Géométrie dans l’espace : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La géométrie dans l’espace représente une étape fondamentale dans l’apprentissage des mathématiques en 2de, permettant aux élèves de développer leur vision spatiale et leur capacité de représentation. Ces exercices corrigés de géométrie spatiale abordent les notions essentielles comme les solides, les volumes et les perspectives, compétences indispensables pour la suite du parcours mathématique. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves de seconde pourront maîtriser progressivement la reconnaissance des formes géométriques tridimensionnelles et développer leur raisonnement spatial. Cette approche méthodique de la géométrie 2de facilite la compréhension des concepts abstraits par une pratique guidée et structurée.

Exercice 1 – volume d’un pavé droit.

Question 1 : Calcul de la hauteur du pavé

Le volume d’un pavé droit se calcule avec la formule :

$V=Ltimes ltimes h$

On connaît :

• Volume : $V=210text{ cm}^3$

• Longueur : $L=10text{ cm}$

• Largeur : $l=7text{ cm}$

On calcule la hauteur :

$h=frac{V}{Ltimes l}=frac{210}{10times 7}=frac{210}{70}=3text{ cm}$

Réponse : La hauteur du pavé est de 3 cm.

Question 2 : Volume d’un cube après modification

Un cube de 1 cm de côté a pour volume :

$V_1=1^3=1text{ cm}^3$

Si on triple la longueur de ses arêtes, chaque arête mesure 3 cm.

Le nouveau volume est :

$V_2=3^3=27text{ cm}^3$

Réponse : Le volume devient 27 cm³.

Question 3 : Droites dans le cube

En observant le cube ABCDEFGH :

Droites parallèles :

• (AB) et (EF) : arêtes opposées de faces parallèles

• (AD) et (BC) : arêtes opposées d’une même face

Droites sécantes :

• (AB) et (BC) : se coupent au point B

• (AE) et (AB) : se coupent au point A

Droites non coplanaires :

• (AB) et (FG) : ne sont pas dans le même plan

• (AD) et (GH) : ne sont pas dans le même plan

Exercice 2 – représentations en perspective cavalière.

Règles de la perspective cavalière :

• Les arêtes parallèles restent parallèles

• Les longueurs sont conservées sur les faces de face

• Les longueurs sont réduites de moitié sur les arêtes fuyantes (coefficient $frac{1}{2}$ )

• L’angle de fuite est généralement de 45°

1) Cube d’arêtes de longueur 6 carreaux :

• Face de devant : carré de côté 6 carreaux

• Arêtes fuyantes : longueur $6times frac{1}{2}=3$ carreaux

• Face arrière : carré de côté 6 carreaux décalé de 3 carreaux

2) Cube d’arêtes de longueur 5 carreaux :

• Face de devant : carré de côté 5 carreaux

• Arêtes fuyantes : longueur $5times frac{1}{2}=2{,}5$ carreaux

• Face arrière : carré de côté 5 carreaux décalé de 2,5 carreaux

3) Parallélépipède rectangle de dimensions 3, 5 et 6 carreaux :

• Face de devant : rectangle $3times 5$ carreaux

• Arêtes fuyantes : longueur $6times frac{1}{2}=3$ carreaux

• Face arrière : rectangle $3times 5$ carreaux décalé de 3 carreaux

4) Pyramide de hauteur 6 carreaux à base carrée de côté 3 carreaux :

• Base : carré de côté 3 carreaux en perspective cavalière

• Arêtes fuyantes de la base : longueur $3times frac{1}{2}=1{,}5$ carreaux

• Sommet : situé à 6 carreaux au-dessus du centre de la base

• Tracer les arêtes latérales reliant le sommet aux quatre sommets de la base

Exercice 3 – construire le patron d’un cube.

Analyse du cube :

Le cube présenté montre :

• Face avant (visible) : motifs noirs ∞ et ▽

• Face droite (visible) : motif noir ⟩

• Face du dessus (visible) : motif noir ⟩

• Face arrière (non visible) : motif rouge ⌀

• Face gauche (non visible) : motif rouge ⌐⌐

• Face du dessous (non visible) : pas de motif visible

Patron du cube :

Voici un patron possible en croix :

Structure du patron :

        [⟩]
    [⌐⌐][∞▽][⌀]
        [  ]

Explication :

• Face centrale : face avant avec ∞ et ▽ (noirs)

• Face du haut : face du dessus avec ⟩ (noir)

• Face de droite : face droite avec ⌀ (rouge, face arrière du cube)

• Face de gauche : face gauche avec ⌐⌐ (rouge)

• Face du bas : face du dessous (vide)

• La seconde face (face arrière du cube original) correspond à la face droite du patron avec ⟩ (noir)

Vérification : Le patron respecte la règle des couleurs : motifs noirs sur faces visibles, motifs rouges sur faces non visibles.

