Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux, septembre

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Corrigé de maths – Brevet 2002 : Académie de Bordeaux, septembre – Maths-pdf.fr
Ce corrigé du brevet de septembre 2002 du groupe Sud-Ouest (académie de Bordeaux) explique chaque réponse pas à pas. Tu y revois la simplification de racines carrées, les fractions à étages et les règles de calcul sur les puissances de 10, puis tu découvres pourquoi la fraction B donne presque \(\pi\). Les deux rectangles R1 et R2 montrent comment une équation et un graphique de fonctions affines répondent à la même question. En géométrie, la hauteur d’un triangle isocèle, la tangente et le cosinus donnent les mesures du toit, la section d’un cube est tracée en vraie grandeur, et Thalès sert dans les deux sens. Le problème combine coordonnées, réciproque de Pythagore, translation et losange ; une coquille de la question 6 y est corrigée.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Bordeaux septembre

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Bordeaux septembre suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Racines, fractions et puissances » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Calculs à la calculatrice » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Périmètres et fonctions affines » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Le toit de la maison » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, tu lis la démarche complète pour « Section d’un cube » (activités géométriques).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Thalès et réciproque » (exercice 1 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Triangle rectangle et losange » (exercice 2 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Bordeaux septembre sont les racines carrées, les fractions, les puissances de 10, les équations et les fonctions affines, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Bordeaux septembre)

Corrigé de l’exercice 1 : racines, fractions et puissances

1. D’abord, on écrit 75 et 12 comme produits d’un carré parfait par 3 : \(75 = 25 \times 3\) et \(12 = 4 \times 3\).

\[ \sqrt{75} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \qquad 4\sqrt{12} = 4 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]

Donc \(\text{A} = 5\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 13\sqrt{3}\).

2. Première égalité : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur.

\[ 2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4} \qquad \dfrac{3}{4} – 5 = \dfrac{3}{4} – \dfrac{20}{4} = -\dfrac{17}{4} \]

Diviser par \(-\dfrac{17}{4}\), c’est multiplier par \(-\dfrac{4}{17}\) :

\[ \dfrac{11}{4} \times \left(-\dfrac{4}{17}\right) = -\dfrac{11 \times 4}{4 \times 17} = -\dfrac{11}{17} \]

Ensuite, on obtient bien \(-\dfrac{11}{17}\).

Seconde égalité : \(\left(10^{-2}\right)^6 = 10^{-12}\). On regroupe les nombres et les puissances de 10 :

\[ \dfrac{35 \times 2}{42} \times \dfrac{10^{22} \times 10^{-12}}{10^{10}} = \dfrac{70}{42} \times \dfrac{10^{10}}{10^{10}} = \dfrac{70}{42} \times 1 \]

Et \(\dfrac{70}{42} = \dfrac{5 \times 14}{3 \times 14} = \dfrac{5}{3}\). L’égalité \(= \dfrac{5}{3}\) est prouvée.

À retenir : \(\left(10^a\right)^b = 10^{a \times b}\), \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) et \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\). Pour une fraction à étages, on réduit le haut et le bas en une seule fraction chacun, puis on multiplie par l’inverse du bas.

Corrigé de l’exercice 2 : calculs à la calculatrice

1. On calcule de l’intérieur vers l’extérieur : \(7 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{113}{16}\), donc \(\dfrac{1}{7 + \frac{1}{16}} = \dfrac{16}{113}\) et \(\text{B} = 3 + \dfrac{16}{113} = \dfrac{355}{113} \approx 3{,}141\,59\).

À 0,001 près, \(\text{B} \approx 3{,}142\). Tu reconnais les premières décimales de \(\pi\) : \(\dfrac{355}{113}\) est une approximation célèbre de \(\pi\), exacte à \(10^{-6}\) près.

2. Numérateur : \(10^{-4} \times 4 \times 10^{6} \times 25 = 100 \times 10^{2} = 10^{4}\). Puis :

\[ \text{C} = \dfrac{10^{4}}{2 \times 10^{-10}} = \dfrac{1}{2} \times 10^{4-(-10)} = 0{,}5 \times 10^{14} \]

En écriture scientifique, \(\text{C} = 5 \times 10^{13}\).

