Les équations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les équations et inéquations constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 2de, marquant l’entrée des élèves dans le raisonnement algébrique. Ces exercices corrigés permettent aux collégiens de maîtriser progressivement la résolution d’équations simples et de développer leur logique mathématique. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves apprennent à manipuler les égalités, à utiliser les propriétés des opérations et à vérifier leurs solutions. Cette approche méthodique renforce les compétences de calcul mental et prépare efficacement aux notions plus complexes du collège.

Exercice 1 – tableau de signe d’une fonction affine.

a) Tableau de signes de f(x) :

Pour une fonction affine , nous devons d’abord trouver sa racine.

Résolvons f(x)=0 :

4x-3=0

4x=3

$x=frac{3}{4}$

Le coefficient directeur est 0″ alt= »a=4>0″>, donc la fonction est strictement croissante.

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|ccc|}hline x -infty frac{3}{4} +infty hline f(x) - 0 + hlineend{array}$

b) Résolution de l’inéquation 4x – 3 > 0 :

D’après le tableau de signes, 0″ alt= »f(x)>0″> lorsque frac{3}{4} » alt= »x>frac{3}{4} »>.

L’ensemble solution est : $S=left]frac{3}{4};+inftyright[$

Exercice 2 – fonction affine et tableau de signes.

a) Tableau de signes de g(x) :

Pour une fonction affine , on cherche d’abord sa racine :

g(x)=0

-3x-1=0

-3x=1

$x=-frac{1}{3}$

Le coefficient directeur est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a=-3<0" alt="a=-3, donc la fonction est décroissante.

Tableau de signes :

$begin{array}{|c|ccccc|}hline x -infty -frac{1}{3} +infty hline g(x) + 0 - hlineend{array}$

b) Vérification de l’affirmation de Célia :

Calculons :

$g(-0{,}502)=-3times (-0{,}502)-1=1{,}506-1=0{,}506$

Donc 0″ alt= »g(-0{,}502)>0″>

Oui, c’est possible. En effet, -frac{1}{3}approx-0{,}333″ alt= »-0{,}502>-frac{1}{3}approx-0{,}333″> est faux car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-0{,}502<-frac{1}{3}" alt="-0{,}502, donc d’après le tableau de signes, 0″ alt= »g(-0{,}502)>0″>.

c) Résolution des inéquations :

•

D’après le tableau de signes : pour $xgeq-frac{1}{3}$

Solution : $left[-frac{1}{3};+inftyright[$

• 0″ alt= »-3x-1>0″>

D’après le tableau de signes : 0″ alt= »g(x)>0″> pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<-frac{1}{3}" alt="x

Solution : $left]-infty;-frac{1}{3}right[$

Exercice 3 – deux fonctions affines et des affirmations vraies ou fausses.

Données : et

1. Tableaux de signes :

a) Pour f(x) :

$f(x)=0Leftrightarrow-5x+5=0Leftrightarrow x=1$

Comme le coefficient de x est négatif (-5), f(x) est décroissante :

– Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x, alors 0″ alt= »f(x)>0″>

– Si 1″ alt= »x>1″>, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<0" alt="f(x)

b) Pour g(x) :

$g(x)=0Leftrightarrow5x-3=0Leftrightarrow x=frac{3}{5}=0{,}6$

Comme le coefficient de x est positif (5), g(x) est croissante :

– Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0{,}6" alt="x, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?g(x)<0" alt="g(x)

– Si 0{,}6″ alt= »x>0{,}6″>, alors 0″ alt= »g(x)>0″>

2. Analyse des affirmations :

a) Elie : « Je peux dire que f(0,982) est positif sans effectuer de calcul »

VRAIE. D’après le tableau de signes, comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}982<1" alt="0{,}982, alors 0″ alt= »f(0{,}982)>0″>.

b) Quentin : « Il existe un nombre réel inférieur à 2 dont l’image par f est positive »

VRAIE. Par exemple, <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x=0<2" alt="x=0 et 0″ alt= »f(0)=5>0″>.

c) Karen : « Pour tout nombre réel x négatif, son image g(x) est négative »

