Racine d’un polynôme
En bref : Une racine d’un polynôme P est un réel a tel que P(a) = 0 ; elle correspond à un point où la courbe coupe l’axe des abscisses et permet de factoriser P par (x – a).
PremièreCalcul littéral
Définition : Racine d'un polynôme
Une racine d’un polynôme \(P\) est un nombre réel \(a\) pour lequel la valeur du polynôme s’annule : \(P(a)=0\).
Sur la courbe de la fonction \(P\), c’est l’abscisse d’un point d’intersection avec l’axe horizontal. Si \(a\) est une racine, on peut écrire \(P(x)=(x-a)\,Q(x)\), où \(Q\) est un polynôme de degré inférieur d’une unité. Chercher les racines revient donc à factoriser.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « résoudre \(P(x)=0\) » ou « déterminer les zéros » d’une expression polynomiale.
- On donne une valeur et on demande de vérifier qu’elle « annule » le polynôme.
- On veut le tableau de signes d’un polynôme de degré 3, qui exige d’abord de connaître ses racines.
- Une factorisation est suggérée par l’énoncé : « montrer que \(P(x)=(x-2)(\ldots)\) ».
La méthode
- Tester de petites valeurs entières (\(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\)…) en calculant \(P(a)\) jusqu’à trouver une annulation.
- Écrire \(P(x)=(x-a)(\text{polynôme de degré inférieur})\) en identifiant les coefficients.
- Résoudre le facteur restant, par discriminant s’il est de degré 2.
- Lister toutes les racines et vérifier chacune en remplaçant dans \(P\).
Racine d'un polynôme : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). Montrer que \(2\) est une racine de \(P\), puis trouver toutes les racines.
Corrigé
\(P(2)=8-16+2+6=0\) : le nombre \(2\) est bien une racine. On cherche donc \(P(x)=(x-2)(x^2+bx+c)\). En développant, \(x^3+(b-2)x^2+(c-2b)x-2c\), d’où \(b=-2\) et \(c=-3\).
Le facteur \(x^2-2x-3\) a pour racines \(3\) et \(-1\), car \(3\times(-1)=-3\) et \(3+(-1)=2\). Les racines de \(P\) sont \(-1\), \(2\) et \(3\).
À toi de jouer
Question 1
Le nombre \(4\) est-il une racine de \(R(x)=x^2-3x-4\) ?
Voir la réponse
\(R(4)=16-12-4=0\) : oui, \(4\) est une racine.
Question 2
Un polynôme vérifie \(S(x)=(x-5)(x+7)(2x-1)\). Donner ses racines.
Voir la réponse
Un produit est nul si un facteur l’est : \(5\), \(-7\) et \(\frac{1}{2}\) sont les racines.
Ne pas confondre Racine d'un polynôme et Zéro d'une fonction
Racine et zéro désignent le même nombre, mais la racine d’un polynôme se rattache à son écriture algébrique (on factorise par \(x-a\)), tandis que le zéro d’une fonction se lit sur la courbe. Attention : la racine carrée d’un nombre est une tout autre notion.
Pour aller plus loin
Cours
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