Exercice 4 – construire le patron d’un prisme.

Analyse du prisme :

Le prisme droit ABCDEFGH a :

• Deux bases carrées : EFGH (base supérieure) et DCGH (base inférieure)

• Côté des bases carrées : 2~cm

• Quatre faces latérales rectangulaires : ADHE et BCGF sont des trapèzes, mais les faces latérales du prisme sont des rectangles

• Hauteur du prisme :

Construction du patron :

Étape 1 : Tracer la première base carrée DCGH de côté 2 cm.

Étape 2 : À partir de chaque côté du carré DCGH, tracer les quatre faces latérales rectangulaires :

• Rectangle DCBA : largeur 2 cm, hauteur 5 cm (côté DC)

• Rectangle CGFE : largeur 2 cm, hauteur 5 cm (côté CG)

• Rectangle GHEF : largeur 2 cm, hauteur 5 cm (côté GH)

• Rectangle HDAE : largeur 2 cm, hauteur 5 cm (côté HD)

Étape 3 : Tracer la seconde base carrée ABEF de côté 2 cm, adjacente à l’une des faces latérales (par exemple au rectangle DCBA).

Vérification :

• 2 carrés de côté 2~cm (les bases)

• 4 rectangles de dimensions $2~cm~times ~5~cm$ (les faces latérales)

Le patron obtenu permettra de reconstituer le prisme droit par pliage le long des arêtes.

Exercice 5 – représenter un tétraèdre en perspective cavalière.

1) Représentation du tétraèdre en perspective cavalière :

Pour représenter le tétraèdre régulier ABCS en perspective cavalière :

• On trace d’abord la base ABC (triangle équilatéral de côté 4 cm) en vraie grandeur

• On place le point I au centre du triangle ABC

• On trace la hauteur [SH] perpendiculaire au plan ABC, en perspective (généralement avec un angle de 45° et un coefficient de réduction de 0,5)

• On relie S aux sommets A, B et C

2) Calcul de la longueur IS :

Dans un triangle équilatéral de côté 4 cm, la distance du centre I à un sommet est :

$IA = frac{2}{3} times text{hauteur du triangle}$

La hauteur du triangle équilatéral ABC est : $h = frac{4sqrt{3}}{2} = 2sqrt{3}$ cm

Donc : $IA = frac{2}{3} times 2sqrt{3} = frac{4sqrt{3}}{3}$ cm

Dans le tétraèdre régulier, le triangle ISA est rectangle en I, avec SA = 4 cm :

$IS^2 + IA^2 = SA^2$

$IS^2 + left(frac{4sqrt{3}}{3}right)^2 = 4^2$

$IS^2 = 16 - frac{16 times 3}{9} = 16 - frac{16}{3} = frac{32}{3}$

Donc : $IS = sqrt{frac{32}{3}} = frac{4sqrt{6}}{3}$ cm

3) Calcul de la longueur SH :

La hauteur SH du tétraèdre est égale à IS (car I est le pied de la hauteur issue de S) :

Donc : $SH = frac{4sqrt{6}}{3}$ cm $approx 3{,}27$ cm

4) Calcul du volume de ABCS :

Le volume d’un tétraèdre est : $V = frac{1}{3} times text{Aire de la base} times text{hauteur}$

L’aire du triangle équilatéral ABC de côté 4 cm est :

$text{Aire}_{ABC} = frac{4^2sqrt{3}}{4} = 4sqrt{3}$ cm²

Donc : $V = frac{1}{3} times 4sqrt{3} times frac{4sqrt{6}}{3} = frac{16sqrt{18}}{9} = frac{16 times 3sqrt{2}}{9} = frac{48sqrt{2}}{9} = frac{16sqrt{2}}{3}$ cm³

Le volume est : $V = frac{16sqrt{2}}{3}$ cm³ $approx 7{,}54$ cm³

Exercice 6 – un patron pour confectionner une initiale.

Analyse de la forme :

La lettre H est constituée de deux barres verticales reliées par une barre horizontale au milieu. En observant les dimensions :

• Hauteur totale : 6 cm

• Largeur totale : 4 cm

• Épaisseur des barres : 1 cm

• Profondeur : 1 cm

Construction du patron :

Pour réaliser le patron de cette lettre H, il faut déplier chaque face :

• Face avant : Rectangle de $4times 6$ cm avec la forme du H découpée

• Face arrière : Rectangle identique de $4times 6$ cm

• Faces latérales :

– 2 rectangles verticaux de $1times 6$ cm (côtés des barres verticales)

– 1 rectangle horizontal de $2times 1$ cm (côté de la barre horizontale)

• Faces du dessus et du dessous : Forme en H de dimensions $4times 1$ cm

Patron proposé :

Le patron consiste à assembler toutes ces faces en les disposant de manière à pouvoir les plier pour former la lettre H en 3D, avec des languettes de collage sur les bords pour l’assemblage.

