Corrigé du brevet de maths 2001 : France, groupement 4
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 4. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé groupement 4
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé groupement 4 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fractions et factorisation » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Aires avec racine de 2 » (exercice 2). Puis la correction reprend « Tarifs du cirque » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Cercle, médiatrice et Thalès » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Rotation et vecteurs dans un repère » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, le corrigé explique « Tarifs des coquetiers » (partie 1). Enfin, la correction reprend « Volume et section du coquetier » (partie 2).
Ainsi, le corrigé corrigé groupement 4 te fait revoir les fractions, les équations, les racines carrées, le calcul littéral et le théorème de Thalès, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé des activités numériques (groupement 4)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, développement et factorisation
1. Pour A, la multiplication est prioritaire sur la soustraction :
\[ \text{A} = \dfrac{9 \times 3}{2} – 10 = \dfrac{27}{2} – \dfrac{20}{2} = \dfrac{7}{2} \]
Donc \(\text{A} = \dfrac{7}{2}\), fraction irréductible car 7 et 2 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Pour B, on calcule d’abord la puissance, puis le produit, et enfin la différence. Attention : la première parenthèse n’est pas élevée au carré dans l’énoncé.
\[ \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} \qquad \dfrac{1}{9} \times \left(-\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{5}{18} \]
\[ \text{B} = \dfrac{3}{2} – \left(-\dfrac{5}{18}\right) = \dfrac{27}{18} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{32}{18} = \dfrac{16}{9} \]
Donc \(\text{B} = \dfrac{16}{9}\) (on a simplifié par 2 ; 16 et 9 sont premiers entre eux).
2. a. On développe le carré avec \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), puis le produit par double distributivité, sans oublier que le signe « moins » devant le produit change tous les signes :
\[ (2x-5)^2 = 4x^2 – 20x + 25 \]
\[ (2x-5)(3x-7) = 6x^2 – 14x – 15x + 35 = 6x^2 – 29x + 35 \]
\[ C = 4x^2 – 20x + 25 – 6x^2 + 29x – 35 \]
Donc \(C = -2x^2 + 9x – 10\).
b. Le facteur \((2x-5)\) apparaît dans les deux termes : \((2x-5)^2 = (2x-5)(2x-5)\).
\[ C = (2x-5)\big[(2x-5) – (3x-7)\big] = (2x-5)(2x – 5 – 3x + 7) \]
Donc \(C = (2x-5)(2-x)\). Tu peux contrôler en développant : \((2x-5)(2-x) = 4x – 2x^2 – 10 + 5x = -2x^2 + 9x – 10\), on retrouve bien le résultat du a.
c. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\(2x – 5 = 0\) donne \(x = \dfrac{5}{2}\) ; \(2 – x = 0\) donne \(x = 2\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{5}{2}\) (soit 2,5) et 2.
Corrigé de l’exercice 2 : aires avec une racine carrée
1. a. L’aire d’un carré de côté \(x\) est côté × côté, donc \(\mathcal{A}_{\text{ABCD}} = x^2\).
b. Ensuite, on utilise l’identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) avec \(a = 2\) et \(b = \sqrt{2}\), et le fait que \(\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\) :
\[ \left(2 + \sqrt{2}\right)^2 = 4 + 2 \times 2 \times \sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2} \]
Donc \(\mathcal{A}_{\text{ABCD}} = 6 + 4\sqrt{2}\) cm² (\(a = 6\) et \(b = 4\)).
2. a. L’énoncé parle du triangle « ACF », mais le seul triangle de la figure qui utilise la longueur BE est le triangle ECF, rectangle en C : c’est lui dont on calcule l’aire (c’est d’ailleurs ce qui donne la formule de S à vérifier au b).
E est sur [BC], donc \(\text{EC} = \text{BC} – \text{BE} = x – 0{,}5\) (c’est positif puisque \(x \gt 1\)). Le triangle ECF est rectangle en C, ses côtés de l’angle droit [EC] et [CF] sont une base et la hauteur associée :
\[ \mathcal{A}_{\text{ECF}} = \dfrac{\text{EC} \times \text{CF}}{2} = \dfrac{(x – 0{,}5) \times 4}{2} = 2(x – 0{,}5) \]
Donc l’aire du triangle vaut \(2x – 1\) cm².
b. Puis on additionne les deux aires :
\[ S = x^2 + (2x – 1) = x^2 + 2x – 1 \]
Alors on retrouve bien \(S = x^2 + 2x – 1\).
