Corrigé du brevet de maths 2001 : France, groupement 3
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 3. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé groupement 3
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé groupement 3 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Division euclidienne » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Calcul littéral » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Système et tartes » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Thalès et réciproque » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu lis la démarche complète pour « Pavé et pyramide » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Triangle rectangle LAC » (partie I). Puis le corrigé explique « Aires en fonction de x » (partie II). Enfin, la correction reprend « Lecture graphique » (partie III).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé groupement 3 sont les fractions, le calcul littéral, les équations, les systèmes d’équations et le théorème de Thalès, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques
Corrigé de l’exercice 1 (groupement 3) : division euclidienne et fraction
1. D’abord, on cherche le quotient \(q\) et le reste \(r\) (avec \(r\lt 21\)) tels que \(1\,512=21\times q+r\). Comme \(21\times 70=1\,470\) et \(1\,512-1\,470=42=21\times 2\), on trouve \(q=72\) et \(r=0\).
L’égalité est \(1\,512=21\times 72+0\) : 1 512 est donc un multiple de 21.
2. Ensuite, on décompose : \(1\,512=21\times 72=3\times 7\times 72\) et \(720=10\times 72\). Le nombre 72 divise donc le numérateur et le dénominateur.
\[\dfrac{720}{1\,512}=\dfrac{10\times 72}{21\times 72}=\dfrac{10}{21}\]
10 et 21 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 (\(10=2\times 5\), \(21=3\times 7\)), donc \(\dfrac{720}{1\,512}=\dfrac{10}{21}\), fraction irréductible.
Corrigé de l’exercice 2 : calcul littéral
1. Tout d’abord, on développe les deux termes :
\[(x-2)^2=x^2-4x+4\]
\[(x-2)(3x+1)=3x^2+x-6x-2=3x^2-5x-2\]
\[A=x^2-4x+4+3x^2-5x-2\]
Donc \(A=4x^2-9x+2\).
2. Le facteur commun est \((x-2)\) :
\[A=(x-2)\left[(x-2)+(3x+1)\right]=(x-2)(4x-1)\]
Donc \(A=(x-2)(4x-1)\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(x-2=0\) donne \(x=2\) ; \(4x-1=0\) donne \(4x=1\), soit \(x=\dfrac{1}{4}\).
Les solutions sont \(2\) et \(\dfrac{1}{4}\).
4. Avec la forme factorisée :
\[A=\left(-\dfrac{1}{2}-2\right)\left(4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-1\right)=\left(-\dfrac{5}{2}\right)\times(-3)=\dfrac{15}{2}\]
Contrôle avec la forme développée : \(4\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{2}+2=1+4{,}5+2=7{,}5\). Donc \(A=\dfrac{15}{2}=7{,}5\).
Corrigé de l’exercice 3 (groupement) : système et problème des tartes
1. Pour commencer, on soustrait la première équation à la seconde, ce qui élimine \(y\) :
\[(2x+y)-(x+y)=21-15 \quad\text{donc}\quad x=6\]
On remplace dans la première équation : \(6+y=15\), donc \(y=9\).
Vérification dans la seconde : \(2\times 6+9=21\). Le système a pour solution \(x=6\) et \(y=9\).
2. Puis on note \(x\) le nombre de tartes aux myrtilles et \(y\) le nombre de tartes aux pommes.
Il y a 15 tartes en tout : \(x+y=15\). La recette est de 42 euros : \(4x+2y=42\). En divisant cette seconde équation par 2, on obtient \(2x+y=21\).
Alors on retrouve exactement le système de la question 1, dont la solution est \(x=6\) et \(y=9\). Contrôle : \(4\times 6+2\times 9=24+18=42\) euros.
Les élèves ont vendu 6 tartes aux myrtilles et 9 tartes aux pommes.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès et sa réciproque
1. Les points L, A, C sont alignés, les points L, R, T sont alignés et les droites (AR) et (CT) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{LA}{LC}=\dfrac{LR}{LT}=\dfrac{AR}{CT} \quad\text{soit}\quad \dfrac{4{,}8}{6}=\dfrac{LR}{9}\]
\[LR=\dfrac{4{,}8\times 9}{6}=\dfrac{43{,}2}{6}=7{,}2\]
Donc LR = 7,2 cm.
2. Ensuite, on compare les rapports dans les triangles LEB et LTC. Les points B, L, C sont alignés, les points E, L, T sont alignés, dans le même ordre (L est entre B et C, et entre E et T).
\[\dfrac{LB}{LC}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{LE}{LT}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EB) et (CT) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 : pavé droit et pyramide
1. La base ABCD est un carré de côté AD = 3 cm, son aire est \(3\times 3=9\) cm². La hauteur de la pyramide de sommet G est la distance de G au plan de la base, c’est-à-dire l’arête CG = 4 cm.
\[V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}=\dfrac{1}{3}\times 9\times 4=12\]
Le volume de la pyramide est 12 cm³.
