Discriminant
En bref : Le discriminant, noté Δ et égal à b² – 4ac, se calcule à partir des coefficients d’un trinôme ; son signe annonce deux racines réelles, une racine double ou aucune racine.
PremièreCalcul littéral
Définition : Discriminant
À tout trinôme \(ax^2+bx+c\), avec \(a\) non nul, on associe son discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Il tire son nom du fait qu’il permet de discriminer trois situations pour l’équation \(ax^2+bx+c=0\).
Si \(\Delta>0\), il y a deux solutions réelles \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\). Si \(\Delta=0\), il y a une seule solution double, \(\dfrac{-b}{2a}\). Si \(\Delta<0\), il n’y a aucune solution réelle. Graphiquement, la parabole coupe l’axe horizontal en deux points, le touche en un seul, ou ne le rencontre pas.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de résoudre une équation du second degré qui ne se factorise pas à vue.
- On cherche à savoir si une parabole coupe l’axe des abscisses, sans la tracer.
- Un paramètre \(m\) figure dans le trinôme et l’on veut qu’il ait une racine double ou aucune racine.
- La forme développée \(ax^2+bx+c\) est donnée avec des coefficients non simples.
La méthode
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) dans l’écriture \(ax^2+bx+c\), signes compris.
- Calculer \(\Delta=b^2-4ac\) en prenant soin des parenthèses autour d’un \(b\) négatif.
- Comparer \(\Delta\) à zéro pour décider du nombre de solutions réelles.
- Si \(\Delta\ge 0\), appliquer les formules des racines, puis vérifier une solution dans l’équation.
Discriminant : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre \(2x^2-5x-3=0\), puis préciser le nombre de solutions de \(3x^2-6x+4=0\).
Corrigé
Ici \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\) : \(\Delta=(-5)^2-4\times 2\times(-3)=25+24=49\). Comme \(\Delta>0\) et \(\sqrt{49}=7\), les solutions sont \(\dfrac{5-7}{4}=-0{,}5\) et \(\dfrac{5+7}{4}=3\). L’ensemble solution est \(\{-0{,}5\,;\,3\}\).
Pour \(3x^2-6x+4\) : \(\Delta=36-48=-12\). Il est négatif, donc aucun réel ne vérifie cette équation.
À toi de jouer
Question 1
Combien de solutions possède \(x^2-4x+4=0\) ?
Voir la réponse
\(\Delta=16-16=0\) : une seule solution, double, \(x=\dfrac{4}{2}=2\).
Question 2
Pour quelles valeurs de \(m\) l’équation \(x^2+mx+4=0\) admet-elle une racine double ?
Voir la réponse
Il faut \(\Delta=m^2-16=0\), soit \(m=4\) ou \(m=-4\).
Ne pas confondre Discriminant et Racine d'un polynôme
Une racine est une valeur de \(x\) qui annule le polynôme : c’est une solution. Le discriminant n’est pas une solution, mais un indicateur calculé à partir des coefficients, qui annonce combien de racines existent et permet de les écrire. Il peut être égal à \(49\) alors que les racines valent \(-0{,}5\) et \(3\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Équation du second degré
- Trinôme du second degré
- Racine d'un polynôme
- Forme canonique
- Parabole
- Forme factorisée
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