Fonction inverse : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La fonction inverse en mathématiques 2de représente une étape cruciale dans l’apprentissage des relations numériques et des opérations fondamentales. Ces exercices corrigés permettent aux élèves de comprendre le concept d’inversion et de développer leur raisonnement logique à travers des situations concrètes. Maîtriser la fonction inverse renforce les compétences en calcul mental, en résolution de problèmes et prépare efficacement aux notions plus avancées du collège. Les corrections détaillées accompagnent chaque exercice pour garantir une progression solide et une meilleure compréhension des mécanismes mathématiques essentiels.

Exercice 1 – inverse d’un nombre.

Rappel : L’inverse d’un nombre non nul est $frac{1}{x}$ .

a) Si 100″ alt= »x>100″> :

Comme 100>0″ alt= »x>100>0″>, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<frac{1}{x}<frac{1}{100}" alt="0<frac{1}{x}.

Donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<frac{1}{x}<0{,}01" alt="0<frac{1}{x}.

L’inverse de est un nombre positif strictement inférieur à 0,01.

b) Si $-4leq {y}leq {-2}$ :

Tous les nombres de cet intervalle sont négatifs et non nuls.

En prenant l’inverse et en changeant le sens des inégalités :

$frac{1}{-4}geq frac{1}{y}geq frac{1}{-2}$

Soit $-0{,}25geq frac{1}{y}geq {-0{,}5}$

Donc $-0{,}5leq frac{1}{y}leq {-0{,}25}$

L’inverse de est un nombre négatif compris entre -0,5 et -0,25.

Exercice 2 – courbe d’une fonction inverse.

Pour déterminer le nombre $frac{1}{x}$ , nous devons lire graphiquement les valeurs de la fonction inverse pour chaque intervalle donné.

a) x > 0,1

D’après la courbe, lorsque 0{,}1″ alt= »x > 0{,}1″>, nous avons <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{1}{x} < 10" alt="frac{1}{x} .

b) x ≤ -0,2

D’après la courbe, lorsque $x leq -0{,}2$ , nous avons $frac{1}{x} geq -5$ .

c) 0 < x < 0,1

D’après la courbe, lorsque <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0 < x < 0{,}1" alt="0 < x , nous avons 10″ alt= »frac{1}{x} > 10″>.

d) 0,1 ≤ x ≤ 0,2

D’après la courbe, lorsque $0{,}1 leq x leq 0{,}2$ , nous avons $5 leq frac{1}{x} leq 10$ .

Exercice 3 – Étude du signe de l’expression

a) Recopier et compléter :

Pour tout xneq3 , nous avons :

$frac{x+2}{x-3}-1=frac{x+2}{x-3}-frac{x-3}{x-3}$

$frac{x+2}{x-3}-1=frac{x+2-(x-3)}{x-3}$

$frac{x+2}{x-3}-1=frac{x+2-x+3}{x-3}$

$frac{x+2}{x-3}-1=frac{5}{x-3}$

b) Tableau de signes de $frac{x+2}{x-3}-1$ :

D’après la question a), $frac{x+2}{x-3}-1=frac{5}{x-3}$

Le numérateur 5 est toujours positif.

Le dénominateur x-3 s’annule pour x=3 et est :

• négatif si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<3" alt="x

• positif si 3″ alt= »x>3″>

Tableau de signes :

			3

$frac{5}{x-3}$			\|\|

Conclusion :

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{x+2}{x-3}-1<0" alt="frac{x+2}{x-3}-1 pour

• 0″ alt= »frac{x+2}{x-3}-1>0″> pour

Exercice 4 – résistance équivalente et fonction inverse.

1.a) La valeur de la résistance variable est (en ohms).

1.b) Pour deux résistances en parallèle, on a : $frac{1}{R_e}=frac{1}{R_1}+frac{1}{R_2}$

Avec R_1=10 et R_2=x :

$frac{1}{R_e}=frac{1}{10}+frac{1}{x}=frac{x+10}{10x}$

Donc : $R_e=frac{10x}{x+10}$

2.a) Résolution graphique :

On cherche les valeurs de pour lesquelles 4″ alt= »R_e>4″>.

Il faut résoudre : 4″ alt= »frac{10x}{x+10}>4″>

En traçant la fonction $f(x)=frac{10x}{x+10}$ et la droite y=4 , on lit graphiquement que la solution est frac{20}{3}approx6{,}67″ alt= »x>frac{20}{3}approx6{,}67″>.