3. Ensuite, on réutilise le résultat du 1. b. : \(x^2 = 6 + 4\sqrt{2}\). Et \(2x = 2\left(2 + \sqrt{2}\right) = 4 + 2\sqrt{2}\).
\[ S = 6 + 4\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} – 1 = 9 + 6\sqrt{2} \]
Donc \(S = 9 + 6\sqrt{2}\) cm² (\(c = 9\) et \(d = 6\)), soit environ 17,49 cm².
Corrigé de l’exercice 3 (groupement 4) : les tarifs du cirque
1. D’après l’équation donnée, \(x\) est le prix d’une entrée enfant et \(y\) celui d’une entrée adulte, en francs. Le deuxième groupe (5 enfants et 4 adultes) donne l’équation \(5x + 4y = 705\). On résout le système :
\[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 290 \\ 5x + 4y = 705 \end{array} \right. \]
La première équation donne \(y = 290 – 3x\). On remplace \(y\) dans la seconde :
\[ 5x + 4(290 – 3x) = 705 \]
\[ 5x + 1160 – 12x = 705 \]
\[ -7x = -455 \quad \text{donc} \quad x = 65 \]
Puis \(y = 290 – 3 \times 65 = 290 – 195 = 95\).
Vérification : \(3 \times 65 + 95 = 290\) et \(5 \times 65 + 4 \times 95 = 325 + 380 = 705\). La solution du système est le couple \((65\ ;\ 95)\).
2. Une entrée enfant coûte 65 F et une entrée adulte coûte 95 F.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : cercle, médiatrice et Thalès
1. La droite (CD) est la médiatrice de [OA], elle est donc perpendiculaire à (OA), c’est-à-dire à (AB) ; ainsi (CM) ⊥ (AB).
La droite (BT) est la tangente au cercle en B : elle est perpendiculaire au rayon [OB], donc à (AB).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (CM) et (BT) sont parallèles.
2. M est le milieu de [OA] (la médiatrice coupe le segment en son milieu), donc \(\text{OM} = 3 \div 2 = 1{,}5\) cm. De plus OC = 3 cm (C est sur le cercle) et OB = 3 cm.
Les droites (MB) et (CT) se coupent en O, et (CM) // (BT). D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{\text{OM}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OC}}{\text{OT}} = \dfrac{\text{MC}}{\text{BT}} \]
\[ \dfrac{1{,}5}{3} = \dfrac{3}{\text{OT}} \quad \text{donc} \quad \text{OT} = \dfrac{3 \times 3}{1{,}5} = 6 \]
Donc OT = 6 cm.
3. a. C appartient à la médiatrice de [OA], il est donc à égale distance de O et de A : CO = CA. Par ailleurs, OC et OA sont deux rayons du cercle : OC = OA = 3 cm.
On a donc CO = CA = OA = 3 cm : le triangle COA est équilatéral.
b. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°, donc \(\widehat{\text{COM}} = \widehat{\text{COA}} = 60°\). Le triangle MCO est rectangle en M, et la somme des angles d’un triangle vaut 180° :
\[ \widehat{\text{MCO}} = 180° – 90° – 60° = 30° \]
Donc \(\widehat{\text{MCO}} = 30°\). (Autre façon de le voir : dans le triangle équilatéral, la médiatrice (CM) est aussi la bissectrice de l’angle \(\widehat{\text{ACO}}\), qui est coupé en deux angles de 30°.)
Pour \(\widehat{\text{DOT}}\) : le point D est le symétrique de C par rapport à (AB), car (CD) est perpendiculaire à (AB) et OC = OD. Le même raisonnement donne \(\widehat{\text{AOD}} = 60°\). Les angles \(\widehat{\text{AOC}}\) et \(\widehat{\text{BOT}}\) sont opposés par le sommet (C, O, T alignés et A, O, B alignés), donc \(\widehat{\text{BOT}} = 60°\). Les angles \(\widehat{\text{AOD}}\), \(\widehat{\text{DOT}}\) et \(\widehat{\text{TOB}}\) se suivent le long du diamètre [AB] et forment un angle plat :
\[ \widehat{\text{DOT}} = 180° – 60° – 60° = 60° \]
Donc \(\widehat{\text{DOT}} = 60°\).
