Vecteurs orthogonaux
En bref : Deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs dont les directions sont perpendiculaires ; leur produit scalaire est nul, et le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
PremièreGéométrie plane
Définition : Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs orthogonaux forment un angle droit lorsqu’on les place avec la même origine, comme les deux côtés d’une équerre.
Pour les reconnaître par le calcul, on utilise le produit scalaire : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Dans un repère orthonormé, avec \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;\,y^{\prime})\), la condition devient \(xx^{\prime}+yy^{\prime}=0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de montrer qu’un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires.
- Les coordonnées de deux vecteurs sont données et on cherche un paramètre qui rende leur produit scalaire nul.
- On veut un vecteur dirigeant une perpendiculaire à une droite d’équation connue.
- Une hauteur, une médiatrice ou une tangente à un cercle intervient dans la figure.
La méthode
- Relever les coordonnées des deux vecteurs, en calculant au besoin \(\overrightarrow{AB}\) par différence des coordonnées.
- Calculer \(xx^{\prime}+yy^{\prime}\) en respectant les signes des nombres négatifs.
- Si le résultat est \(0\), conclure que les vecteurs sont orthogonaux ; sinon, ils ne le sont pas.
- Traduire en géométrie : des vecteurs directeurs orthogonaux donnent des droites perpendiculaires.
Vecteurs orthogonaux : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;\,-2)\), \(B(5\,;\,0)\) et \(C(-1\,;\,4)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ?
Corrigé
On calcule \(\overrightarrow{AB}(5-1\,;\,0-(-2))=(4\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1-1\,;\,4-(-2))=(-2\,;\,6)\).
Alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times(-2)+2\times 6=-8+12=4\). Ce nombre n’est pas nul : les vecteurs ne sont pas orthogonaux et le triangle n’est pas rectangle en \(A\).
À toi de jouer
Question 1
Les vecteurs \(\vec{a}(6\,;\,-9)\) et \(\vec{b}(3\,;\,2)\) sont-ils orthogonaux ?
Voir la réponse
\(6\times 3+(-9)\times 2=18-18=0\) : oui, ils sont orthogonaux.
Question 2
Déterminer \(m\) pour que \(\vec{u}(m\,;\,5)\) et \(\vec{v}(4\,;\,-2)\) soient orthogonaux.
Voir la réponse
Il faut \(4m-10=0\), donc \(m=\frac{10}{4}=2{,}5\).
Ne pas confondre Vecteurs orthogonaux et Vecteurs colinéaires
Des vecteurs colinéaires ont la même direction : l’un s’obtient en multipliant l’autre par un réel, et leur déterminant est nul. Des vecteurs orthogonaux ont des directions perpendiculaires et un produit scalaire nul. Pour trancher, on regarde quel calcul s’annule : le déterminant ou le produit scalaire.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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