À retenir : une écriture scientifique est de la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\) : ici \(0{,}5 \times 10^{14}\) doit être réécrit \(5 \times 10^{13}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Bordeaux septembre) : périmètres de deux rectangles

1. a. R1 = AMPN a pour longueur AM = \(x\) et pour largeur AN = 1,5. Son périmètre est :

\[ 2 \times (x + 1{,}5) = 2x + 3 \]

Le périmètre de R1 est \(2x + 3\) (en cm).

b. R2 = MBCR a pour côtés MB = \(5 – x\) (car AB = DC = 5) et BC = 2,5. Son périmètre est :

\[ 2 \times (5 – x + 2{,}5) = 2 \times (7{,}5 – x) = 15 – 2x \]

Le périmètre de R2 est \(-2x + 15\) (en cm).

2. On regroupe les termes en \(x\) d’un côté :

\[ 2x + 3 = -2x + 15 \iff 4x = 12 \iff x = 3 \]

La solution est \(x = 3\). Pour AM = 3 cm, les deux rectangles ont le même périmètre, 9 cm.

3. Chaque fonction affine se représente par un segment de droite pour \(0 \leqslant x \leqslant 5\) ; deux points suffisent :

  • \(x \mapsto 2x + 3\) : points (0 ; 3) et (5 ; 13) ;
  • \(x \mapsto -2x + 15\) : points (0 ; 15) et (5 ; 5).

Deux segments pour x de 0 à 5 : en bleu 2x + 3 de (0 ; 3) à (5 ; 13), en rouge -2x + 15 de (0 ; 15) à (5 ; 5) ; ils se coupent au point (3 ; 9)

4. Le périmètre de R2 est supérieur ou égal à celui de R1 quand la droite rouge est au-dessus de la bleue ou la coupe, c’est-à-dire à gauche du point d’intersection. Réponse : \(0 \leqslant \text{AM} \leqslant 3\) (en cm). Puis on le retrouve par le calcul : \(-2x + 15 \geqslant 2x + 3 \iff 12 \geqslant 4x \iff x \leqslant 3\).

À retenir : l’abscisse du point d’intersection de deux droites est la solution de l’équation « expression 1 = expression 2 », et on lit une inéquation en regardant quelle droite est au-dessus de l’autre.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : le toit de la maison

1. a. Le triangle MAI est isocèle de sommet principal M, et (MS) est la hauteur issue de M. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane : S est le milieu de [AI]. Donc :

\[ \text{AS} = \dfrac{\text{AI}}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 \]

AS = 5,5 m.

b. Le triangle AMS est rectangle en S. Pour l’angle \(\widehat{\text{AMS}}\), le côté opposé est [AS] et le côté adjacent est [MS] :

\[ \tan \widehat{\text{AMS}} = \dfrac{\text{AS}}{\text{MS}} = \dfrac{5{,}5}{2{,}5} = 2{,}2 \]

À la calculatrice, \(\arctan(2{,}2) \approx 65{,}56\). Donc \(\widehat{\text{AMS}} \approx 65{,}6^\circ\).

2. Le triangle AON est rectangle en O, car (NO) est perpendiculaire à (AI). Pour l’angle \(\widehat{\text{OAN}}\), [AO] est le côté adjacent et [AN] l’hypoténuse :

\[ \cos \widehat{\text{OAN}} = \dfrac{\text{AO}}{\text{AN}} \quad \text{donc} \quad \text{AN} = \dfrac{\text{AO}}{\cos 24^\circ} = \dfrac{4{,}5}{\cos 24^\circ} \approx 4{,}93 \]

AN ≈ 4,9 m. Remarque : l’angle réel du toit vaut \(\widehat{\text{MAS}} = 90^\circ – 65{,}56^\circ \approx 24{,}4^\circ\), c’est pourquoi l’énoncé propose d’arrondir à 24°.

