un arc de centre C et de rayon 12 cm : A est l’un de leurs points d’intersection.

1. b. Le plus grand côté est [BC]. Puis on calcule séparément :

\[\text{BC}^2=15^2=225\qquad \text{AB}^2+\text{AC}^2=9^2+12^2=81+144=225.\]

On a \(\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. M est à 7,5 cm de B sur [BC]. Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu de [AB] et pour rayon 4,5 cm.

2. b. Propriété : si un point P d’un cercle de diamètre [AB] est distinct de A et de B, alors le triangle ABP est rectangle en P. Les points E et D sont sur le cercle de diamètre [AB] et distincts de A et B. Le triangle ABE est rectangle en E et le triangle ABD est rectangle en D.

3. a. On prolonge [EM] au-delà de M et on place F tel que MF = ME.

3. b. M est le milieu de [EF] (par construction de F) et M est le milieu de [BC]. Les diagonales [EF] et [BC] du quadrilatère BECF ont donc le même milieu. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. BECF est un parallélogramme.

3. c. Dans le parallélogramme BECF, les côtés opposés [BE] et [CF] sont parallèles : (BE) // (CF).

D’après la question 2. b, (BE) est perpendiculaire à (AE). Les points A, E, M, F sont alignés, donc (AE) et (AF) sont la même droite : (BE) ⊥ (AF). Or si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Comme (CF) // (BE), les droites (AF) et (CF) sont perpendiculaires.

4. a. Dans le triangle ABM :

(AD) passe par le sommet A et est perpendiculaire à (BC), donc à (BM) puisque M est sur [BC] : c’est la hauteur issue de A ;
(BE) passe par le sommet B et est perpendiculaire à (AE), c’est-à-dire à (AM) : c’est la hauteur issue de B.

(AD) et (BE) sont deux hauteurs du triangle ABM. Leur point d’intersection H est donc l’orthocentre de ABM. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes, donc la droite (MH), qui passe par le troisième sommet M et par l’orthocentre, est la troisième hauteur. (HM) est perpendiculaire à (AB).

De même dans le triangle ACM : (AD) est perpendiculaire à (MC), c’est la hauteur issue de A ; (CF) est perpendiculaire à (AF), c’est-à-dire à (AM), c’est la hauteur issue de C. Leur intersection K est l’orthocentre de ACM, et (KM) est la hauteur issue de M. (KM) est perpendiculaire à (AC).

4. b. Le quadrilatère AIMJ a trois angles droits :

en A, car le triangle ABC est rectangle en A et I, J sont sur (AB) et (AC) ;
en I, car (MI) est perpendiculaire à (AB) ;
en J, car (MJ) est perpendiculaire à (AC).

Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. AIMJ est un rectangle.

Son angle en M est donc droit : les droites (MI) et (MJ) sont perpendiculaires. Or H est sur (MI) et K est sur (MJ), donc (MH) ⊥ (MK). Le triangle HMK est rectangle en M.

À retenir : un triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés est rectangle ; un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme ; les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point, l’orthocentre, ce qui permet d’obtenir une troisième perpendiculaire sans calcul.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 1.

Comment utiliser le corrigé corrigé groupement 1

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Pour le calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé groupement 1, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé groupement 1

Faut-il lire le corrigé corrigé groupement 1 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2001. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, le calcul littéral et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé groupement 1

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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