2.b) Résolution algébrique :

4″ alt= »frac{10x}{x+10}>4″>

0″ alt= »frac{10x}{x+10}-4>0″>

0″ alt= »frac{10x-4(x+10)}{x+10}>0″>

0″ alt= »frac{10x-4x-40}{x+10}>0″>

0″ alt= »frac{6x-40}{x+10}>0″>

Le numérateur s’annule pour $x=frac{40}{6}=frac{20}{3}$ et le dénominateur pour x=-10 .

Tableau de signes : la fraction est positive pour $xin]-10;0]cup]frac{20}{3};+infty[$ .

Comme 0″ alt= »x>0″> (résistance positive), la solution est frac{20}{3} » alt= »x>frac{20}{3} »>.

Exercice 5 – calculatrice et étude des courbes avec conjecture.

a) Affichage des courbes représentatives de f et g

On a $f(x)=frac{x+2}{x-1}$ pour xneq1 et g(x)=2x .

La fonction f est définie sur et admet une asymptote verticale d’équation x=1 .

La fonction g est une fonction linéaire définie sur .

b) Conjecture de l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ≤ g(x)

À partir du graphique, on observe que la courbe de f est en dessous ou égale à la courbe de g sur deux intervalles :

L’ensemble des solutions semble être .

c) Démonstration de la conjecture

On résout l’inéquation $f(x)leq g(x)$ , soit $frac{x+2}{x-1}leq 2x$ .

D’après l’affichage de la calculatrice, on a :

$frac{x+2}{x-1}-2x=frac{x+2-2x(x-1)}{x-1}=frac{x+2-2x^2+2x}{x-1}=frac{-2x^2+3x+2}{x-1}$

La calculatrice indique que $-2x^2+3x+2=-(x-2)frac{2x+1}{x-1}$ .

En fait, .

Donc $f(x)-g(x)=frac{-(2x+1)(x-2)}{x-1}$ .

L’inéquation $f(x)leq g(x)$ équivaut à $frac{-(2x+1)(x-2)}{x-1}leq 0$ .

Étudions le signe de cette expression :

• 0″ alt= »-(2x+1)>0″> si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<-frac{1}{2}" alt="x

• 0″ alt= »(x-2)>0″> si 2″ alt= »x>2″>

• 0″ alt= »(x-1)>0″> si 1″ alt= »x>1″>

Par tableau de signes, $frac{-(2x+1)(x-2)}{x-1}leq 0$ pour .

Conclusion : L’ensemble des solutions est .

Exercice 6 – étude d’un piston et fonction inverse.

a) Explication de la loi P × V = 1 :

Cette loi est liée à la fonction inverse. Lorsque le volume V augmente, la pression P diminue de manière inversement proportionnelle pour maintenir le produit P × V constant et égal à 1.

Cette relation correspond à une hyperbole d’équation $P=frac{1}{V}$ où P et V sont des grandeurs physiques inverses l’une de l’autre.

b) Valeurs possibles de la pression :

Le volume peut varier entre 0,5 et 5 litres.

• Pour V = 0,5 L : $P=frac{1}{0{,}5}=2$ bars

• Pour V = 5 L : $P=frac{1}{5}=0{,}2$ bar

Réponse : La pression peut varier entre 0,2 bar et 2 bars.

Plus précisément :

Exercice 7 – exprimer des longueurs et aire d’un triangle.

a) Expression des longueurs ON et MN en fonction de x :

D’après le graphique, le point M a pour coordonnées où $f(x)=frac{1}{x}$ .

Donc M a pour coordonnées $(x;frac{1}{x})$ .

Le point N est le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, donc N a pour coordonnées (x;0) .

Longueur ON :

ON=x

Longueur MN :

MN est la hauteur du triangle, c’est la différence entre l’ordonnée de M et l’ordonnée de N :

$MN=frac{1}{x}-0=frac{1}{x}$

b) Démonstration que l’aire du triangle OMN est constante :

L’aire d’un triangle rectangle est donnée par :

$text{Aire}=frac{text{base}times text{hauteur}}{2}$

Dans le triangle OMN rectangle en N :

• Base = ON =

• Hauteur = MN = $frac{1}{x}$

Donc :

$text{Aire}(OMN)=frac{1}{2}times {x}times frac{1}{x}=frac{1}{2}times 1=frac{1}{2}$

Conclusion : L’aire du triangle OMN est constante et égale à $frac{1}{2}$ pour tout 0″ alt= »x>0″>.