À retenir : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu. En trigonométrie, repère d’abord le triangle rectangle, puis nomme les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) par rapport à l’angle étudié pour choisir entre sinus, cosinus et tangente.

Corrigé de l’exercice 2 (Bordeaux septembre) : section d’un cube

1. La section d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle : JKNM est un rectangle.

2. a. Nomme les sommets du carré dessiné : F, G, C, B (par exemple F en haut à gauche, G en haut à droite, C en bas à droite, B en bas à gauche, comme sur la face de droite du cube). K est le milieu de [FB] et N le milieu de [BC] : on les place à 2 cm de B, puisque l’arête mesure 4 cm sur le schéma.

b. Le rectangle JKNM a pour dimensions :

  • JK = AB = 4 cm, car [JK] est parallèle à [AB] et joint deux points situés à la même hauteur sur les arêtes [AE] et [BF] ;
  • KN, que l’on reporte au compas depuis la face dessinée au 2. a. : c’est l’hypoténuse du triangle KBN, rectangle isocèle en B de côtés 2 cm, donc \(\text{KN} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8\) cm.

On trace donc un rectangle de 4 cm sur environ 2,8 cm (longueur KN prise au compas sur la face FGCB).

À gauche, la face FGCB de 4 cm de côté avec K milieu de [FB], N milieu de [BC] et le segment [KN] en rouge ; à droite, la section JKNM en vraie grandeur : rectangle de 4 cm sur environ 2,83 cm

3. Le solide AJMBKN a deux faces triangulaires superposables et parallèles, AJM et BKN (triangles rectangles isocèles en A et en B), reliées par des arêtes parallèles à [AB] et perpendiculaires à ces faces : c’est un prisme droit à base triangulaire.

À retenir : pour dessiner une section en vraie grandeur, on calcule ou on reporte chacun de ses côtés en travaillant dans la face du solide qui le contient. Un côté parallèle à une arête du cube a la même longueur que cette arête.

Corrigé de l’exercice 3 : Thalès dans les deux sens

1. Les points R, S, T sont alignés dans cet ordre, donc RT = RS + ST = 2 + 4 = 6 cm. Les points R, F, E sont alignés et les droites (SF) et (TE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles RSF et RTE :

\[ \dfrac{\text{RS}}{\text{RT}} = \dfrac{\text{RF}}{\text{RE}} = \dfrac{\text{SF}}{\text{TE}} \]

\[ \dfrac{2}{6} = \dfrac{1{,}5}{\text{RE}} \quad \text{donc} \quad \text{RE} = \dfrac{1{,}5 \times 6}{2} = 4{,}5 \]

Alors on a bien RE = 4,5 cm.

2. Les points R, E, G sont alignés dans cet ordre, donc RG = RE + EG = 4,5 + 9 = 13,5 cm. Ensuite, on compare deux rapports :

\[ \dfrac{\text{RS}}{\text{RT}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{\text{RE}}{\text{RG}} = \dfrac{4{,}5}{13{,}5} = \dfrac{1}{3} \]

Les rapports sont égaux et les points R, S, T et R, E, G sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, oui, les droites (ES) et (TG) sont parallèles.

À retenir : le théorème de Thalès part du parallélisme pour calculer une longueur ; sa réciproque part de l’égalité de deux rapports (et de l’ordre des points) pour prouver un parallélisme. Pense à calculer les longueurs totales RT et RG avant de former les rapports.

Problème

Corrigé du problème : triangle rectangle et losange

Repère avec A(-4 ; 3), B(-1 ; -1), C(7 ; 5) : triangle ABC en bleu rectangle en B, M(1,5 ; 4) milieu de [AC], N(4,5 ; 0) image de M par la translation de vecteur AB (flèches vertes), losange BMCN en rouge

1. Coordonnées d’un vecteur : « arrivée moins départ ».

\[ \overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} -1 – (-4) \\ -1 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Dans un repère orthonormal, \(\text{AB} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Donc \(\overrightarrow{\text{AB}}(3\ ;\ -4)\) et AB = 5.

