Fonction carrée et polynôme : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La fonction carrée et les polynômes constituent des notions fondamentales en mathématiques 2de qui préparent les élèves aux concepts algébriques plus avancés. Ces exercices corrigés permettent aux collégiens de maîtriser progressivement le calcul avec les expressions littérales et de développer leur raisonnement mathématique. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves de seconde pourront consolider leurs compétences en manipulation d’expressions polynomiales et comprendre les propriétés essentielles de la fonction carrée. Cette base solide en algèbre niveau 2de facilitera grandement leur progression vers les classes supérieures du collège.

Exercice 1 – fonction polynôme et parabole.

a) La fonction g admet-elle un maximum ou un minimum ?

La fonction est un polynôme du second degré.

Le coefficient de x^2 est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a=-3<0" alt="a=-3.

Réponse : La fonction g admet un maximum car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a<0" alt="a.

b) Tableau de la fonction g sur l’intervalle [-3 ; 3] avec le pas 1.

Calculons g(x) pour chaque valeur :

• $g(-3)=-3times (-3)^2+6times (-3)-1=-27-18-1=-46$

• $g(-2)=-3times (-2)^2+6times (-2)-1=-12-12-1=-25$

• $g(-1)=-3times (-1)^2+6times (-1)-1=-3-6-1=-10$

• $g(0)=-3times 0^2+6times 0-1=-1$

• $g(1)=-3times 1^2+6times 1-1=-3+6-1=2$

• $g(2)=-3times 2^2+6times 2-1=-12+12-1=-1$

• $g(3)=-3times 3^2+6times 3-1=-27+18-1=-10$

c) Abscisse α du sommet S de la parabole, puis son ordonnée β.

Pour une fonction , l’abscisse du sommet est $alpha=-frac{b}{2a}$ .

Ici, a=-3 et b=6 .

$alpha=-frac{6}{2times (-3)}=-frac{6}{-6}=1$

(calculé précédemment)

Réponse : alpha=1 et beta=2 . Le sommet S a pour coordonnées (1;2) .

d) Tracer la parabole.

Pour tracer la parabole, on utilise :

• Le sommet S(1 ; 2)

• Les points du tableau de valeurs

• La parabole est tournée vers le bas car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a=-3<0" alt="a=-3

• L’axe de symétrie est la droite x=1

Exercice 2 – fonction polynôme de degré 2.

a) Afficher P à l’écran de la calculatrice.

On définit la fonction P par $P(x) = 2x^2 + 8x + 3$ dans le menu fonction de la calculatrice.

Conjecturer les coordonnées de son sommet S.

En observant la parabole sur l’écran graphique, on peut conjecturer que le sommet S a pour coordonnées $(-2 ; -5)$ .

b) Utiliser l’écran ci-contre pour démontrer cette conjecture.

L’écran montre la résolution de l’équation $2x^2 + 8x + 3 = 3$ .

Cette équation se simplifie en $2x^2 + 8x = 0$ , soit $2x(x + 4) = 0$ .

Les solutions sont $x = 0$ et $x = -4$ .

L’abscisse du sommet est le milieu de ces deux valeurs : $x_S = frac{0 + (-4)}{2} = -2$ .

L’ordonnée du sommet est : $P(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$ .

Donc le sommet S a bien pour coordonnées $(-2 ; -5)$ .

c) Tracer la parabole P.

La parabole P est une parabole tournée vers le haut (car 0″ alt= »a = 2 > 0″>) avec :

– Sommet : $S(-2 ; -5)$

– Axe de symétrie : $x = -2$

– Ordonnée à l’origine : $P(0) = 3$

– Points symétriques : $(0 ; 3)$ et $(-4 ; 3)$

Exercice 3 – tableau et étude du signe d’un produit.

a) Tableau de signes du produit (2x – 1)(x + 8)

On étudie le signe de chaque facteur :

• Pour 2x-1 :

2x-1=0 donne $x=frac{1}{2}$

0″ alt= »2x-1>0″> pour frac{1}{2} » alt= »x>frac{1}{2} »>

• Pour x+8 :

x+8=0 donne x=-8

0″ alt= »x+8>0″> pour -8″ alt= »x>-8″>

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline~x~~]-infty;-8[~~-8~~]-8;frac{1}{2}[~~frac{1}{2}~~]frac{1}{2};+infty[~\hline~2x-1~~-~~-~~-~~0~~+~\hline~x+8~~-~~0~~+~~+~~+~\hline~(2x-1)(x+8)~~+~~0~~-~~0~~+~\hlineend{array}$

b) Résolution de l’inéquation (2x – 1)(x + 8) ≥ 0

D’après le tableau de signes, quand :

• Le produit est positif : $xin]-infty;-8[cup]frac{1}{2};+infty[$

• Le produit est nul : x=-8 ou $x=frac{1}{2}$

Solution : $S=]-infty;-8]cup[frac{1}{2};+infty[$

c) Contrôle graphique

Le graphique de la fonction est une parabole qui :

• S’annule en x=-8 et $x=frac{1}{2}$

• Est au-dessus de l’axe des abscisses (positive) sur $]-infty;-8]cup[frac{1}{2};+infty[$

• Est en dessous de l’axe des abscisses (négative) sur $[-8;frac{1}{2}]$

La réponse est cohérente avec l’étude algébrique.