Corrigé de l’exercice 2 (groupement 4) : rotation, vecteurs et translation dans un repère
La figure ci-dessous rassemble tous les points à placer dans cet exercice.
https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2001-france-groupement-4/gen-rectangle-bcma.webp
1. On place A(2 ; 3), B(5 ; 6) et C(7 ; 4) en lisant d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical.
2. Dans un repère orthonormé :
\[ \text{AC} = \sqrt{(x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2} = \sqrt{(7-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
Donc \(\text{AC} = \sqrt{26}\) (environ 5,1 unités).
Puis on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :
\[ \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \left(3\sqrt{2}\right)^2 + \left(2\sqrt{2}\right)^2 = 18 + 8 = 26 \qquad \text{AC}^2 = 26 \]
Comme \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
3. Pour aller de B à A, on se déplace de 3 unités vers la gauche et 3 vers le bas. Tourner ce déplacement d’un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d’une montre donne 3 unités vers la droite et 3 vers le bas. En partant de B(5 ; 6), on arrive en D(8 ; 3). On a bien BD = BA et \(\widehat{\text{ABD}} = 90°\).
4. D’après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{\text{BM}} = \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}}\) signifie que BAMC est un parallélogramme (BCMA avec les mêmes sommets). Pour le placer : \(\overrightarrow{\text{BA}}\) correspond au déplacement (−3 ; −3) et \(\overrightarrow{\text{BC}}\) à (+2 ; −2), donc on se déplace de (−1 ; −5) depuis B : M(4 ; 1).
BCMA est un parallélogramme qui possède un angle droit en B (question 2). Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle : BCMA est un rectangle. Ce n’est pas un carré, car BA = \(3\sqrt{2}\) et BC = \(2\sqrt{2}\) sont différents.
5. a. La translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\) déplace chaque point de 3 unités vers la gauche et 3 vers le bas. L’image de D(8 ; 3) est donc N(5 ; 0).
b. D est l’image de A par le quart de tour de centre B, donc \(\widehat{\text{ABD}} = 90°\) : (BD) ⊥ (BA). D’après la question 2, \(\widehat{\text{ABC}} = 90°\) : (BC) ⊥ (BA). Les droites (BC) et (BD) sont toutes deux perpendiculaires à (BA) en passant par le même point B : elles sont confondues. Les points B, C et D sont donc alignés.
c. Comme BCMA est un parallélogramme, \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{BC}}\), donc (AM) est parallèle à (BC).
N est l’image de D par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\), donc \(\overrightarrow{\text{DN}} = \overrightarrow{\text{BA}}\) : le quadrilatère BAND est un parallélogramme, et \(\overrightarrow{\text{AN}} = \overrightarrow{\text{BD}}\). Donc (AN) est parallèle à (BD).
Mais (BC) et (BD) sont la même droite (question b). Ainsi (AM) et (AN) sont parallèles à une même droite et ont le point A en commun : elles sont confondues. Les points A, M et N sont alignés.
Contrôle avec les coordonnées : de A(2 ; 3) à M(4 ; 1) on fait (+2 ; −2), de A à N(5 ; 0) on fait (+3 ; −3), deux déplacements proportionnels, donc dans la même direction.
Corrigé du problème
Corrigé de la partie 1 : comparer deux tarifs
1. Au tarif n° 1, on paie 25 F par coquetier :
\(30 \times 25 = 750\) et \(50 \times 25 = 1250\) : 750 F pour 30 coquetiers et 1 250 F pour 50 coquetiers.
Au tarif n° 2, on ajoute le forfait de 400 F au prix des coquetiers à 15 F :
\(400 + 30 \times 15 = 400 + 450 = 850\) et \(400 + 50 \times 15 = 400 + 750 = 1150\) : 850 F pour 30 coquetiers et 1 150 F pour 50 coquetiers.