2. Dans le pavé droit, la face DCGH est un rectangle, donc le triangle DCG est rectangle en C, avec DC = 3 cm (côté du carré de base) et CG = 4 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[DG^2=DC^2+CG^2=9+16=25\]
Donc DG = 5 cm.
3. Dans le triangle ADG rectangle en D, pour l’angle \(\widehat{AGD}\) : le côté opposé est [AD] (3 cm) et le côté adjacent est [DG] (5 cm).
\[\tan\widehat{AGD}=\dfrac{AD}{DG}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\]
La calculatrice donne \(\widehat{AGD}\approx 30{,}96^\circ\), donc \(\widehat{AGD}\approx 31^\circ\).
Toujours dans ADG rectangle en D, [AG] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :
\[AG^2=AD^2+DG^2=9+25=34\]
Donc \(AG=\sqrt{34}\) cm \(\approx 5{,}8\) cm (au millimètre près, puisque \(\sqrt{34}\approx 5{,}83\)).
Problème
Corrigé de la partie I (groupement 3) : aire, hypoténuse et hauteur
1. Le triangle LAC est rectangle en A : ses côtés de l’angle droit [LA] et [AC] servent de base et de hauteur.
\[\text{aire}=\dfrac{LA\times AC}{2}=\dfrac{9\times 12}{2}=54\]
L’aire du triangle LAC est 54 cm².
2. Le triangle LAC est rectangle en A, d’hypoténuse [LC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[LC^2=LA^2+AC^2=81+144=225 \quad\text{donc}\quad LC=\sqrt{225}=15\]
Puis on a bien LC = 15 cm.
3. On peut aussi prendre [LC] comme base : la hauteur correspondante est alors [AH].
\[\text{aire}=\dfrac{LC\times AH}{2}=\dfrac{15\times AH}{2}\]
Cette aire vaut 54 cm², donc \(15\times AH=108\) et \(AH=\dfrac{108}{15}=7{,}2\). On a bien AH = 7,2 cm.
Corrigé de la partie II : aires en fonction de x
1. M est sur le segment [LC], donc \(LM+MC=LC=15\). On en déduit \(MC=15-x\).
2. a. Dans le triangle LAM, la base [LM] est portée par la droite (LC), et [AH] est la hauteur relative à cette base.
\[\text{aire}(LAM)=\dfrac{LM\times AH}{2}=\dfrac{x\times 7{,}2}{2}=3{,}6x\]
L’aire du triangle LAM est bien \(3{,}6x\) cm².
b. De même, dans le triangle MAC, de base [MC] et de hauteur [AH] :
\[\text{aire}(MAC)=\dfrac{(15-x)\times 7{,}2}{2}=3{,}6\times(15-x)=54-3{,}6x\]
L’aire du triangle MAC est bien \(54-3{,}6x\) cm². On peut le contrôler : les deux aires ajoutées donnent 54 cm², l’aire de LAC.
c. Ensuite, on résout l’équation :
\[3{,}6x=54-3{,}6x \iff 7{,}2x=54 \iff x=\dfrac{54}{7{,}2}=7{,}5\]
L’aire commune vaut alors \(3{,}6\times 7{,}5=27\) cm², c’est-à-dire la moitié de 54.
Les deux triangles ont la même aire pour \(x=7{,}5\) cm (M est alors le milieu de [LC]), et cette aire est 27 cm².
Corrigé de la partie III : lecture graphique
1. \(f\) est une fonction linéaire : sa droite passe par l’origine ; un second point suffit, par exemple \(f(10)=36\), soit (10 ; 36). \(g\) est une fonction affine : sa droite passe par (0 ; 54) et par (15 ; 0), car \(g(15)=54-54=0\).
Avec l’échelle demandée (1 cm pour 1 en abscisse, 1 cm pour 10 en ordonnée), le point (0 ; 54) est à 5,4 cm de hauteur et le point (10 ; 36) à 10 cm à droite et 3,6 cm de haut.
2. L’aire de MAC est donnée par \(g\). On part de 36 sur l’axe des ordonnées, on trace un trait horizontal jusqu’à la droite de \(g\), puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit \(x=5\).
Vérification par le calcul : \(54-3{,}6\times 5=54-18=36\).
3. a. Les deux droites se coupent au point K(7,5 ; 27) : on le lit en traçant les pointillés de K vers les deux axes.
b. En K, \(f(x)=g(x)\) : les aires des triangles LAM et MAC sont égales, comme à la question II 2. c.
- L’abscisse de K, 7,5, est la longueur LM (en cm) pour laquelle les deux triangles ont la même aire.
- L’ordonnée de K, 27, est cette aire commune, en cm².
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Bien réviser avec le corrigé corrigé groupement 3
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. En ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé groupement 3 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé groupement 3
Faut-il lire le corrigé corrigé groupement 3 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, le calcul littéral, les équations et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé groupement 3
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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