Exercice 7 – volume du chocolat pour une boule pleine.

Données :

• 24 cavités en forme de demi-sphères

• Diamètre de chaque demi-sphère : 3 cm

• Rayon de chaque demi-sphère : $r=frac{3}{2}=1{,}5$ cm

Calcul du volume d’une demi-sphère :

Volume d’une sphère : $V_{sphere}=frac{4}{3}pi r^3$

Volume d’une demi-sphère : $V_{demi-sphere}=frac{1}{2}times frac{4}{3}pi r^3=frac{2}{3}pi r^3$

Avec r=1{,}5 cm :

$V_{demi-sphere}=frac{2}{3}pitimes (1{,}5)^3=frac{2}{3}pitimes 3{,}375=2{,}25pi$ cm³

Volume total pour 24 boules :

$V_{total}=24times 2{,}25pi=54pi$ cm³

Réponse : $V_{total}=54piapprox169{,}6$ cm³

Exercice 8 – volume de la part d’un camembert.

Données :

• Hauteur du cylindre : h = 3 cm

• Diamètre : d = 11 cm, donc rayon : $r = frac{11}{2} = 5{,}5$ cm

• La part représente $frac{1}{8}$ du camembert

Étape 1 : Calcul du volume total du cylindre

$V_{cylindre} = pi times r^2 times h$

$V_{cylindre} = pi times (5{,}5)^2 times 3$

$V_{cylindre} = pi times 30{,}25 times 3$

$V_{cylindre} = 90{,}75pi$ cm³

Étape 2 : Calcul du volume de la part

$V_{part} = frac{1}{8} times V_{cylindre}$

$V_{part} = frac{1}{8} times 90{,}75pi$

$V_{part} = frac{90{,}75pi}{8}$

Réponse : $V_{part} = frac{363pi}{32}$ cm³ ≈ 35,6 cm³

Exercice 9 – réduction de la pyramide de Khéops.

1) Coefficient de réduction :

Le coefficient de réduction est le rapport entre la hauteur actuelle et la hauteur d’origine :

$k=frac{138{,}7}{146{,}6}approx0{,}946$

2) Volume de pierre nécessaire pour la construire :

Le volume d’une pyramide à base carrée est : $V=frac{1}{3}times c^2times h$

Avec $c=230{,}3text{ m}$ et $h=146{,}6text{ m}$ :

$V=frac{1}{3}times (230{,}3)^2times 146{,}6$

$V=frac{1}{3}times 53,037{,}09times 146{,}6approx2,590,000text{ m}^3$

3) Volume perdu depuis sa construction :

Volume actuel avec $h=138{,}7text{ m}$ :

$V_{actuel}=frac{1}{3}times (230{,}3)^2times 138{,}7approx2,450,000text{ m}^3$

Volume perdu :

$V_{perdu}=2,590,000-2,450,000=140,000text{ m}^3$

Exercice 10 – droites parallèles et coplanaires dans un parallélépipède.

1) Les droites (AB) et (HG) définissent-elles un plan ?

Dans un parallélépipède rectangle, les droites (AB) et (HG) sont parallèles car elles sont toutes deux parallèles à la même direction (longueur du parallélépipède).

Deux droites parallèles définissent toujours un plan unique.

Oui, elles définissent le plan (ABGH).

2) Les droites (AB) et (CG) définissent-elles un plan ?

Les droites (AB) et (CG) ne sont pas parallèles dans l’espace. La droite (AB) est horizontale dans la base, tandis que (CG) est verticale.

Deux droites non parallèles qui ne se coupent pas (gauches) ne définissent pas un plan unique.

Non, elles ne définissent pas un plan.

3) Trois droites parallèles à (FG) :

Dans un parallélépipède rectangle, les arêtes parallèles à (FG) sont :

• (AB) – arête opposée de la base inférieure

• (EH) – arête opposée de la face supérieure

• (DC) – arête opposée de la base inférieure

4) Trois droites sécantes à (FG) :

Les droites qui coupent (FG) en un point sont :

• (GC) – se coupe en G

• (GH) – se coupe en G

• (FC) – se coupe en F

5) Trois droites non coplanaires à (FG) :

Les droites qui ne sont pas dans le même plan que (FG) sont :

• (AE) – arête verticale du sommet A

• (BH) – diagonale d’une face latérale

• (AD) – arête de la base inférieure perpendiculaire à (FG)

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