VRAIE. Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0{,}6" alt="x, donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?g(x)<0" alt="g(x).

d) Geoffroy : « Il existe des nombres réels x tels qu’à la fois f(x) et g(x) sont positifs »

FAUSSE. Pour que 0″ alt= »f(x)>0″>, il faut <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x. Pour que 0″ alt= »g(x)>0″>, il faut 0{,}6″ alt= »x>0{,}6″>. Il faudrait donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}6<x<1" alt="0{,}6<x. Mais prenons x=0{,}8 : 0″ alt= »f(0{,}8)=-5times 0{,}8+5=1>0″> et 0″ alt= »g(0{,}8)=5times 0{,}8-3=1>0″>. L’affirmation est donc VRAIE.

Exercice 4 – système de deux équations à deux inconnues.

a) Explication :

Ce système a un seul couple solution car :

• Il s’agit de deux équations linéaires à deux inconnues

• Les deux équations représentent deux droites dans le plan

• Ces droites ne sont pas parallèles (leurs coefficients directeurs sont différents)

• Deux droites non parallèles se coupent en un seul point

b) Résolution du système :

Nous avons le système :

Méthode par addition :

Additionnons les deux équations membre à membre :

3x=6

x=2

Remplaçons x=2 dans la première équation :

2+y=1

Vérification :

• Première équation : ✓

• Deuxième équation : $2times 2-(-1)=4+1=5$ ✓

Réponse :

Exercice 5 – programme de calcul et équations.

1) Application du programme de calcul :

Soit le nombre de départ.

• Prendre un nombre :

• Lui ajouter 8 : x+8

• Multiplier le résultat par 3 :

• Enlever 24 :

• Enlever le nombre de départ : 3x-x=2x

Expression du résultat : f(x)=2x

2) Vérification de la conjecture :

La conjecture de Faiza est : « Pour n’importe quel nombre choisi, on trouve le double du nombre de départ. »

D’après nos calculs, le résultat du programme est , où est le nombre de départ.

Conclusion : La conjecture est vraie car le programme de calcul donne toujours le double du nombre de départ, quel que soit le nombre choisi au départ.

Exercice 6 – trois triangles équilatéraux identiques découpés dans les coins.

La conjecture de Gabriel est FAUSSE.

Calcul du périmètre d’un petit triangle équilatéral :

Le triangle équilatéral initial a un côté de 6 cm.

Chaque petit triangle équilatéral découpé dans un coin a un côté de $frac{6}{3}=2$ cm.

Périmètre d’un petit triangle : $3times 2=6$ cm

Somme des périmètres des trois petits triangles :

$3times 6=18$ cm

Calcul du périmètre de l’hexagone orange :

L’hexagone régulier a 6 côtés égaux.

Chaque côté de l’hexagone mesure 2 cm (même longueur que le côté des petits triangles).

Périmètre de l’hexagone : $6times 2=12$ cm

Conclusion :

Somme des périmètres des triangles : 18 cm

Périmètre de l’hexagone : 12 cm

Comme 18neq12 , la conjecture est fausse.

Exercice 7 – nombre de départ et programme de calcul.

a) Quel nombre obtient-on si au départ on choisit -4 ?

Appliquons le programme de calcul avec $x = -4$ :

• Choisir un nombre :

• Soustraire 3 : $-4 - 3 = -7$

• Élever au carré : $(-7)^2 = 49$

• Soustraire le carré du nombre de départ : $49 - (-4)^2 = 49 - 16 = 33$

Réponse : On obtient

b) Est-il possible de choisir un nombre de façon à obtenir 0 ?

Soit le nombre choisi. Appliquons le programme :

• Choisir un nombre :

• Soustraire 3 : $x - 3$

• Élever au carré : $(x - 3)^2$

• Soustraire le carré du nombre de départ : $(x - 3)^2 - x^2$

Pour obtenir 0, il faut résoudre : $(x - 3)^2 - x^2 = 0$

Développons : $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$

Donc : $x^2 - 6x + 9 - x^2 = 0$

Ce qui donne : $-6x + 9 = 0$

Résolution : $-6x = -9$ donc $x = frac{9}{6} = frac{3}{2} = 1{,}5$

Réponse : Oui, il faut choisir $frac{3}{2}$ pour obtenir 0.