Exercice 4 – résoudre une inéquation et étude de signe du produit.

a) Étude du signe du produit (4 + x)(2 + x) selon les valeurs de x

Pour étudier le signe du produit , nous devons d’abord trouver les valeurs qui annulent chaque facteur.

• 4+x=0 donne x=-4

• 2+x=0 donne x=-2

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|}hline x -infty quadquad -4 quadquad -2 quadquad +infty \ hline 4+x quad - quad 0 quad + quadquad + quad \ hline 2+x quad - quadquad - quad 0 quad + quad \ hline (4+x)(2+x) quad + quad 0 quad - quad 0 quad + quad \ hline end{array}$

Conclusion :

• 0″ alt= »(4+x)(2+x)>0″> pour

• pour

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(4+x)(2+x)<0" alt="(4+x)(2+x) pour

b) Résolution de l’inéquation (4 + x)(2 + x) < 0

D’après l’étude précédente, le produit est strictement négatif lorsque appartient à l’intervalle ]-4;-2[ .

Réponse :

Exercice 5 – résoudre graphiquement des inéquations.

1) Résolution de 0″ alt= »(x+5)(-3x+1)>0″>

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :

• x+5=0 donc x=-5

• -3x+1=0 donc $x=frac{1}{3}$

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|}hline x-infty-5frac{1}{3}+infty\hline x+5-0++\hline -3x+1++0-\hline (x+5)(-3x+1)-0+0-\hlineend{array}$

Solution : $S=left]-5;frac{1}{3}right[$

2) Résolution de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(3-2x)(x+5)<0" alt="(3-2x)(x+5)

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :

• 3-2x=0 donc $x=frac{3}{2}$

• x+5=0 donc x=-5

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|}hline x-infty-5frac{3}{2}+infty\hline 3-2x++0-\hline x+5-0++\hline (3-2x)(x+5)-0+0-\hlineend{array}$

Solution : $S=left]-infty;-5right[cupleft]frac{3}{2};+inftyright[$

3) Résolution de

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :

• x=0

• -2x+8=0 donc x=4

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|}hline x-infty04+infty\hline x-0++\hline -2x+8++0-\hline x(-2x+8)-0+0-\hlineend{array}$

Solution : S=[0;4]

4) Résolution de

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :

• 1-2x=0 donc $x=frac{1}{2}$

• 6-3x=0 donc x=2

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|c|c|c|}hline x-inftyfrac{1}{2}2+infty\hline 1-2x+0--\hline 6-3x++0-\hline (1-2x)(6-3x)+0-0+\hlineend{array}$

Solution : $S=left[frac{1}{2};2right]$

Exercice 6 – aire d’un rectangle et fonctions.

Données :

Rectangle ABCD avec AB = 5 cm et AD = 2 cm

M et N sont des points des côtés [AD] et [AB] tels que AN = 2 × AM

a) Où placer le point M pour que l’aire du triangle AMN soit comprise entre le quart et la moitié de l’aire du rectangle ABCD ?

Posons AM = x avec

Alors AN = 2x avec , donc

Finalement :

Aire du rectangle ABCD = $5times 2=10text{ cm}^2$

Aire du triangle AMN = $frac{1}{2}times {AM}times {AN}=frac{1}{2}times {x}times 2x=x^2$

On cherche : $frac{10}{4}leq{x^2}leqfrac{10}{2}$

Soit : $2{,}5leq{x^2}leq5$

Donc :

Soit : (valeurs approchées)

Comme 2″ alt= »sqrt{5}approx2{,}24>2″>, la condition devient :

Réponse : Le point M doit être placé entre 1,58 cm et 2 cm du point A.

b) Xavier affirme : « On ne peut pas trouver de point M tel que l’aire de AMN soit supérieure aux trois quarts de l’aire de ABCD ». Qu’en pensez-vous ?

Il faudrait : frac{3}{4}times 10=7{,}5″ alt= »x^2>frac{3}{4}times 10=7{,}5″>

Soit : sqrt{7{,}5}approx2{,}74″ alt= »x>sqrt{7{,}5}approx2{,}74″>

Or, nous avons montré que xleq2

Réponse : Xavier a raison. Il est impossible d’avoir une aire de AMN supérieure aux trois quarts de l’aire de ABCD car cela nécessiterait x > 2,74 cm, ce qui dépasse la longueur maximale possible de 2 cm pour AM.

Exercice 7 – aire d’un triangle et fonctions.

Données :

• Triangle ABC rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 10 cm

• M est un point du côté [AB] tel que BM = x cm

• N est le point du côté [BC] tel que le triangle BMN est rectangle en M

1) Expression de l’aire du triangle BMN en fonction de x :

Dans le triangle ABC rectangle en A, calculons BC :

Si BM = x, alors AM = 5 – x.

