Sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Nord, septembre

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Tu as sous les yeux le brevet de maths de septembre 2003 du groupement Nord. La partie numérique enchaîne un quotient de fractions, une écriture scientifique, une racine carrée à simplifier, une expression à développer puis factoriser, un système de deux équations et un diagramme semi-circulaire des dépenses d’un ménage. En géométrie, un tableau à choix multiples porte sur l’angle inscrit, un cône, les vecteurs et une pyramide, puis une figure de droites sécantes fait travailler Thalès et la trigonométrie. Le problème se déroule dans un repère : triangle ABC rectangle, cercle circonscrit, translation, symétrie centrale, puis comparaison des aires et des périmètres d’un rectangle et d’un parallélogramme. Réponds à tout seul avant de lire le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2003

Groupement Nord · Septembre 2003

Épreuve de mathématiques

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Soient \(A = \left(\dfrac{1}{5} – \dfrac{5}{4}\right) : \dfrac{7}{5}\), \(B = \dfrac{6 \times 10^{8} \times 1{,}6 \times 10^{13}}{0{,}4 \times 10^{14}}\) et \(C = \sqrt{150} – 2\sqrt{600}\).

1. Calculer A en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

2. Calculer B en utilisant les règles de calcul sur les puissances de dix et donner son écriture scientifique.

3. Écrire C sous la forme \(a\sqrt{6}\), \(a\) étant un nombre entier relatif.

Exercice 2

On considère l’expression \(D = (2x+3)^2 – 36\).

1. Développer et réduire \(D\).

2. Factoriser \(D\).

3. Résoudre l’équation : \((2x+9)(2x-3) = 0\).

4. Calculer la valeur numérique de \(D\) pour \(x = -4\).

Exercice 3

Résoudre le système suivant :

\[ \left\{\begin{array}{l} 5x – 3y = 35 \\ x + 2y = -6 \end{array}\right. \]

Exercice 4

On souhaite représenter la répartition des dépenses mensuelles d’un ménage par un diagramme semi-circulaire.

Sur la feuille annexe 1 jointe :

1. Compléter le tableau.

2. Représenter cette série statistique en complétant le diagramme semi-circulaire.

Annexe 1 (à rendre avec la copie) · Tableau à compléter

Alimentation Logement Santé Loisirs Transport Divers Total
Répartition en pourcentage 20 10 5 15 25 100
Angle en degré 180

Diagramme semi-circulaire à compléter

Demi-disque vide, limité par un demi-cercle et son diamètre horizontal, à partager en secteurs

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Pour chaque ligne du tableau suivant, quatre égalités sont proposées mais une seule est correcte. Pour chacune des 5 lignes, indiquer dans le tableau figurant sur la feuille annexe 1, la réponse que vous estimez être correcte. Aucune justification n’est demandée.

Ligne A. A, B et C sont trois points d’un cercle de centre O.

Cercle de centre O avec trois points A, B, C sur le cercle, les segments [AB], [AC] et les rayons [OB], [OC]

Ligne B. L’angle ASH mesure 60° et le rayon du cône 5 cm.

Cône de révolution de sommet S, de base de centre H, avec A sur le cercle de base, la hauteur [SH] et le rayon [HA] en pointillés, la génératrice [SA]

Lignes D et E. SEFGH est une pyramide régulière à base carrée, SO = 5 cm, EF = 6cm. V est le volume (en cm³) de cette pyramide.

Pyramide SEFGH à base carrée EFGH de centre O, avec la hauteur [SO] et les diagonales de la base en pointillés

Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponse 4
A \(\widehat{BOC} = \frac{1}{2}\widehat{BAC}\) \(\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC}\) \(\widehat{BAC} = \widehat{OBC}\) \(\widehat{ACO} = \frac{1}{2}\widehat{ABO}\)
B \(AS = \dfrac{5}{\sin 60^\circ}\) \(AS = 5 \times \sin 60^\circ\) \(AS = \dfrac{5}{\cos 60^\circ}\) \(AS = 5 \times \tan 60^\circ\)
C : si ABCD est un parallélogramme, alors : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)
D \(SO^2 = SF^2 + FO^2\) \(SO^2 = SF^2 – OF^2\) \(SF^2 = SO^2 – OF^2\) \(SO^2 = OF^2 + SF^2\)
E V = 180 cm³ V = 120 cm³ V = 60 cm³ V = 36\(\pi\) cm³

Annexe 1 (à rendre avec la copie) · Activités géométriques : exercice 1

Questions A B C D E
Numéro de la réponse choisie

Exercice 2

On considère la figure ci-dessous. (on ne demande pas de refaire la figure)

Deux droites sécantes en O : l'une porte M et A, l'autre porte F, N et B ; trois droites parallèles coupent ces deux droites, celle qui passe par L et F, celle qui passe par M et N, et celle qui passe par A et B

L’unité est le centimètre. On sait que OM = 3 ; OA = 5 ; ON = 4,5 ; AB = 3 et \(\widehat{BOA} = 30^\circ\).

Les droites (MN) et (BA) sont parallèles.

1. Calculer OB et MN.

2. On appelle P le pied de la hauteur issue de A dans le triangle OAB.

En se plaçant dans le triangle OAP, montrer par un calcul que AP = 2,5.

3. Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle \(\widehat{PAB}\).

4. On suppose que OE = 4,8 et OF = 7,2.

Démontrer que les droites (EF) et (MN) sont parallèles.

Problème 12 points

L’unité est le centimètre. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J).

Dans ce repère, on a placé les points A(4 ; −3) et C(2 ; 8) (voir feuille annexe).

1. Par le calcul, montrer que \(AC = \sqrt{125}\).

2. Placer le point B(−2 ; 5).

3. On donne AB = 10 et BC = 5.

a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

b. En déduire la position du point K, centre du cercle \((\mathcal{C})\) circonscrit au triangle ABC puis tracer \((\mathcal{C})\). Justifier.

c. Calculer les coordonnées du point K et vérifier graphiquement.

4. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{CB}\).

5. a. Placer le point D, image du point A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{CB}\).

b. En déduire la nature du quadrilatère ACBD. Justifier la réponse.

6. a. Placer le point B’ symétrique du point B par rapport à K.

b. Trouver graphiquement les coordonnées du point B’.

7. Quelle est la nature du quadrilatère ABCB’ ? Justifier la réponse.

8. a. On note \(\mathcal{A}\) l’aire du quadrilatère ABCB’ et \(\mathcal{A}^{\prime}\) celle du quadrilatère ACBD.

En calculant les aires montrer que : \(\mathcal{A} = \mathcal{A}^{\prime}\).

b. On note \(\mathcal{P}\) le périmètre du quadrilatère ABCB’ et \(\mathcal{P}^{\prime}\) celui du quadrilatère ACBD.

Prouver que : \(\mathcal{P} \lt \mathcal{P}^{\prime}\).

Voir le corrigé détaillé du sujet du brevet de maths 2003, France, groupement Nord, septembre

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