Exercice 8 – résoudre des inéquations et intervalles.

a) Résolution de 1″ alt= »frac{1}{x-2}>1″> sur

On résout : 1″ alt= »frac{1}{x-2}>1″>

0″ alt= »frac{1}{x-2}-1>0″>

0″ alt= »frac{1-(x-2)}{x-2}>0″>

0″ alt= »frac{3-x}{x-2}>0″>

Étude du signe : le numérateur 3-x s’annule en x=3 et le dénominateur x-2 s’annule en x=2 .

La fraction est positive sur ]2;3[ .

Intersection avec : ]2;3[

b) Résolution de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2}{x+3}<4" alt="frac{2}{x+3} sur

On résout : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2}{x+3}<4" alt="frac{2}{x+3}

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2}{x+3}-4<0" alt="frac{2}{x+3}-4

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2-4(x+3)}{x+3}<0" alt="frac{2-4(x+3)}{x+3}

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2-4x-12}{x+3}<0" alt="frac{2-4x-12}{x+3}

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{-4x-10}{x+3}<0" alt="frac{-4x-10}{x+3}

Le numérateur -4x-10 s’annule en $x=-frac{5}{2}$ et le dénominateur x+3 s’annule en x=-3 .

La fraction est négative sur $]-infty;-3[cup]-frac{5}{2};+infty[$ .

Intersection avec :

Exercice 9 – résoudre une inéquation et étude d’un quotient.

a) Étude du signe du quotient $frac{2x-1}{3-x}$

Pour étudier le signe de ce quotient, nous devons déterminer le signe du numérateur et du dénominateur.

Signe du numérateur : 2x-1

2x-1=0 ⟺ $x=frac{1}{2}$

0″ alt= »2x-1>0″> ⟺ frac{1}{2} » alt= »x>frac{1}{2} »>

Signe du dénominateur : 3-x

3-x=0 ⟺ x=3 (valeur interdite)

0″ alt= »3-x>0″> ⟺ <img class="LatexImg" src="https://mimetex.cgi?x<3" alt="x

Tableau de signes :

			$frac{1}{2}$


$frac{2x-1}{3-x}$

b) Résolution de l’inéquation <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{2x-1}{3-x}<0" alt="frac{2x-1}{3-x}

D’après le tableau de signes, le quotient est négatif sur les intervalles :

$xinleft]-infty;frac{1}{2}right[cup]3;+infty[$

c) Vérification graphique avec la calculatrice

En traçant la courbe de la fonction $f(x)=frac{2x-1}{3-x}$ , on observe :

• La fonction s’annule en $x=frac{1}{2}$

• Elle admet une asymptote verticale en x=3

• La courbe est en dessous de l’axe des abscisses sur $left]-infty;frac{1}{2}right[cup]3;+infty[$

Cette vérification graphique confirme la réponse obtenue algébriquement.

Exercice 10 – calcul formel et fonction inverse.

Résolution de l’inéquation : 0″ alt= »(5x+7)(3x-4)>0″>

Étape 1 : Recherche des valeurs qui annulent chaque facteur.

• 5x+7=0 donc $x=-frac{7}{5}$

• 3x-4=0 donc $x=frac{4}{3}$

Étape 2 : Tableau de signes.

On ordonne les valeurs : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-frac{7}{5}<frac{4}{3}" alt="-frac{7}{5}

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<-frac{7}{5}" alt="x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?5x+7<0" alt="5x+7 et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?3x-4<0" alt="3x-4 donc 0″ alt= »(5x+7)(3x-4)>0″>

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-frac{7}{5}<x<frac{4}{3}" alt="-frac{7}{5}<x : 0″ alt= »5x+7>0″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?3x-4<0" alt="3x-4 donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(5x+7)(3x-4)<0" alt="(5x+7)(3x-4)

• Pour frac{4}{3} » alt= »x>frac{4}{3} »> : 0″ alt= »5x+7>0″> et 0″ alt= »3x-4>0″> donc 0″ alt= »(5x+7)(3x-4)>0″>

Réponse : $S=left]-infty;-frac{7}{5}right[cupleft]frac{4}{3};+inftyright[$

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