2. Le plus long côté est [AC]. Puis on compare :

\[ \text{AC}^2 = \left(5\sqrt{5}\right)^2 = 25 \times 5 = 125 \qquad \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 25 + 100 = 125 \]

Comme \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. \(x_\text{M} = \dfrac{-4 + 7}{2} = 1{,}5\) et \(y_\text{M} = \dfrac{3 + 5}{2} = 4\). Donc M(1,5 ; 4).

4. Méthode par le calcul :

\[ \text{MB} = \sqrt{(-1 – 1{,}5)^2 + (-1 – 4)^2} = \sqrt{6{,}25 + 25} = \sqrt{31{,}25} \]

\[ \text{MC} = \sqrt{(7 – 1{,}5)^2 + (5 – 4)^2} = \sqrt{30{,}25 + 1} = \sqrt{31{,}25} \]

Donc MB = MC (environ 5,59). Méthode géométrique : ABC est rectangle en B, donc il est inscrit dans le cercle de diamètre [AC], dont le centre est le milieu M ; ainsi \(\text{MA} = \text{MB} = \text{MC} = \dfrac{\text{AC}}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\).

5. N est l’image de M par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}(3\ ;\ -4)\) : on ajoute 3 à l’abscisse de M et on retire 4 à son ordonnée. N(4,5 ; 0).

6. Attention, coquille de l’énoncé : le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) n’est pas égal à \(\overrightarrow{\text{BN}}\) (ses coordonnées sont (3 ; −4) alors que \(\overrightarrow{\text{BN}}\) a pour coordonnées (5,5 ; 1)). Il faut lire : « les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\), \(\overrightarrow{\text{BN}}\) et \(\overrightarrow{\text{MC}}\) sont égaux ». C’est ce que l’on démontre.

\[ \overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} 1{,}5 – (-4) \\ 4 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{\text{BN}} \begin{pmatrix} 4{,}5 – (-1) \\ 0 – (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{\text{MC}} \begin{pmatrix} 7 – 1{,}5 \\ 5 – 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Les trois vecteurs ont les mêmes coordonnées : \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{BN}} = \overrightarrow{\text{MC}}\). Sans calcul : \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MC}}\) car M est le milieu de [AC], et \(\overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{AB}}\) (définition de N) signifie que ABNM est un parallélogramme, d’où \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{BN}}\).

7. L’égalité \(\overrightarrow{\text{BN}} = \overrightarrow{\text{MC}}\) signifie que le quadrilatère BNCM est un parallélogramme ; c’est le même quadrilatère que BMCN parcouru dans l’autre sens. De plus, ses deux côtés consécutifs [MB] et [MC] ont la même longueur (question 4). Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : BMCN est un losange.

8. Aire du triangle ABC, rectangle en B :

\[ \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{5 \times 10}{2} = 25 \]

Aire du losange BMCN : ses diagonales sont [BC], de longueur 10, et [MN], de longueur MN = AB = 5 (translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\)). Donc :

\[ \mathcal{A}_{\text{BMCN}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{MN}}{2} = \dfrac{10 \times 5}{2} = 25 \]

Les deux aires valent 25 unités d’aire : le triangle ABC et le losange BMCN ont la même aire, 25 cm². Autre raisonnement : la médiane [BM] partage ABC en deux triangles de même aire (même base AM = MC, même hauteur), donc \(\mathcal{A}_{\text{BMC}} = 12{,}5\), et la diagonale [BC] partage le losange en deux triangles superposables BMC et BNC, d’où \(\mathcal{A}_{\text{BMCN}} = 2 \times 12{,}5 = 25\).

À retenir : un triangle rectangle est inscrit dans le cercle dont le diamètre est son hypoténuse, donc le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois sommets. L’aire d’un losange se calcule avec \(\dfrac{\text{grande diagonale} \times \text{petite diagonale}}{2}\).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux, septembre.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Bordeaux septembre

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Pour les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Au besoin, la définition de la notion de racine carrée sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Bordeaux septembre parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Bordeaux septembre

Faut-il lire le corrigé corrigé Bordeaux septembre en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2002. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les racines carrées, les fractions, les puissances de 10 et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Bordeaux septembre

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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