Exercice 8 – deux programmes de calcul et une affirmation.

a) Vérifions l’affirmation de Joseph avec des exemples :

Testons avec $x = 3$ :

• Programme 1 : $3 times 2 + 1 = 7$

• Programme 2 : $(3 + 1)^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$

Testons avec $x = 5$ :

• Programme 1 : $5 times 2 + 1 = 11$

• Programme 2 : $(5 + 1)^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$

Joseph a raison. Les deux programmes donnent le même résultat.

b) Est-il possible d’obtenir 0 ?

Pour que le programme 1 donne 0 :

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -frac{1}{2}$

Vérifions avec le programme 2 :

$left(-frac{1}{2} + 1right)^2 - left(-frac{1}{2}right)^2 = left(frac{1}{2}right)^2 - frac{1}{4} = frac{1}{4} - frac{1}{4} = 0$

Oui, il est possible d’obtenir 0 en choisissant $x = -frac{1}{2}$

Exercice 9 – algorithme et formule d’abonnement à un club.

Analyse des deux formules :

• Formule A : coût = où x est le nombre de films

• Formule B : coût = où x est le nombre de films

Complétion de l’algorithme :

Pour déterminer la formule la moins chère, on compare les deux coûts :

• Case rouge : (on affecte le coût de la formule B à la variable v)

• Case orange : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u<v" alt="u (on compare si le coût de A est inférieur au coût de B)

• Case bleue :

Vérification :

La formule B est moins chère quand <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?20+1{,}75x<30+1{,}45x" alt="20+1{,}75x

Soit <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?20-30<1{,}45x-1{,}75x" alt="20-30

D’où <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-10<-0{,}3x" alt="-10 soit <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<frac{10}{0{,}3}approx33{,}3" alt="x

La formule B est donc moins chère pour moins de 34 films.

Exercice 10 – conjecture et programmes de calcul.

1. Calcul avec chaque programme :

a) Pour -1 :

Programme 1 : $-1-1=(-2)^2times 4-1=16times 4-1=64-1=63$

Programme 2 : $-1times 2-3=-2-3=-5$ puis puis $(-1)times (-2{,}5)=2{,}5$

b) Pour 0 :

Programme 1 : $0-1=(-1)^2times 4-1=1times 4-1=4-1=3$

Programme 2 : $0times 2-3=0-3=-3$ puis puis $0times (-1{,}5)=0$

c) Pour 1 :

Programme 1 : $1-1=0^2times 4-1=0times 4-1=0-1=-1$

Programme 2 : $1times 2-3=2-3=-1$ puis puis $1times (-0{,}5)=-0{,}5$

d) Pour 2 :

Programme 1 : $2-1=1^2times 4-1=1times 4-1=4-1=3$

Programme 2 : $2times 2-3=4-3=1$ puis puis $2times 0{,}5=1$

2. Conjecture :

En observant les résultats, on peut conjecturer que le programme 2 donne toujours un résultat plus petit que le programme 1.

b) Démonstration :

Soit le nombre choisi.

Programme 1 :

Programme 2 : $P_2(x)=xtimes frac{2x-3}{2}=frac{x(2x-3)}{2}=frac{2x^2-3x}{2}=x^2-frac{3x}{2}$

Calculons $P_1(x)-P_2(x)=(4x^2-8x+3)-(x^2-frac{3x}{2})=3x^2-8x+frac{3x}{2}+3=3x^2-frac{13x}{2}+3$

Le discriminant de cette expression est 0″ alt= »Delta=(frac{13}{2})^2-4times 3times 3=frac{169}{4}-36=frac{25}{4}>0″>

Cette expression s’annule pour $x=frac{frac{13}{2}pmfrac{5}{2}}{6}$ soit $x=frac{4}{3}$ ou $x=frac{3}{4}$

Comme le coefficient de x^2 est positif, $P_1(x)geq P_2(x)$ pour tout , avec égalité seulement pour $x=frac{3}{4}$ ou $x=frac{4}{3}$ .

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