Événements indépendants
En bref : Des événements indépendants ne s’influencent pas : savoir que l’un a eu lieu ne change pas la chance de l’autre, et l’on vérifie cette propriété par P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
PremièreProbabilités
Définition : Événements indépendants
Deux événements indépendants \(A\) et \(B\) vivent chacun leur vie : apprendre que \(B\) a eu lieu laisse inchangée la chance de \(A\). En formule, cela donne la relation \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
Ce n’est pas une intuition à deviner mais une égalité à vérifier avec les nombres. Deux lancers successifs d’une pièce sont indépendants, deux tirages sans remise dans une urne ne le sont pas. Piège classique : si deux événements s’excluent et que chacun peut arriver, ils ne sont jamais indépendants, puisque l’arrivée de l’un interdit celle de l’autre.
Comment le reconnaître
- L’énoncé précise « avec remise », « de façon indépendante » ou répète une même expérience dans des conditions identiques.
- On a besoin de calculer la probabilité de « \(A\) et \(B\) » à partir de celles de \(A\) et de \(B\).
- L’énoncé demande de montrer que deux événements sont indépendants ou ne le sont pas.
- Deux phénomènes sans lien causal sont combinés, comme deux machines distinctes dans une usine.
La méthode
- Pour tester des événements indépendants, calculer séparément \(P(A)\) et \(P(B)\).
- Calculer \(P(A\cap B)\) en comptant les issues communes aux deux événements.
- Comparer \(P(A\cap B)\) avec le produit \(P(A)\times P(B)\).
- S’ils sont égaux, conclure que les événements sont indépendants ; sinon, qu’ils sont dépendants.
Événements indépendants : exemple corrigé
Énoncé
On lance deux dés équilibrés à six faces. Soit \(A\) : « le premier dé est pair », \(B\) : « la somme vaut \(7\) » et \(C\) : « la somme est au moins \(10\) ». \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Et \(A\) et \(C\) ?
Corrigé
Il y a \(36\) résultats équiprobables. \(P(A)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\), \(P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\). Les résultats de \(A\cap B\) sont \((2,5)\), \((4,3)\) et \((6,1)\), soit \(\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\). Comme \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}\), \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Pour \(C\) : \(P(C)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\) et \(A\cap C\) compte \((4,6)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,6)\), soit \(\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}\). Or \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}\neq\dfrac{1}{9}\) : \(A\) et \(C\) sont dépendants.
À toi de jouer
Question 1
Les événements \(E\) et \(F\) sont indépendants avec \(P(E)=0{,}4\) et \(P(F)=0{,}5\). Que vaut \(P(E\cap F)\) ?
Voir la réponse
\(P(E\cap F)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2\).
Question 2
Deux événements qui s’excluent, mais que l’on peut chacun observer, sont-ils indépendants ?
Voir la réponse
Non : \(P(A\cap B)=0\), alors que le produit \(P(A)\times P(B)\) est strictement positif.
Ne pas confondre Événements indépendants et Événements incompatibles
Deux événements incompatibles ne se réalisent jamais ensemble : quand l’un arrive, l’autre est exclu, d’où une forte dépendance. À l’inverse, deux événements indépendants peuvent très bien arriver en même temps, et leur probabilité commune vaut alors \(P(A)P(B)\). Beaucoup d’erreurs viennent de cet amalgame.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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- Événements incompatibles
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