Les triangles ABC et BMN sont semblables (angles correspondants égaux).

Le rapport de similitude est $frac{BM}{BA}=frac{x}{5}$

Donc : $MN=ACtimes frac{x}{5}=10times frac{x}{5}=2x$

L’aire du triangle BMN est :

$mathcal{A}_{BMN}=frac{1}{2}times BMtimes MN=frac{1}{2}times xtimes 2x=x^2$

2) Position de M pour que l’aire soit supérieure ou égale au quart de l’aire de ABC :

Aire du triangle ABC : $mathcal{A}_{ABC}=frac{1}{2}times 5times 10=25~text{cm}^2$

Le quart de cette aire : $frac{25}{4}=6{,}25~text{cm}^2$

On cherche x tel que : $x^2geq 6{,}25$

Comme x ∈ [0 ; 5], il faut placer M tel que $2{,}5leq xleq 5$

Réponse : Le point M doit être placé entre le milieu de [AB] et le point B, c’est-à-dire à une distance comprise entre 2,5 cm et 5 cm du point B.

Exercice 8 – programme de calcul et fonctions.

a) Application du programme avec x = 5,5 :

• Choisir un nombre : 5{,}5

• Ajouter 7 :

• Élever au carré : $(12{,}5)^2=156{,}25$

• Multiplier par 2 : $156{,}25times 2=312{,}5$

• Soustraire 8 :

Réponse : On obtient 304{,}5

b) Expression en fonction de x :

Si on note le nombre choisi :

• Choisir un nombre :

• Ajouter 7 : x+7

• Élever au carré : (x+7)^2

• Multiplier par 2 :

• Soustraire 8 :

Réponse :

c) Valeur minimale :

La fonction est sous forme canonique.

Puisque pour tout réel , on a :

, donc

Le minimum est atteint quand , c’est-à-dire quand x=-7 .

Réponse : Le nombre obtenu est minimal pour x=-7 et ce minimum vaut

Exercice 9 – logiciel de calcul formel et fonctions.

a) Programme de calcul associé à cette fonction :

• Choisir un nombre

• Ajouter 3 à ce nombre

• Diviser le résultat par 2

• Élever le résultat au carré

• Multiplier par -2

• Soustraire 3

b) Calcul avec les nombres 0 et -1,5 :

Pour le nombre 0 :

$f(0)=-2left(frac{0+3}{2}right)^2-3$

$f(0)=-2left(frac{3}{2}right)^2-3$

$f(0)=-2times frac{9}{4}-3$

$f(0)=-frac{18}{4}-3=-4{,}5-3=-7{,}5$

Pour le nombre -1,5 :

$f(-1{,}5)=-2left(frac{-1{,}5+3}{2}right)^2-3$

$f(-1{,}5)=-2left(frac{1{,}5}{2}right)^2-3$

$f(-1{,}5)=-2times (0{,}75)^2-3$

$f(-1{,}5)=-2times 0{,}5625-3=-1{,}125-3=-4{,}125$

c) Valeur maximale de la fonction :

Pour trouver le maximum, on remarque que $f(x)=-2left(frac{x+3}{2}right)^2-3$

Puisque $left(frac{x+3}{2}right)^2geq0$ , on a $-2left(frac{x+3}{2}right)^2leq0$

Le maximum est atteint quand $left(frac{x+3}{2}right)^2=0$ , c’est-à-dire quand x=-3

La valeur maximale est :

Exercice 10 – algorithme et calculatrice.

1. a) Algorithme :

Pour une valeur saisie en entrée, l’algorithme affiche le plus petit des deux nombres x^2 et 2x-1 .

Algorithme :

Saisir

Calculer A=x^2

Calculer B=2x-1

Si Aleq~B alors afficher

Sinon afficher

b) Test de l’algorithme :

Pour x=0 : x^2=0 et 2x-1=-1 . Le plus petit est .

Pour x=1 : x^2=1 et 2x-1=1 . Le plus petit est .

Pour x=2 : x^2=4 et 2x-1=3 . Le plus petit est .

Conjecture : L’algorithme semble afficher x^2 quand xleq~1 et 2x-1 quand 1″ alt= »x>1″>.

2. a) Graphique à la calculatrice :

Les courbes représentatives de (parabole) et (droite) se coupent en deux points.

b) Confirmation : Le graphique confirme la conjecture car on observe que entre les deux points d’intersection.

3. Démonstration algébrique :

Résolvons :

Donc x=1 (racine double).

Étudions le signe de :

• Si xneq~1 : 0″ alt= »(x-1)^2>0″> donc 2x-1″ alt= »x^2>2x-1″>

• Si x=1 : donc

Conclusion : Pour x=1 , on a . Pour xneq~1 , on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?2x-1<x^2" alt="2x-1. L’algorithme affiche donc toujours pour xneq~1 et pour x=1 .

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