Systèmes de deux équations à deux inconnues : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les systèmes de deux équations à deux inconnues représentent une étape fondamentale dans l’apprentissage des mathématiques en 2de, permettant aux élèves de développer leur raisonnement logique et leurs compétences en résolution de problèmes. Cette notion essentielle introduit les concepts d’algèbre et prépare efficacement les collégiens aux chapitres plus avancés du programme. Maîtriser les méthodes de résolution comme la substitution ou l’élimination développe l’autonomie mathématique et renforce la capacité d’analyse des élèves. Ces exercices corrigés offrent un accompagnement personnalisé pour assimiler progressivement ces techniques de calcul indispensables au cursus scolaire.

Exercice 1 – résoudre le système .

Méthode par substitution :

À partir de la première équation : x+y=4

On exprime en fonction de :

y=4-x

On substitue dans la deuxième équation :

2x+3y=7

-x+12=7

-x=7-12

-x=-5

x=5

On calcule :

Vérification :

✓

$2times 5+3times (-1)=10-3=7$ ✓

Réponse :

Exercice 2 – résolution de système.

On résout le système :

Méthode par combinaison :

Pour éliminer , on multiplie la première équation par 2 et la seconde par -5 :

On additionne les deux équations :

-11y=33

Donc : $y=frac{33}{-11}=-3$

On remplace y=-3 dans la première équation :

$5x+2times (-3)=4$

5x-6=4

5x=10

Donc : x=2

Vérification :

$5times 2+2times (-3)=10-6=4$ ✓

$2times 2+3times (-3)=4-9=-5$ ✓

Réponse :

Exercice 3 – trouver l’ensemble solution.

Nous devons résoudre le système :

Méthode par substitution :

De la première équation, j’exprime en fonction de :

x=4+2y

Je substitue cette expression dans la deuxième équation :

8+7y=-6

7y=-6-8

7y=-14

y=-2

Je calcule maintenant :

Vérification :

Réponse :

Exercice 4 – déterminer le couple solution.

Méthode par substitution :

À partir de la première équation : 7x+2y=1

J’exprime en fonction de :

2y=1-7x

$y=frac{1-7x}{2}$

Je substitue dans la deuxième équation : 2x+3y=5

$2x+3times frac{1-7x}{2}=5$

$2x+frac{3(1-7x)}{2}=5$

$2x+frac{3-21x}{2}=5$

Je multiplie par 2 pour éliminer les fractions :

-17x=7

$x=-frac{7}{17}$

Je calcule :

$y=frac{1-7times (-frac{7}{17})}{2}=frac{1+frac{49}{17}}{2}=frac{frac{17+49}{17}}{2}=frac{frac{66}{17}}{2}=frac{66}{34}=frac{33}{17}$

Réponse : $(x;y)=left(-frac{7}{17};frac{33}{17}right)$

Exercice 5 – une infinité de solution.

Méthode : Un système admet une infinité de solutions lorsque les deux équations sont équivalentes (l’une est un multiple de l’autre).

Étape 1 : Analysons la première équation :

2x-y=1

Étape 2 : Analysons la deuxième équation :

Étape 3 : Multiplions la première équation par :

$-3(2x-y)=-3times 1$

Conclusion : La deuxième équation est exactement fois la première équation.

Justification : Les deux équations sont équivalentes, elles représentent la même droite dans le plan. Tous les points de cette droite sont solutions du système, donc le système admet une infinité de solutions.

Vérification : Les solutions s’écrivent sous la forme où .

Exercice 6 – des lapins et des poules dans une ferme.

Données :

• Nombre total de têtes : 120

• Nombre total de pattes : 298

• Les lapins ont 4 pattes chacun

• Les poules ont 2 pattes chacune

Mise en équation :

Soit le nombre de lapins et le nombre de poules.

On obtient le système d’équations :

Résolution :

De la première équation : y=120-x

En substituant dans la deuxième équation :

2x=58

x=29

Donc :

Vérification :

• Têtes : ✓

• Pattes : $4times 29+2times 91=116+182=298$ ✓

Réponse : Il y a 29 lapins et 91 poules dans la ferme.

Exercice 7 – panier avec des pommes et des carottes.

Données :

• Panier de Mme Martin : 5 kg de pommes + 2 kg de carottes = 18,5 €

• Panier de M. Bernard : 3 kg de pommes + 7 kg de carottes = 28,5 €

Inconnues :

• Soit le prix d’un kg de pommes

• Soit le prix d’un kg de carottes

Mise en équation :

Résolution par substitution :

De l’équation (1) : $c=frac{18{,}5-5p}{2}$

On remplace dans l’équation (2) :

$3p+7times frac{18{,}5-5p}{2}=28{,}5$

$3p+frac{7(18{,}5-5p)}{2}=28{,}5$

$3p+frac{129{,}5-35p}{2}=28{,}5$

On multiplie par 2 :

p=2{,}5

On trouve :

$c=frac{18{,}5-5times 2{,}5}{2}=frac{18{,}5-12{,}5}{2}=frac{6}{2}=3$

Vérification :

• Mme Martin : $5times 2{,}5+2times 3=12{,}5+6=18{,}5$ ✓

• M. Bernard : $3times 2{,}5+7times 3=7{,}5+21=28{,}5$ ✓

Réponse : Le prix d’un kg de pommes est 2,50 € et le prix d’un kg de carottes est 3 €.

Exercice 8 – des pièces dans un porte-monnaie.

Soit le nombre de pièces de 1 € et le nombre de pièces de 2 €.

On peut écrire le système d’équations suivant :

• Nombre total de pièces : x+y=10

• Valeur totale : $1times x+2times y=15$

De la première équation : x=10-y

En substituant dans la deuxième équation :

$1times (10-y)+2times y=15$

10+y=15

y=5

Donc :

Vérification :

• Nombre de pièces : 5+5=10 ✓

• Valeur : $5times 1+5times 2=5+10=15$ € ✓

Réponse : Max a 5 pièces de 1 € et 5 pièces de 2 €.

Exercice 9 – système à deux inconnues plus complexe.

Nous devons résoudre le système :

$left{begin{array}{l}x^2+y^2=252x^2-y^2=23end{array}right.$

Étape 1 : Additionner les deux équations pour éliminer y^2 .

3x^2=48

x^2=16

Donc x=4 ou x=-4 .

Étape 2 : Calculer y^2 à partir de la première équation.

Donc y=3 ou y=-3 .

Étape 3 : Vérification avec la deuxième équation.

$2x^2-y^2=2times 16-9=32-9=23$ ✓

Réponse : Les solutions du système sont :

Exercice 10 – résoudre dans R² ce système par substitution.

Système à résoudre :

$left{begin{array}{l}5x+y=7quad(E_1)-x+y=1quad(E_2)end{array}right.$

Étape 1 : Exprimer y en fonction de x à partir de l’équation (E₂)

De -x+y=1 , on obtient : y=1+x

Étape 2 : Substituer cette expression dans l’équation (E₁)

6x+1=7

6x=6

x=1

Étape 3 : Calculer y en remplaçant x par sa valeur

Étape 4 : Vérification

• Équation (E₁) : $5times 1+2=5+2=7$ ✓

• Équation (E₂) : -1+2=1 ✓

Réponse :

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