2. \(P_1\) est une fonction linéaire : sa droite \((D_1)\) passe par l’origine. On la trace avec un second point, par exemple (40 ; 1 000), soit 4 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée.
\(P_2\) est une fonction affine : sa droite \((D_2)\) coupe l’axe des ordonnées en 400 (à 4 cm de hauteur). Un second point : \(P_2(40) = 600 + 400 = 1000\), donc (40 ; 1 000) ; un troisième pour vérifier : \(P_2(20) = 700\), donc (20 ; 700).
Le graphique ci-dessous montre les deux droites ; il est prolongé jusqu’à 1 400 F pour permettre la lecture du 3. a., car le quadrillage du sujet s’arrête à 1 000 F.
https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2001-france-groupement-4/gen-tarifs-coquetiers.webp
3. a. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 1 200 et on regarde où elle coupe chaque droite. Elle coupe \((D_1)\) en \(x = 48\) et \((D_2)\) un peu après 53. Le calcul le confirme : \(25x = 1200\) donne \(x = 48\) ; \(15x + 400 = 1200\) donne \(15x = 800\), soit \(x \approx 53{,}3\). Comme on achète un nombre entier de coquetiers, le meilleur choix est le tarif n° 2 : au plus 53 coquetiers avec 1 200 F (ils coûtent \(400 + 53 \times 15 = 1195\) F).
b. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (40 ; 1 000). Pour 40 coquetiers, les deux tarifs coûtent le même prix, 1 000 F. (Vérification : \(25 \times 40 = 1000\) et \(15 \times 40 + 400 = 1000\).)
c. Le tarif n° 2 est plus avantageux quand sa droite \((D_2)\) est en dessous de \((D_1)\), c’est-à-dire à droite du point d’intersection. Le tarif n° 2 est le plus avantageux dès qu’on commande plus de 40 coquetiers.
Corrigé de la partie 2 : volume du coquetier et section
1. Le coquetier est le cylindre auquel on enlève le cône. Les deux ont la même base, un disque de rayon 3 cm, et la même hauteur, 6 cm.
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi \]
\[ V_{\text{cône}} = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 6}{3} = 18\pi \]
\[ V_{\text{coquetier}} = 54\pi – 18\pi = 36\pi \]
Le volume exact est bien \(36\pi\) cm³, et \(36\pi \approx 113{,}1\), soit environ 113 cm³ arrondi au cm³.
2. a. I est le sommet du cône et IO = 6 cm. O’ est sur [IO] avec OO’ = 4 cm, donc \(\text{IO^{\prime}} = 6 – 4 = 2\) cm. A’ est sur [IA] (le bord du cône) et (O’A’) // (OA). D’après le théorème de Thalès dans le triangle IOA :
\[ \dfrac{\text{IO^{\prime}}}{\text{IO}} = \dfrac{\text{O^{\prime}A^{\prime}}}{\text{OA}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{2}{6} = \dfrac{\text{O^{\prime}A^{\prime}}}{3} \]
\[ \text{O^{\prime}A^{\prime}} = \dfrac{2 \times 3}{6} = 1 \]
Donc O’A’ = 1 cm.
b. Le plan (P), parallèle aux bases, coupe le cylindre selon un disque de même rayon que la base, 3 cm, et coupe le cône creusé selon un disque de rayon O’A’ = 1 cm. La partie en bois est entre les deux : c’est une couronne formée de deux cercles de centre O’, de rayons 1 cm et 3 cm. Au compas, tu traces les deux cercles de même centre avec ces rayons en vraie grandeur. Voici son allure (l’image n’est pas à l’échelle 1) :
https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2001-france-groupement-4/gen-couronne-section.webp
c. L’aire de la couronne est l’aire du grand disque moins celle du petit :
\[ \mathcal{A} = \pi \times 3^2 – \pi \times 1^2 = 9\pi – \pi = 8\pi \]
L’aire exacte de la section est \(8\pi\) cm² (environ 25,1 cm²).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé groupement 4
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé groupement 4, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé groupement 4
Faut-il lire le corrigé corrigé groupement 4 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2001. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les équations, les racines carrées et le calcul littéral. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé groupement 4
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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